数理方程 特殊函数
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
数理方程与特殊函数教学大纲
数理方程与特殊函数课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。
学分2，周学时2。
本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。
“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。
主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。
“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。
教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。
本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换主要教学方法：课堂讲授与课外习题。
第零章预备知识（4学时）复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。
第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。
本章学习的重点和难点是了解数学物理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。
第一节基本方程的建立通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。
第二节初始条件与边界条件方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。
用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。
第三节定解问题的提法由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。
初始条件和边界条件都称为定解条件。
数理方程与特殊函数(杨春)27PPT课件
及其性质。
强调了数理方程和特殊函数在数学建模和科学计算中 的重要性，并提供了相关练习题以帮助学生巩固所学
知识。
介绍了数理方程的基本概念、分类和求解方法 ，包括一阶、二阶常微分方程、偏微分方程等 。
通过实例演示了如何运用数理方程和特殊函数解 决实际问题，包括近似解法和数值解法等。
特殊函数的应用场景
06 数理方程与特殊函数的结 合应用
数理方程与特殊函数的关系
数理方程是描述数学模型中数量关系的一类方程，而特殊函数则是满足某 些特定条件的函数。
数理方程与特殊函数在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、 经济学等。
特殊函数在数理方程中常常作为解或解的组成部分出现，因此理解数理方 程与特殊函数的关系对于解决实际问题至关重要。
数理方程与特殊函数的基本概念、性质、方法和应用。
主题目的
通过学习本课程，使学生掌握数理方程与特殊函数的 基本理论和方法，培养其解决实际问题的能力。
课程目标和意义
课程目标
通过本课程的学习，学生应掌握数理方程与特殊函数的基本理论和方法，能够解 决一些实际问题，提高数学素养和思维能力。
课程意义
数理方程与特殊函数是数学中的重要分支，对于培养学生的数学思维、分析问题 和解决问题的能力具有重要意义。同时，本课程的学习也有助于学生更好地理解 其他数学分支和应用学科，为其未来的学习和工作打下坚实的基础。
04
随着数学教育的普及和深入，数理方程与特殊函数将成为更多学生了 解和掌握的数学工具，为他们的学术和职业发展提供有力支持。
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结合应用实例分析
数理方程与特殊函数华科
数理方程与特殊函数华科在数学的世界里，数理方程与特殊函数是两个十分重要的概念。
数理方程是描述数学关系的方程，特殊函数则是研究特定类型函数的数学工具。
它们在各个领域都有广泛的应用，从物理学到工程学，从经济学到计算机科学，无处不在。
数理方程可以看作是数学的语言，通过方程式的形式将抽象的数学概念转化为具体的问题。
它们可以描述自然界的现象，也可以解决实际生活中的难题。
比如，牛顿的运动方程可以用来描述物体在力的作用下的运动规律；薛定谔方程可以用来描述量子力学中粒子的行为。
数理方程的求解是数学研究的重要内容之一，通过求解方程，我们可以得到问题的解析解或数值解，从而对问题有更深入的理解。
特殊函数是一类具有特殊性质和特定形式的函数。
它们的定义域和值域可以是复数集合，实数集合或者其他数域。
特殊函数的名称通常与其所研究的领域或特性有关。
比如，伽玛函数是数论和组合数学中的重要工具，它可以用来计算阶乘的推广；贝塞尔函数是物理学和工程学中常见的函数，它可以描述波的传播和振动的行为。
特殊函数的研究不仅可以帮助我们理解数学的本质，还可以应用于解决实际问题。
华中科技大学作为中国一流的高等学府，致力于培养数学与应用数学领域的人才。
数理方程与特殊函数是华科数学系的重要研究方向之一。
在这里，学生们可以学习到数理方程的基本理论和求解方法，了解各种特殊函数的性质和应用，并通过实际问题的讨论和解决来提高自己的数学思维能力。
华科数学系的教授和研究人员们致力于数理方程与特殊函数的研究，他们在国内外学术界享有很高的声誉。
他们不仅在理论研究上取得了重要成果，还在应用领域做出了重要贡献。
他们的研究成果不仅推动了数学的发展，还为其他学科的研究提供了重要的数学工具和方法。
通过学习数理方程与特殊函数，我们可以更好地理解数学的本质和应用，培养数学思维和解决问题的能力。
数理方程与特殊函数的研究不仅是数学领域的重要内容，也是现代科学和技术发展的重要支撑。
在华科数学系的指导下，我们相信，数理方程与特殊函数的研究将会为人类社会的发展做出更大的贡献。
数学物理方法课件：特殊函数
c2k 1
(2k 1)!
c1
(4.26)
至此，我们得l阶勒让德方程的级数解(通解)为
y(x)＝y0(x)＋y1(x)
(4.27)
22
其中，y0(x)只含有x的偶次幂，即
y0
(x)
c0 [1
k 1
(2k
2
l)(2k
4
l)...(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)...(l
2k
1)
x2k
(4.3)
在该圆内有唯一的一个解析的解w(z)满足初值条件
w(z0)＝C1
w'(z0)＝C2
(4.4)
7
其中，C1和C2是任意给定的复常数，并且解w(z)在该圆 内是单值解析的。
注意：
(1)因为解w(z)在|z－z0|<R是解析的，故w(z)可用(z－z0)的 幂级数表示，这就是幂级数解法的基础。即这个解析解可表
，可得确定收敛域为(－∞，＋∞)。
a k k2
17
例4.2 求l阶勒让德方程
(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.17)
在x0＝0点邻域内的级数解。
解：方程可标准化为
y
1
2
x x
2
y
l(l 1) 1 x2
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(4.18)
2x
其系数 p(x) 1 x2 即x0＝0是方程的常点。
]
(4.28)
y1(x)只含有x的奇次幂，即
y1 ( x)
c1[ x
k 1
(2k
1
l)(2k
3
l)...(1 l)(l (2k 1)!
数理方程与特殊函数杨春24
k
m
Jk (x)Jm ( y)zkm
k m
J
k
(
x)
J
nk
(
y)
z
n
n k
所以得到：
J n ( x y) J k ( x)J nk ( y)
k
24
第25页/共29页
2、整数阶Bessel函数的积分表达式
罗朗展式的系数公式为：
x ( 1 )
Jn
(x)
1
2 i
e2
(一)、贝塞尔方程的引入
例1、 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度， 且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律
定解问题为：
u
t
a2
2u x2
2u y 2
,
x2 y2 R2
u t0 x, y
u x2 y2 R2 0
采用分离变量法求解
1
第2页/共29页
x
例2、求如下贝塞尔方程通解
x2
d2y dx2
x
dy dx
(x2
1)y 4
0
解：这是1/2阶贝塞尔方程
J 1 (x)
2
2 sin x
x
J1 (x) 2
2 cos x
x
y C1
2
x
sin
x
C2
2 cos x
x
16
第17页/共29页
整数阶贝塞尔函数
性质：对于n 阶整数阶贝塞尔函数有：
证明：
Jn (x) (1)n Jn (x)
y AJ n ( x) BYn ( x)
20
第21页/共29页
(三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件
自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次 自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解 若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代 入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏 微分方程的解
课程考核
考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的 电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为 ，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )
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17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的 泊松方程狄氏问题解的积分表达式
解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
其大小为G(M,M0)=1/4πr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导
电壳内M0处有正点电荷ε和它在边界面上产生的感应电 荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为 G(M,M0)= 1/4πr-v (x, y, z)。
（b) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0 )=-δ(M-M0)来 说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中 的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0), 其大小为G(M,M0)=1/2πlnr；
答：
u(M0 )
L
G dS n
Gf
D
( x,
y)d
例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？
采用什么方法求？
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。
(2) 采用镜像法
求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导 体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格 林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷ε0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求： 在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷， 使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M0).
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
u1 f (M ), M V u2 f (M ), M V
u1 S (M )
u2 S (M )
令:U=u1-u2,则：
U 0, M V U S 0
由极值原理有： U 0 ，即 u1 u2
(b ) 解的稳定性证明：
设在S上给定了函数 , * 使得： * 且：
则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。 (2) 物理意义是:
11
1
0.5 n 0
0.5
1
2
1.5
1
t1
0.8 0.6
(a) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M 0.5 00
0.4 x 0.2
0
)=-δ(M-M0)来
说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为ε(真空中
的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),
G(M1; M 2 ) G(M 2; M1)
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
答：
u(M 0 )
S
u
G(M , n
M0)
dS
G(M ,
V
M0)
fdV
例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式复习
(一)、Green函数问题 (二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题
1
G(M , M0)
4
rMM0
rMM1
1
4
1
x x0 2 ( y y0 )2 (z z0 )2
1
x
x0
2
y
y0
2
(z
z0 )2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 上半平面狄氏问题的Green函数
1
11
1
G(M , M0)
2、调和函数
要求:(1)掌握概念和性质的证明；
(2 ) 性质的应用(极值原理)
例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。 证明：泊松方程狄氏问题为： u f (M ), M V
u S (M )
(a ) 解的唯一性证明： 设定解问题有两个解u1与u2,则：
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
(a) 若G(M,M0)满足： G(M , M0 ) (M M0 ) G(M , M 0 ) S 0
M , M 0 VS
则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。
(b) 若G(M,M0)满足：
G(M , M0 ) (M M 0 )
G(M , M0 ) L 0
M , M 0 DS
u(M0)
1
4
S
1
r
(M
)
(M
)
n
1 r
dS
例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解
u 0, ( x, y, z) V
u
S
1,
u n
S 0
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：由第三格林公式：
1 1
u(M 0 ) 4 S n rMM0 dS 1
u1 f (M ), M V u2 f (M ), M V
u1 S (M )
u2 S * (M )
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令:U=u1-u2,则：
U 0, M V
U S *
由极值原理有：U 即证明了稳定性。
3、泊松方程狄氏问题格林函数
dS
1 4
V
1 r
f
(M
)
dV
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
拉普拉斯方程洛平问题为：
u uxx u yy uzz 0, ( x, y, z ) VS
u S ( x, y, z), (连续）
u
n
S ( x, y, z), (连续）
要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质 (2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式
(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式
例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什 么？
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：
y)d
拉氏方程狄氏解为：
u(M
0
)
1
(x)
(x
y0 x0 )2
y02 dx
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：
0, x 0 u(x, 0) u0 , x 0
3 dxdy
x
x0
2
y
y0
2
z02
2
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
G G
n
y
1
(x
y0 x0 )2
y02
所以得：
u(M
0
)
1
(x)
(x
y0 x0 )2
y02 dx
D
Gf
(x,
0.6 0.4 x 0.2
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
u
x0 ,
y0 ,
z0
1
2
. .
. .
x, y z0
3 dxdy
x
x0
2
y
y0
2
z02
2
f (x, y, z)G(M , M0 )dxdydz V
而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
u x0,
y0 ,
z0
1
2
. .
. .
x, y z0
S
V
V
第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SŲSV上有一阶连续 偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：
uv vu dS uv vudV
S
V
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第三格林公式：
设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格 林公式条件，则有：