数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法
分离变量法
分离变量法分离变量法又称Fourier 级数方法，而在波动方程情形也称为驻波法。
它是解决数学物理方程定解问题中的一种基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动的叠加。
思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。
常微分方程求解：()()()()()P x dx P x dx P x dx y x Ce e Q x e dx−−∫∫∫=+∫一阶非齐次的常微分方程：()(),dy P x y Q x dx+=它的通解为二阶非齐次的常微分方程：()()()y P x y Q x y f x ′′′++=它的通解为21112212()y f y f y x C y C y y dx y dx W W=+−+∫∫其中1212,0.,y y W y y =≠′′12()()0.y P x y y Q x y y ′′′++=两个线性是无关的解和并且常系数齐次的常微分方程：0y py qy ′′′++=它的特征方程20r pr q ++=，假设特征方程的根为12.r r ，(1)特征方程有两个不等的实根:齐次方程通解为：12.r x r xy Ae Be =+(2)特征方程有两个相等的实根:(3)特征方程有一对共轭的复根:12,,r i r i αβαβ=+=−齐次方程通解为()(cos sin ).xy x e A x B x αββ=+1().r xy A Bx e =+第一节有界弦的自由振动22222,(0,),0(,0)(),(,0)(),[0,](0,)(,)0,0t u u a x l t t x u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧∂∂=∈>⎪∂∂⎪⎪==∈⎨⎪==≥⎪⎪⎩一根长为l 的弦，两端固定，给定初始位移和速度，在没有强迫外力作用下的振动.物理解释：•求解的基本步骤2XT a X T′′′′=第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解(,)()()u x t X x T t =把分离形式的解代入方程可得即2()()()()T t X x a T t X x ′′′′=以及上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可得两端只能是常数，记为()()0(0)()0X x X x X X l λ′′+=⎧⎨==⎩X (x ):2()()0T t a T t λ′′+=T (t ):固有值问题(0)()()()0X T t X l T t ==.λ−从而有情形(A)下对λ的三种情况讨论固有值问题：0λ<(),x x X x AeBe λλ−−−=+0,A B +=其通解为代入边界条件可得0l l Ae Be λλ−−−+=0A B ==只有零解。
第二章 分离变量法 数理方程课件
2 0 X 2 X 0
X (0) A 0
n
n
10
,n
1,2,3,
X (x) Acosx Bsin x X (10) Bsin10 0
n
n2 2
100
n
X n (x) Bn sin 10 x
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
104
2u x2
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为 (x) x(10 x) 1000，求弦作微小横向振动时的位移。
2u u(t02,
t)
104 u
2u x2
,
(1 0, t )
0,
u(x,0)
x(10 x) 1000
,
u(x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t 0 0 x 10
数学物理方程与特殊函数
X X 0,
X
(0)
0,
2 0 X 2 X 0
X (0) A B 0
AB0
0
X 0 AB0
第2章分离变量法
0 xl X (l) 0 X (x) Aex Bex
X (l) Ael Bel 0
X (x) 0
X (x) Ax B X (x) 0
▪求特征值和特征函数 n n / l2
▪求另一个函数
Tn
Cn
cos
na
l
t
Dn
X n (x) Bn
sin na t
l
sin
n
l
x
na
na n
▪求通解 u un X nTn (Cn cos
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
数学物理方程经典教案 分离变量法(研究生,高校本科生)
X (0 )T (t) X (l)T (t) 0
(8 )
及
X X
( x )T ( x )T
(0) (x) '( 0 ) ( x )
(9 )
9
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
uutt|x0a20u,xux,|xl
0xl,t 0,t 0
0
(1) (2)
u|t0(x), ut |t0(x),0xl (3)
X (0) 0, X (l) 0 (10)
从 而 有 X ( x ) 0， 故 0时 ， 方 程 只 有 零 解 ， 也 不 可 取 。
12
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
③ 0时 , 此 时 (6 )的 通 解 为 ( 一 对 共 轭 复 根 )
X (x) A cos x B sin x, 其 中 A, B为 任 意 常 数 。 把 其 代 入 边 界 条 件 (1 0 )， 得
从 而 有 X ( x ) 0， 故 0时 ， 方 程 只 有 零 解 ， 不 可 取 。
② 0时 , 此 时 (6)的 通 解 为
X (x) Ax B, 其 中 A, B为 任 意 常 数 。
把 其 代 入 边 界 条 件 (10)， 得
固有值问题
B 0
A
l
B
0
AB0
X ''(x) X (x) 0 (6)
ii)求解固 有值问 题(Ⅱ)。
目标： 选取 适当的 ，使 得(Ⅱ)具 有非 零解。 称能够 使(Ⅱ)具 有非零 解的 常数为 固有值 (或本 征值)，相 应的 非零解 为固有
函数(或本 征函数 )。
下面分三种情况进行讨论：
① 0时, 此 时(6)的通 解为
数学物理方法分离变量法
21
由傅里叶正弦级数式展系开数公式可求出
A n2 l 0 l(x22lx )si(n 2n2 l1)xd x(2n3 1 l)2 233
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
8
(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x xl 0 u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
Bnsinl
)sin l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
nx
sin l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
Bn0
故定解问题的最终解为
u (x ,t) 3 l 3 22 n 1 (2 n 1 1 )3 c( o 2 n 2 s l 1 )a ts i( n 2 n 2 l1 ) π x
齐次方程的分离变量法
X（x）的方程和条件构成 本征值问题，只能得到
无意义
*
时得到常微方程的通解为：
则当
代入常微分方程的初始条件，可得：
除非是
否则还是得到无意义的解
则此时可得：
C2＝0
即：
这里给出本征值，相应的本征函数为：
*
而关于T的方程 此时变为： 此方程的解为： U（x,t）的一般解是： 其中Ck由初始条件确定：
*
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程
把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
另解
令
把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
分离变数令：
问题解出。
求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值
*
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 和X的边界条件：
，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但
边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态
*
随k的增大而急剧减小，此时一般解级数
收敛很快，在t>0.18l2/a2时，可以只保留第一项k＝0，此时误差
例3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他
不超过1%
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
叠加系数An和Bn,满足初始条件:
*
左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数
展开成
傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:
这样,我们就得到了原定解问题的解:
系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由
第一类边界条件确定的!
齐次方程分离变量法举例
带入条件得
C1 = 0
λx + C2 sin λx
λl = (k +1/ 2)π
C2 cos λl = 0
cos λl = 0
所以，本征值和本征函数分别为 (k + 1 )π (k + 1 )2π 2 2 x 2 X (x) = C2 sin λ= l l2
二阶常系数齐次线性微分方程
X (0) = 0
ut − a uxx = 0
2
( 0<x<l )
u x=0 = 0 ux x=l = 0
u t=0 = u0x / l
提示
泛定方程和边界条件都是齐次的，可以用分离变量法。
ut − a2uxx = 0
解 第一步：分离变量
u x=0 = 0
ux x=l = 0
u t=0 = u0 x / l
u(x,t)=X(x)T(t)
2 l nπ Bn = ∫0ψ(ξ))dξ 0 l 0 1 l B0 = ∫ ψ (ξ )dξ l 0
注
解u(x,t)正是傅氏余弦级数.这是在x=0和x=l处的第二类齐次 边界条件决定的.
区间两端为混合齐次边界条件的例题. 区间两端为混合齐次边界条件的例题 例2 研究细杆导热问题, 其定解问题：
X (x) = C0 为任意常数
二阶常系数齐次线性微分方程
X ′(0) = 0
X ′(l) = 0
特征方程为 2 + λ = 0； ∆ = −4λ k 其
（1） （2） （3）
提示 方程的解是 X (x) = C cos λx + C2 sin λx 1
得到无意义的解 X(x)≡0. 被排除 本征函数 X (x) = C0
常微分方程的变量分离法和齐次化方法
常微分方程的变量分离法和齐次化方法常微分方程是研究某个未知函数在自变量的变化下所满足的的微分方程。
近年来，在数学、物理和工程等领域的研究和应用中，常微分方程广泛地被应用。
其中，变量分离法和齐次化方法是求解常微分方程的重要方法。
一、变量分离法变量分离法是常微分方程的常用求解方法，适用于一阶或高阶常微分方程。
所谓变量分离，就是把微分方程中的未知函数和自变量分离出来，然后对它们分别求积分，从而解出未知函数。
一般形式的一阶微分方程是dy/dx=f(x,y)，我们现在来看解决该微分方程的变量分离方法。
将dy和y移至方程右侧，将dx和x移至方程左侧，得到dy/y=f(x)dx，并且对方程两边同时求积分，那么就得到y的通解：y=C*exp(F(x))其中C是一个任意常数，F(x)是y(x)的一个原函数。
举个例子，比如我们要求解微分方程y’+y=c，使用变量分离法，先将微分方程移项，得到y’=-y+c，于是就有dy/y-cdx/x=0。
对方程右边积分，就得到ln |y-cx|=C, 此时可以得到y=c*exp(x+C)，也就是y=c1*exp(x)+c2, 其中c1,c2是常数。
二、齐次化方法齐次化方法是解决形如dy/dx=f(y/x)的一阶微分方程的重要方法。
如下所示：dy/dx=f(y/x)设y=kx，那么dy=kdx，将dy/dx改写为dy/kdx=x，则上述微分方程就可以改写为：dy/kdx=f(k)这是一个分离变量的一阶微分方程，可以将它写成dy/f(k) = kdx，然后分别积分，得到：∫(1/f(k))dy=∫kdx替换k=y/x，即y=kx：∫(1/f(y/x))dy=∫xdx最终通解可表示为：F(y/x)=G(x)+C其中，F为f的一个原函数，G为g的一个原函数，C为常数。
举个例子，我们来看一个应用齐次化方法解决的微分方程：dy/dx = y^2/(3x^2+2xy), 应用齐次化方法，设y=ux, dy/dx =u+xdu/dx, 代入微分方程 dy/dx = y^2/(3x^2+2xy)中可得到:u+x(du/dx)=u^2/(3+2u)移项 $\frac{3+2u}{u^2}du = \frac{1}{x}dx$，积分可得:$\int \frac{3+2u}{u^2}du = \int \frac{1}{x}dx$,这里可以用分部积分：$\int \frac{3+2u}{u^2}du = -\frac{3}{u} + 2ln|u| + C_{1}$, 对右侧积分可得$ln|x|+C_{2}$，最后得到的通解为$-\frac{3}{y}+2ln|y| = ln|x|+C$。
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F(z) bnsinnz
n1
bn 0 F(z)sinnzdz
f(x)n 1bnsinnLx
2L
nx
bnL0
f(x)sin dx L
11/16
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
波动方程初始条件
u(x,0)(x) ut(x,0)(x)
n1
n1
ut(x,0)(n)D nsin(x) Dn = 0
n1
Cn201(x)s in(x)dx
4 /7
[c7 o n )sx ( co 7 n s)(x ]dx 3 /7
9/16
Fourier级数: 设 f(x) 在区间 [, ] 连续
f(x)a 2 0n 1[ancons xbnsin n]x
nat nx
n1CncosL
sin L
k 05 (2 k 4 1 )33c1 o(2 0 k s 1 )tsi(2 k n 1 1 )0 x
15/16
思考题
1. 偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法 有何不同？
2. 比较固有值问题与矩阵特征值问题
3. 偏微分方程分离变量法对于边界条件有何要求？
《数学物理方程》第三章§1
齐次波动方程分离变量法 固有值和固有函数 Fourier级数回顾 波动方程的Fourier解
引例 有界弦的振动问题
utt uxx, (0 x , t 0)
u x0
0, u x
0
u t0
s inx, ut
t0
0
解 u = f(x + t ) + g(x – t )
Tna2T0
通解:
nat nat
T n(t)C ncoL s D nsin L
弦振动方程的基本解:
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
n at n at n x
(C ncoL sD nsin L)siL n
nat nat nx
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
u t0 (x),ut t0 (x)
(x),(x) 是已知函数
设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离
u( x, t )=T(t)·X(x)
将 utt = T”X, uxx = T X” 代入波动方程
3/16
utt = a2 uxx
T X a2T X
常微分方程
T”(t) X(x) = a2T(t) X”(x)
4. 如何利用初始条件确定波动方程的级数解中的系 数Cn, Dn ?
习题3.1 （P.56） 2(1), 2(1,3)
8/16
例1
ut u u
t
x0 t 0
uxx, (0 x 1,t 0,u x1 0
(x),ut t0 0
0)
(x) s0,i7 nx,ox t[h3/e7,4 r/7]
u (x ,t)[C n co nts ) (D n sin n t)s (]in n x )(
n 1
u(x,0)Cnsinn( x) Cnsinn(x)(x)
T a2T
X X
Ta2T0 XX0
边界条件: T(t)X(0)=0 T(t)X(L)=0
X(0) = 0 X(L) = 0
固有值问题:
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
4/16
解的二次方程: 2 0
1
2
分三种情形: (1) 0; (2)0; (3) 0
(1)通解:
XA e xBe x
t0
0
解: CnL 20L()sin nLd 5100 0 100 (1 0)sin n 1 0d
5102 0n31 0330(co ns1)
5n233 (1cons)
4
5n 3
3
( n为奇数)
14/16
u (x ,t) n 1 (C n cn o L a s tD n sin L n a)s tin L n x
an
1
f (x)cosnxdx
bn
1
f (x)sinnxdx
设 f(x) 在 [0, ] 上连续 (奇延拓)
2
f(x) bnsinnx
n1
bn 0 f(x)sinndxx
10/16
设 f(x) 在 [0, L]上有定义(奇延拓)
z x L
[0,L] [0,] F(z) f (Lz)
2
(x)n 1CnsinnL x (x)n 1DnnL asinnL x
CnL 20L()sin nLd
D nnL aL 20L()sin n Ld
12/16
结论:
utt a2uxx,0 x L,t 0
u x0 0,u xL 0
ut0 x,ut t0 x
方程的Fourier解
nat nat nx
边界条件: X(0) = 0 X(L) = 0
AB0 A eLBeL0
A[eLe L]0 A = – B = 0
0 时固有值问题只有零解
5/16
(2) 0
XX0, 0xL
X(0)0பைடு நூலகம் X(L)0
通解: X(x) = Ax + B
X(0) = 0 X(L) = 0
B=0 AL+B=0
A=B=0
0 时特征值问题只有零解
(3) 0 2 0
1 i 2 i
6/16
0
XX0, 0xL
X(0)0, X(L)0
通解: X (x )A cox sB sin x
X(0) = 0 X(L) = 0
A=0
BsinL0
sin L0
n
n2
L2
2
Ln ( n=1,2,···
)
Xn(x)BnsinnLx
7/16
n
n2
L2
2
代入方程
f(x)g(x)six n f(x)g(x)six n
f(x)g(x)0
f(x)g(x)C
2f(x) = sin x + C 2g(x) = sin x – C
u1[s ixnt()s in x(t)] 2
u(x, t) = cos t sin x
2/16
➢齐次波动方程分离变量方法
其中
utt a2uxx, (0 x L,t 0) u x0 0,u xL 0
u (x ,t) n 1 (C n co L s D n siL n)siL n
CnL 20L()sin nLd
D nn 2a0L()sin n Ld
13/16
例3 设 a2=10000
uuttx
0
a 2uxx , 0, u
0
x 10
x 0
10,
t
0
u
t0
x(10 x) 1000 , ut