极大值与极小值
看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．如f(x)＝x3，由
f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极
值点．
1．函数极值概念的理解
(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0 及其左、右邻域都有意义． (2)按定义，极值点xi是区间[a，b]内部的点 (如图)，不会是端点a，b.
2．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时 f′(x)>0 ,右侧_________ f′(x)<0 , (1)如果在x 附近的左侧_________
0
大 值． 那么f(x0)是极___ f′(x)<0 ,右侧_________, f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧_________ 那么f(x0)是极___ 小 值． (3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)
解：由已知，得 f(1)＝1－3a＋2b＝－1，① 又 f′(x)＝3x2－6ax＋2b，∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0， ② 1 1 由①②得 a＝ ，b＝－ ， 3 2 故函数的解析式为 f(x)＝x －x －x.
3 2
由此得 f′(x)＝3x2－2x－1，由二次函数的性质， 1 1 当 x<－ 或 x>1 时， f′(x)>0； 当－ <x<1 时， f′(x)<0. 3 3 1 因此， 函数 f(x)的单调递增区间为(－∞， － )和(1， 3 1 ＋∞)；函数 f(x)的单调递减区间为(－ ，1)． 3
【名师点评】
已知函数极值情况，逆向应用确
定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两 点： (1)常根据极值点导数为0和极值两个条件列方程组 ，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条
件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合
理性．
变式训练2 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点 x＝1处有极小值－1，试确定a、b的值，并求出 f(x)的单调区间．
y
y f ( x)
f(x) <0
f(x) >0
a
O
b
f(x) =0
x
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
5.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 此时，x＝－ a是函数 f(x)的极大值点，x＝ a是函数 f(x)的极小值点．
【名师点评】
当已知可导函数在某一点处取得极
值时，其导数值一定为0，可以此为突破口求出参数, 进而求得相关结论．
4（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4
【名师点评】
求函数的极值的一般步骤为：①
求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，解方 程f′(x)＝0；③列表格讨论导函数的正负和原函 数的增减性；④根据极值的定义求出极值．
变式训练 1 设函数 f(x) ＝ sinx － cosx ＋ x ＋ 1,0<x<2π,
求函数f(x)的单调区间与极值．
2015-5-21
4
课题：导数的应用－－极值点
我行 我能 我要成功 我能成功
忆一忆
基本求导公式:
(1)(kx b) k , 特殊的：C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
'
'
1
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
f / (1) 3a 2b c 0 f / ( 2) 12a 4b c＝0
.
2b － 3a 3 或 c 2 3a
a 2, b 9, c 12
极值的综合应用
极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已 知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类 讨论的思想在解题中的应用．
设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． 【思路点拨】 由题意可得f′(2)＝0且f(2)＝8， 求出a，b进而求解．
1．极值的概念 设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近 f(x)<f(x0) ，则称f(x )是函数f(x) 的所有点x，都有_________
0
y极大值＝f(x0)；如果对x 附 极大值 ，记作____________ 的一个_______ 0 f(x)>f(x0) ，则称f(x0)是函数 近的所有点x，都有_________ y极小值＝f(x0) .极大值与 极小值 ，记作___________ f(x)的一个_______ 极值 极小值统称为______.
例2
a＝1 a＝2 解得 或 .6 分 b＝3 b＝9
当 a＝1，b＝3 时， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去.8 分 当 a＝2，b＝9 时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当 x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数； 当 x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当 x∈(－1，＋∞)时 f(x)为增函数. 10 分 所以 f(x)在 x＝－1 时取得极小值， 12 分 因此 a＝2，b＝9. 14 分
列表如下：
5 －∞，－ 3
x f′ (x) f ( x)
－ 0 极大值 5 f － 3
5 － ，1 3
1 0 极小值 f(1)
(1，＋∞) ＋
＋
－
由上表可以看出： 5 40 f－3＝ 是函数的极大值，f(1)＝－8 是函数的极 27 小值．
1.3.2
极大值与极小值
2015-5-21
1
2015-5-21
2
一般地， 设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
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a
b
x
o a
b
x
3
(7)函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值 点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极 大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻 两个极小值点之间必有一个极大值点．一般 地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极 值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点和极 小值点是交替出现的．
利用导数求函数的极值时，常列表判断导数值在零 点两侧的符号，若在零点两侧异号，则该零点是极 值点；若在零点两侧符号无变化，则该零点不是极 值点．
例3
【解】 (1)f′(x)＝3x2－3a， ∵曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切， f′2＝0 34－a＝0 ∴ ，即 ， f2＝8 8－6a＋b＝8
a＝4 解得 . b＝24
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，此时函数 f(x)没有极值点． 当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a， 当 x∈(－∞， － a)时， f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减；
解：由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π， 知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1， π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ )． 4 π 2 令 f′(x)＝0，从而 sin(x＋ )＝－ ， 4 2 3π 得 x＝π，或 x＝ . 2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(5)(e ) e
x '
'
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x
(7)(sinx ) cosx
(8)(cosx) sinx
5
1 (6)(lnx) x '
'
定义 1．要求函数f(x)的单调区间，应先求函数的_____ 域 ___. 2．若f(x)在(a，b)内存在导数,则f′(x)<0是f(x)在 充分不必要 条件． (a，b)内单调递减的___________
3π 因此， 由上表知 f(x)的单调递增区间是(0， π)与( ， 2 3π 3π 2π)，单调递减区间是(π， )，极小值为 f( )＝ 2 2 3π ，极大值为 f(π)＝π＋2. 2
极值的逆用
本类问题主要是研究已知函数极值点 (极值 )的情 况，逆向求参数范围的问题．
(本题满分14分)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋ a2在x＝－1时有极值0.求a、b的值． 【思路点拨】 解答本题可先求f′(x)，利用x＝－1 时有极值0这一条件建立关于a、b的方程组．解方程 组可得a、b的值，最后将a、b代入原函数验证极值 情况． 【规范解答】 ∵f(x)在 x＝－1 时有极值 0 且 f′(x) ＝3x2＋6ax＋b， f′－1＝0 3－6a＋b＝0 ∴ ，即 ， 4分 2 f－1＝0 －1＋3a－b＋a ＝0
函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
极大值与极小值
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0
1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
极值与最大(小)值
f `(x)<0
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
练习1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值；
。
如y x
3
②可导函数在极值点的导数一定等于零； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）；
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
3
y
y
4
3
0
4 极小值 3
+ 1
因此函数 f ( x ) 1 x 3 4 x 4 在[0，3]上的最大值为4，最
4 小值为 3
.
例1 求函数 y x4 2 x2 5 在区间 [2,2]上的最大值与 最小值．
例1 求函数 y x4 2 x2 5 在区间 [2,2]上的最大值与
左正右负为极大，右正左负为极小
•导数为0的点不一定是极值点； •若极值点处的导数存在，则一定为0
例题选讲:
2 y x 4 ( x 2)( x 2). 解:
令 y 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0
函数的极值与最大值最小值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别
函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
函数的极值,最大值与最小值
m
x1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值
3.3.2 极大值与极小值
y
f x 1 3 x
3
4x 4
o
2
2
x
图 1 . 3 12
函数 f x
1 3
x
3
4 x 4 的图象如图
1 . 3 12 所示 .
极大值一定大于极小极 ? 吗
如果不用导数的方法你能求出上述函数的极 , 值吗? 试一试比较一下 你有什么体会? ! ,
自学检测：P31、1
h
h a 0
'
单调递增 h t 0
'
单调递减 h t 0
'
O
a
图 1 .3 8
t
图 1 .3 9
通过动画实验形象解释利用导数找极 , 值的过程 .
观察图 .3.8, 我们发现 t a时,高台跳水运动员 1 , 距水面的高度最大那么 函数ht 在此点的导数 . , 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?
'
f b 比它
'
值 都 大 , f b 0 ;
'
f x 0 , 右侧 f x 0 .
我们把点
a 叫做函数 ,
a a 叫做函数 的 极小值;
y f x
y f x
o b
x
点 b 叫做函数 的极大值点
y f x , f b 叫做
'
, 且 h t 连续变化
'
, 于是有 h a 0 .
'
对于一般的函数 f x , 是否也有同样的性质呢 y ?
探究
如图1.3 10 和图1.3 11 函数 y f x 在 ,
函数极大值与极小值的判定与求解
函数极大值与极小值的判定与求解函数在数学中起着重要的作用，通过函数可以描述数学模型、分析现象并解决问题。
函数的极值是函数曲线中的最高点或最低点，是函数中的重要特征。
本文将讨论如何判定与求解函数的极大值与极小值。
一、理论基础在讨论函数的极大值和极小值之前，我们需要了解一些相关的概念和理论基础。
1.1 导数导数是函数的重要工具，它描述了函数在某一点附近的变化率。
函数的导数可以用来判断函数的增减性，即函数在某一区间上是递增还是递减的。
1.2 临界点函数的临界点是指函数导数等于零或导数不存在的点。
在临界点处，函数可能取得极值。
1.3 拐点拐点是函数曲线在该点处凹凸性发生变化的点。
拐点处的函数可能存在极大值或极小值。
二、函数极值的判定要判定一个函数 f(x) 在某一点 x0 处存在极大值或极小值，我们可以利用函数的导数和二阶导数来进行判定。
2.1 利用一阶导数当函数 f(x) 在一个区间上单调递增时，该区间上的最大值一定位于区间的右端点；当函数 f(x) 在一个区间上单调递减时，该区间上的最大值一定位于区间的左端点。
因此，我们可以通过求解 f'(x) = 0 的临界点来确定函数的极值点。
2.2 利用二阶导数若函数 f(x) 在临界点 x0 处的二阶导数 f''(x0) 大于零，则 f(x) 在 x0处取得极小值；若 f''(x0) 小于零，则 f(x) 在 x0 处取得极大值。
这是由于 f''(x) 描述了函数凹凸性变化的规律。
三、函数极值的求解在判定函数的极值后，我们可以通过求解极值点的横坐标来确定函数的极值。
3.1 集中式求解对于一些简单的函数，可以通过求导数并解方程的方式求得临界点，再通过代入法判断极值。
这种方法适用于函数简单且解析解容易求得的情况。
例如，对于函数 f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x + 3，可以求得其导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 4。
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
函数的极大(小)值和最大(小)值
§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。