数理方程与特殊函数教学大纲
数理方程与特殊函数复习课
矩形域上的二维拉普拉斯方程
u (c0 d0 x)22
(cnenx dnenx )Yn (n y)
n10((1112;;2221))
an ch n x bn sh n x
若X提供齐次边界条件
u (c0 d0 y)22
(cnen y dnen y )Xn (n x)
n10((1112;;2221))
n 10((1112;;2221))
利用正交性求解系数
c0
1 f
f 0
( y)dy
an
2 f
f
( y)Yn (n y)dy
0
c0 d0e
1 f
f
( y)dy
0
求解方程组即可
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
环域
将定界条件带入
利用正交性求系数
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
圆域
将定界条件带入
n10((1112;;2221))
c0
1 l
l 0
( x)dx
d0
1 l
l
0
( x)dx
Cn
2 l
l 0
( x)Xn (n x)dx
Dn
2 l
1
na
l
0
( x)Xn(n x)dx
一维热传导方程
u(
x,
t
)
c2,2 0
Cnea2n2t X n (n x)
n10((1112;;2221))
1 l
X (x) X (x) 0
X
'(0)
X
'(a)
0
n
( n a
)2
0
n 0,1, 2,....
数学物理方程与特殊函数课件ppt07[42页]
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解：1、分离变量：
u(, ) R()( )
(5)
(5)代入(1)得：
R
1
R
1
2
R
0
整理后可令比值为λ：
2R R
R
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
得两个常微分方程如下：
0 (6) 2R R R 0 (7)
u(, )
a0 2
n an
n1
cos n
bn sin n
由边界条件(2)得：
f
( )
a0 2
n 1
0n
an
cos n
bn
sin n
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由傅立叶级数展开公式有：
a0
1
.2
f ( )d
.0
an
, (0
, 0
2
)
方程与边界条件变换为：
1
( u ) 1 2
2u
2
0
(1)
u 0 f ( ) (2)
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 圆盘中心温度有限，于是有：
u(0, ) (3)
(3) (ρ,θ)与(ρ,θ+2π)是圆盘上同一点，于是有：
R0 ( ) C D ln
由(8)得：D=0,于是有：
030432002数学物理方程
《数学物理方程》课程教学大纲课程代码：030432002课程英文名称：Mathematical Physics Equations课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：电子科学与技术大纲编写（修订）时间：2010.6.10一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是电子科学与技术专业及其相关专业的一门专业基础选修课。
1．掌握偏微分方程古典理论，了解现代偏微分方程的一些概念、方法和理论；2．学会用较高级和简洁的数学工具处理各种偏微分方程；3．掌握偏微分方程方法在实际问题中的应用。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求本门课程是在学习了数学分析、高等代数、常微分方程和复变函数之后开设的专业课程，要求学生有较扎实的数学分析和常微分方程基础，并对一些物理现象有所了解。
（三）实施说明1．教师在授课过程中可以酌情安排各部分的学时，课时分配表仅供参考；2. 教师在授课过程中对内容不相关的部分可以自行安排讲授顺序；3. 建议采用多媒体教学，进行计算机仿真和重要词汇英文介绍。
（四）对先修课的要求要求已经学习过高等数学，大学物理，线性代数，复变函数与积分变换。
（五）对习题课、实验环节的要求习题由教师根据教学内容选取，习题解答可以采取课上讲解、在线答疑、电邮共享等多种方式。
实践方面可以进行计算机仿真，如电磁场中典型现象的处理。
（六）课程考核方式1. 考核方式：考查2. 考核目标：能够从物理问题中提炼出方程模型，并能用本课程所学方法解决问题。
3. 成绩构成：最终理论考试、平时考核、实践环节考核成绩的总和。
（七）参考书目:《数学物理方程与特殊函数》，王元明编，高等教育出版社， 2004年《数理方程与特殊函数学习指南》，王元明编，高等教育出版社， 2004年《数学物理方程讲义》，姜礼尚编，高等教育出版社， 2004《数学物理方程与特殊函数》，方瑛徐忠昌编，科学出版社， 2007年《数学物理方程：傅里叶分析及其应用》，傅兰德编，机械工业出版社，2005年二、中文摘要本课程是电子科学与技术专业的一门选修课程。
数学物理方程与特殊函数PPT课件
——电场的三维波动方程
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
例3、静电场
确定所要研究的物理量： 电势u 根据物理规律建立微分方程：
u E
E /
对方程进行化简：
2 E (u) u u /
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程； (3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
3、线性偏微分方程的分类
按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程
按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程
•基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
B、热传导方程的初始条件
初始时刻的温度分布： u(M , t ) |t 0 (M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
2 1
t2
t1
2 k udV dt V
数学物理方程与特殊函数
数理方程教案08
教师教案( 2008—2009学年第一学期 )课程名称：数学物理方程与特殊函数授课学时：32学时授课班级：微固学院、光电学院2007级任课教师：黄晋教师职称：教授教师所在学院：数学学院电子科技大学第一章 绪论授课时数：共2学时 1次课完成本章教学内容 一．教学内容及要求 1. 教学内容1.1常微分方程基础(1学时)； 1.2常用算符与函数(1学时)；2. 教学要求(1)复习二阶常微分方程通解概念；(2)学会求解二阶常微分方程的常数变易法； (3)了解格林公式和高斯公式。
二．教学重点与难点 1. 教学重点二阶常系数常微分方程求解方法。
2. 教学难点二阶常微分方程的常数变易法。
三．教学方式1． 提问方式：常系数齐次二阶常微分方程求解方法；2． 类比方式：一阶常微分方程与二阶常微分方程常数变易法对比3． 绘图方式：绘制多边形图形说明格林公式应用，绘制三维立体说明高斯公式应用。
四、作业 思考题：1.微分方程和代数方程的最大区别是什么?2.常系数齐次二阶常微分方程的系数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？4.谐振动中的参数 ω有何意义？5.不定积分dx x ⎰cos 与⎰dx y x ),cos(的结果有何区别？五、本章参考资料蔡日增，俞华英, 数学物理方法学习与解题指导, 长沙：湖南科学技术出版社，1988 六、教学后记本章主要介绍数理方程与特殊函数课的主要内容，回顾与数理方程相关的微积分内容，并介绍数理方程的历史背景和工程背景以及课程中的常用数学思想方法。
重点是常微数方程的求解方法，二阶常微分方程常数变易法，按计划完成了教学内容，效果较好。
第二章定解问题与偏微分方程理论授课时数：共6学时分为3次课完成本章教学内容一．教学内容及要求1. 教学内容2.1波动方程及定解条件(2学时)；2.2热传导方程及定解条件(1学时)；2.3方程的化简与分类(3学时)。
工程数学-数学物理方程与特殊函数电子教案-王元明-2-4
ab 1 u 1 2 u 2 12 cos 2 2 2 0 2π u | u | 0 0 2π b a
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因子的常微分方程的初值问题(或另一单元函数的常微 分方程的边值问题),用参数变易法或拉氏变换法可求得
其解.
3.将所求得的解代入未知函数的展开式中,即得原定
解问题的解.这种分离变量的方法按其特点又叫特征函
数(或固有函数)法.
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弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一
是初始状态,所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起
的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.
可设解为:
U ( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t )
其中V ( x , t ) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足:
A0 ( ) c0 d0 ln d0 ln B0 ( ) c0
An ( ) cn n dn n , n 2 n dn n , n 1, 2, 3,… Bn ( ) cn
由条件
(b) 0 An (a) An
可令上式的解为:
u( , ) [ An ( )cos n Bn ( )sin n ]
n 0
代入方程并整理,得到:
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2 1 n ( ) An ( ) 2 A （ An n ) cos n n 0 1 n2 2 B ( ) B ( ) B （ ) sin n 12 cos 2 n n n 2
复变函数与数理方程教学大纲.doc
复变函数与数理方程Functions of Complex Variables and Equations of Mathematical PhysicsFall Semester 201XSyllabusCourse Description:本课程是理工科有关专业的一门基础课，主要由”复变函数”"数学物理方程”和“特殊函数”三部分内容组成。
“复变函数”部分介绍解析函数的基本性质，积分，级数，留数等内容。
“数学物理方程”部分介绍数学物理方程的一些基本概念及三种典型方程、各种定解问题的常用解法，包括分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法等。
“特殊函数”部分讨论贝塞尔函数及勒让德多项式。
通过这门课程的学习，学生应掌握复变函数论的基本知识和方法，三类典型方程定解问题的解法，了解贝塞尔函数及勒让德多项式的简单性质及其在数学物理方程中的应用，为学习电磁场、量子力学等有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，也为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容解决科学技术和工程实际问题提供重要帮助。
This is a foundation course for engineering students. It mainly consists of three parts: functions of complex variables, equations of mathematical physics and special functions.By this course, the students are expected to grasp the basic knowledge and techniques in solving questions of complex variables and the three types of partial differential equations. The contents of this course will be of great benefit for later curriculums and applied in many aspects.Prerequisite: calculus, or equivalent courses.Textbook: A first course in partial differential equations with complex variables and transform methods, by H.F.Weinberger, Dover Pub.Inc.Examinations: One 120-minute midterm examination, and a comprehensive final examination given during the final examination period.Calculators: A calculator may be useful for some homework problems involving graphing. However, the use of calculators is not permitted on exams.Grading Policy: Grades will be assigned on the basis of 100 points distributed as follows30 points midterm examination30 points quizzes/homework40 points final examinationTentative Course Outline:Chp 1 The one dimensional wave equation 一维波动方程Chp 2 linear 2nd-order partial differential equations in 2 variables 二元二阶线性偏微分方程Chp 3 Some properties of elliptic and parabolic equations 椭圆和抛物型方程的性质Chp 4 Separation of variable and Fourier series 分离变量法和Fourier 级数Chp 5 Nonhomogeneous problems 非齐次问题Chp 6 Problems in higher dimensions and multiple Fourier series 高维问题和多元Fourier 级数Chp 7 Sturm-Liouville theory and general Fourier expansions 斯特姆■刘维尔理论和广义Fourier展开理论Chp 8 Analytic functions of a complex variable 一元解析函数Chp 9 Evaluation of integrals by complex variable methods 复变函数积分的方法Chp 10 The Fourier transform 傅里叶变换Chp 11 The Laplace transform 拉普拉斯变换Chp 12 Approximation methods近似方法（有限元方法）Details of the contentI.The one-dimensional wave equation1. A physical problem and its mathematical models: the vibrating string2.The one-dimensional wave equation3.Discussion of the solution: characteristics4.Reflection and the free boundary problem5.The nonhomogeneous wave equation11. Linear second-order partial differential equations in two variables6.Linearity and superposition7.Uniqueness for the vibrating string problem8.Classification of second-order equations with constant coefficients9.Classification of general second-order operatorsHI. Some properties of elliptic and parabolic equationsplace's equation11.Green's theorem and uniqueness for the Laplace's equation12.The maximum principle13.The heat equationIV.Separation of variables and Fourier series14.The method of separation of variables15.Orthogonality and least square approximationpleteness and the Parseval equation17.The Riemann-Lebesgue lemma18.Convergence of the trigonometric Fourier series19.Uniform convergence, Schwarz's inequality, and completeness20.Sine and cosine series21.Change of scale22.The heat equationplace's equation in a rectangleplace's equation in a circle25.An extension of the validity of these solutions26.The damped wave equationV.Nonhomogeneous problems27.Initial value problems for ordinary differential equations28.Boundary value problems and Green's function for ordinary differentialequations29.Nonhomogeneous problems and the finite Fourier transform30.Green's functionVI.Problems in higher dimensions and multiple Fourier series31.Multiple Fourier seriesplace's equation in a cubeplace's equation in a cylinder34.The three-dimensional wave equation in a cube35.Poisson's equation in a cubeVII.Sturm-Liouville theory and general Fourier expansions36.Eigenfunction expansions fbr regular second-order ordinary differentialequations37.Vibration of a variable string38.Some properties of eigenvalues and eigenfunctions39.Equations with singular endpoints40.Some properties of Bessel functions41.Vibration of a circular membrane42.Forced vibration of a circular membrane: natural frequencies and resonance43.The Legendre polynomials and associated Legendre functionsplace's equation in the sphere45.Poisson's equation and Green's function for the sphereVIII. A nalytic functions of a complex variableplex numbersplex power series and harmonic functions48.Analytic functions49.Contour integrals and Cauchy's theoremposition of analytic functions51.Taylor series of composite functions52.Conformal mapping and Laplace's equation53.The bilinear transformationplace's equation on unbounded domains55.Some special conformal mappings56.The Cauchy integral representation and Liouville's theoremIX.Evaluation of integrals by complex variable methods57.Singularities of analytic functions58.The calculus of residuesurent series60.Infinite integrals61.Infinite series of residues62.Integrals along branch cutsX.The Fourier transform63.The Fourier transform64.Jordan's lemma65.Schwarz's inequality and the triangle inequality for infinite integrals66.Fourier transforms of square integrable functions: the Parseval equation67.Fourier inversion theorems68.Sine and cosine transforms69.Some operational formulas70.The convolution product71.Multiple Fourier transforms: the heat equation in three dimensions72.The three-dimensional wave equation73.The Fourier transform with complex argumentXL The Laplace transform74.The Laplace transform75.Initial value problems fbr ordinary differential equations76.Initial value problems for the one-dimensional heat equation77. A diffraction problem78.The Stokes rule and Duhamel's principleXII. Approximation methods79.''Exact" and approximate solutions80.The method of finite differences for initial-boundary value problems81.The finite difference method for Laplace's equation82.The method of successive approximations83.The Rayleigh-Ritz method(This schedule is subject to change.)ACADEMIC INTEGRITY STATEMENT: All university policies regarding ethics and honorable behavior apply to this course.。
武大期末复习-数理方程教学指导纲要
第九章定解问题的物理意义基本要求与教学内容：1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义,根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。
2、第一、第二类边界条件的物理意义。
根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。
3、初始条件的意义及确定。
本章重点：掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。
第十章利用积分变换解无界问题基本要求与教学内容：1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理解其解的物理意义。
2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。
本章重点：利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程第十一章一维有界问题的分离变量基本要求与教学内容：1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。
2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。
3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(tT方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。
4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(tT 方程的解；4)定解问题的解。
5、掌握非齐次边界条件的齐次化。
本章重点：⏹第二类齐次边界条件的本征值和本征函数⏹用分离变量法求解一维有界问题的解⏹利用本征函数展开解一维有界非齐次方程⏹非齐次边界条件的齐次化第十二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式 基本要求与教学内容：1、 了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。
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数理方程与特殊函数
课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。
学分2，周学时2。
本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。
“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。
主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。
“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。
教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。
本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换
主要教学方法：课堂讲授与课外习题。
第零章预备知识（4学时）
复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。
第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）
在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。
本章学习的重点和难点是了解数学物
理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。
第一节基本方程的建立
通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。
第二节初始条件与边界条件
方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。
用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。
第三节定解问题的提法
由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。
初始条件和边界条件都称为定解条件。
把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。
本章习题：3-5题
第二章分离变量法（8学时）
本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时，如何设法把它们转化为常微分方程来求解。
本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质，学会求解常见的定解问题。
第一节有界弦的自由振动
通过有界弦的自由振动问题，介绍用分离变量法求解齐次波动方程的全过程。
特别应提醒学生，随着定解条件的不同，固有值和固有函数不同，定解问题的解也会有不同的形式。
第二节有限长杆上的热传导
通过运用分离变量法求解热传导方程，总结分离变量法求解定解问题的一般步骤。
第三节圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
通过运用分离变量法求解圆域内二维拉普拉斯方程的定解问题，指出针对不同的边界形状，应在不同的坐标系内求解定解问题才能获得事半功倍的效果。
第四节非齐次方程的解法
非齐次方程的定解问题，可分解为该方程对应的齐次方程在原定解问题下的解与该方程在零定解条件下的解的叠加。
利用分离变量法先求解齐次方程的定解问题后，再将获得的固有函数用于对非齐次方程在零定解条件下的解。
这种方法称为固有函数法。
第五节非齐次边界条件的处理
当边界条件为非齐次时，应利用函数代换，将边界条件化为齐次的，然后总结分离变量法求解定解问题的步骤。
本章习题：10-15题
第三章行波法与积分变换法（4学时）
求解无界域内的波动方程时，行波法是一个有效的方法。
而积分变换法则不受方程类型的限制，主要用于无界域，但有时也能用于有界域。
本章学习的重点和难点是熟练掌握积分变换法的基本解题方法和行波法在波动方程求解中的应用。
第一节一维波动方程的达朗倍尔公式
在一根无界的弦上的任意扰动，总是以左行波和右行波的形式向两端进行传播的。
即一维无界域上的波动方程的通解为左右行波函数之和。
通过定解条件即可定出行波函数的形式，从而获得该定解问题的解，称为达朗倍尔公式。
第二节三维波动方程的泊松公式
在研究交变电磁场等问题时，需要求解在三维无限空间里的波动方程。
则上述左右行波的通解形式通过适当的变形后仍然适用。
所得定解问题的解称为泊松公式。
第三节积分变换法举例
积分变换可将未知函数对自变量的求导运算消去，从而将常微分方程化成象函数的代数方程。
因此，在偏微分方程两端对某个自变量作积分变换就能消去未知函数对该自变量的求偏导运算，得到象函数的较为简单的微分方程。
本章习题：4-6题
第四章拉普拉斯方程的格林函数法（５学时）
拉普拉斯方程是描述静电场分布的重要方程。
格林函数法可以提供该方程的积分形式解。
本章学习的重点和难点是掌握拉普拉斯方程的基本特点，了解该方程积分形式解的推导过程，学会用格林函数法求解一些特殊区域内的拉普拉斯方程。
第一节拉普拉斯方程边值问题的提法
拉普拉斯方程的连续解叫做调和函数。
拉普拉斯方程的第一边值问题称为狄利克莱问题，而第二边值问题称为牛曼问题。
第二节格林公式
求拉普拉斯方程边值问题的解，就是要求在已知调和函数在边界上的值的情况下，推得调和函数在边界内每一点的值。
为此需要先从线面积分中的奥－高公式推导得到格林公式，并进一步得到调和函数的积分表达式。
第三节格林函数
调和函数的积分表达式表明，调和函数在某区域内的值可用该函数在区域边界上的值及其在边界上的法向导数来确定。
但这个表达式并不能用于求解狄利克莱问题或牛曼问题，因为他们分别只提供调和函数在边界上的值或者在边界上的法向导数。
若要求解狄氏问题，就要从调和函数的积分
表达式中消去“已知调和函数在边界上的法向导数”这一要求。
这就需要引进格林函数的概念。
第四节两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
对于一般的区域，获得格林函数并不是容易的事。
但对某些特殊形状的区域，则可用初等的办法获得。
在求取半空间和球域的格林函数中，就可用非常直观的电像法。
由于格林函数仅依赖于区域，一旦求得该区域的格林函数，则该区域上的一切边界条件下的狄氏问题就能全部得到求解。
本章习题：5题
第五章贝塞尔函数（７学时）
在求解某些热传导方程的过程中，会遇到一种特殊类型的常微分方程，称为贝塞尔方程。
在一般情况下，这种方程的解不能用初等函数表出，从而引出一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
本章学习的重点和难点是掌握贝塞尔函数的基本性质和递推公式，能将函数展开为贝塞尔函数的级数，从而顺利求解以贝塞尔函数为固有函数的定解问题。
第一节贝塞尔方程的引出
从求解圆盘瞬时温度的分布的过程中，引出贝塞尔方程。
第二节贝塞尔方程的求解
通过对贝塞尔方程的求解，得到n阶第一类贝塞尔函数
的级数表达式并构造出n阶第二类贝塞尔函数，最后得到贝塞尔方程的通解。
第三节当n为整数时贝塞尔方程的通解
证明无论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都有相同的形式。
第四节贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间是有联系的，可用递推公式就反映了这种关系。
这意味着如果我们掌握了少数几阶贝塞尔函数的分布，就可以利用递推公式得到其他n阶的贝塞尔函数。
第五节函数展成贝塞尔函数的级数
利用贝塞尔函数的正交性，将函数展开成为贝塞尔函数的级数是求解以贝塞尔函数为固有函数的定解问题的必经步骤。
本章习题：6-10题
第六章勒让德多项式（4学时）
在球坐标系中求解拉普拉斯方程定解问题的过程中，会引出另一类特殊的常微分方程—勒让德方程，其解是另一类特殊函数—勒让德多项式。
本章学习的重点和难点是掌握勒让德多项式的基本特性，学会将函数展开为勒让德多项式的级数，从而求解以勒让德多项式为固有函数的定解问题。
第一节勒让德方程的引出
求解球坐标系内的拉普拉斯方程就可引出勒让德方程。
第二节勒让德方程的求解
求解的过程与求解贝塞尔方程类似。
第三节勒让德多项式
介绍勒让德多项式的特点。
第四节函数展成勒让德多项式的级数
利用勒让德多项式的正交性，将函数展开成为勒让德多项式的级数是求解以勒让德多项式为固有函数的定解问题的必经步骤。
本章习题：4-8题
教材：《数学物理方程与特殊函数》，东南大学数学系王元明，高等教育出版社，第三版，2004
参考书目：
1、郭玉翠．《数学物理方法第2版》．清华大学出版社．2006
2、梁昆淼．《数学物理方法第2版》．高等教育出版社．1996
3、王竹溪，郭敦仁．《特殊函数概论》北京大学出版社．2000。