极大值与极小值

看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．如f(x)＝x3，由
f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极
值点．
1．函数极值概念的理解
(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0 及其左、右邻域都有意义． (2)按定义，极值点xi是区间[a，b]内部的点 (如图)，不会是端点a，b.
2．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时 f′(x)>0 ,右侧_________ f′(x)<0 , (1)如果在x 附近的左侧_________
0
大 值． 那么f(x0)是极___ f′(x)<0 ,右侧_________, f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧_________ 那么f(x0)是极___ 小 值． (3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)
解：由已知，得 f(1)＝1－3a＋2b＝－1，① 又 f′(x)＝3x2－6ax＋2b，∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0， ② 1 1 由①②得 a＝ ，b＝－ ， 3 2 故函数的解析式为 f(x)＝x －x －x.
3 2
由此得 f′(x)＝3x2－2x－1，由二次函数的性质， 1 1 当 x<－ 或 x>1 时， f′(x)>0； 当－ <x<1 时， f′(x)<0. 3 3 1 因此， 函数 f(x)的单调递增区间为(－∞， － )和(1， 3 1 ＋∞)；函数 f(x)的单调递减区间为(－ ，1)． 3
【名师点评】
已知函数极值情况，逆向应用确
定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两 点： (1)常根据极值点导数为0和极值两个条件列方程组 ，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条
件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合
理性．
变式训练2 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点 x＝1处有极小值－1，试确定a、b的值，并求出 f(x)的单调区间．
y
y f ( x)
f(x) <0
f(x) >0
a
O
b
f(x) =0
x
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
5.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
当 x∈( a，＋∞)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 此时，x＝－ a是函数 f(x)的极大值点，x＝ a是函数 f(x)的极小值点．
【名师点评】
当已知可导函数在某一点处取得极
值时，其导数值一定为0，可以此为突破口求出参数, 进而求得相关结论．
4（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4
【名师点评】
求函数的极值的一般步骤为：①
求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，解方 程f′(x)＝0；③列表格讨论导函数的正负和原函 数的增减性；④根据极值的定义求出极值．
变式训练 1 设函数 f(x) ＝ sinx － cosx ＋ x ＋ 1,0<x<2π,
求函数f(x)的单调区间与极值．
2015-5-21
4
课题：导数的应用－－极值点
我行 我能 我要成功 我能成功
忆一忆
基本求导公式:
(1)(kx b) k , 特殊的：C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
'
'
1
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
f / (1) 3a 2b c 0 f / ( 2) 12a 4b c＝0
.
2b － 3a 3 或 c 2 3a
a 2, b 9, c 12
极值的综合应用
极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已 知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类 讨论的思想在解题中的应用．
设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切， 求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． 【思路点拨】 由题意可得f′(2)＝0且f(2)＝8， 求出a，b进而求解．
1．极值的概念 设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近 f(x)<f(x0) ，则称f(x )是函数f(x) 的所有点x，都有_________
0
y极大值＝f(x0)；如果对x 附 极大值 ，记作____________ 的一个_______ 0 f(x)>f(x0) ，则称f(x0)是函数 近的所有点x，都有_________ y极小值＝f(x0) .极大值与 极小值 ，记作___________ f(x)的一个_______ 极值 极小值统称为______.
例2
a＝1 a＝2 解得 或 .6 分 b＝3 b＝9
当 a＝1，b＝3 时， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去.8 分 当 a＝2，b＝9 时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当 x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数； 当 x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当 x∈(－1，＋∞)时 f(x)为增函数. 10 分 所以 f(x)在 x＝－1 时取得极小值， 12 分 因此 a＝2，b＝9. 14 分
列表如下：
5 －∞，－ 3
x f′ (x) f ( x)
－ 0 极大值 5 f － 3
5 － ，1 3
1 0 极小值 f(1)
(1，＋∞) ＋
＋
－
由上表可以看出： 5 40 f－3＝ 是函数的极大值，f(1)＝－8 是函数的极 27 小值．
1.3.2
极大值与极小值
2015-5-21
1
2015-5-21
2
一般地， 设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
2015-5-21
a
b
x
o a
b
x
3
(7)函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值 点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极 大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻 两个极小值点之间必有一个极大值点．一般 地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极 值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点和极 小值点是交替出现的．
利用导数求函数的极值时，常列表判断导数值在零 点两侧的符号，若在零点两侧异号，则该零点是极 值点；若在零点两侧符号无变化，则该零点不是极 值点．
例3
【解】 (1)f′(x)＝3x2－3a， ∵曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线 y＝8 相切， f′2＝0 34－a＝0 ∴ ，即 ， f2＝8 8－6a＋b＝8
a＝4 解得 . b＝24
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，此时函数 f(x)没有极值点． 当 a>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝± a， 当 x∈(－∞， － a)时， f′(x)>0， 函数 f(x)单调递增； 当 x∈(－ a， a)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减；
解：由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π， 知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1， π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ )． 4 π 2 令 f′(x)＝0，从而 sin(x＋ )＝－ ， 4 2 3π 得 x＝π，或 x＝ . 2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(5)(e ) e
x '
'
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x
(7)(sinx ) cosx
(8)(cosx) sinx
5
1 (6)(lnx) x '
'
定义 1．要求函数f(x)的单调区间，应先求函数的_____ 域 ___. 2．若f(x)在(a，b)内存在导数,则f′(x)<0是f(x)在 充分不必要 条件． (a，b)内单调递减的___________
3π 因此， 由上表知 f(x)的单调递增区间是(0， π)与( ， 2 3π 3π 2π)，单调递减区间是(π， )，极小值为 f( )＝ 2 2 3π ，极大值为 f(π)＝π＋2. 2
极值的逆用
本类问题主要是研究已知函数极值点 (极值 )的情 况，逆向求参数范围的问题．
(本题满分14分)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋ a2在x＝－1时有极值0.求a、b的值． 【思路点拨】 解答本题可先求f′(x)，利用x＝－1 时有极值0这一条件建立关于a、b的方程组．解方程 组可得a、b的值，最后将a、b代入原函数验证极值 情况． 【规范解答】 ∵f(x)在 x＝－1 时有极值 0 且 f′(x) ＝3x2＋6ax＋b， f′－1＝0 3－6a＋b＝0 ∴ ，即 ， 4分 2 f－1＝0 －1＋3a－b＋a ＝0