数理方程与特殊函数部分课后习题
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
特殊函数概论习题解答
m) + 1)
z 2
v −µ +m
Jµ+m
(
z)
此式的一个重要特例是
∑ J v − n
(z)
=
Γ(v
n
+ 1) Cnk
k =0
( −1)k Γ(v +1−
k )
z 2
−k
Jv+k
(z)
∑ 29.证明：J µ
(az ) Jv
(bz )
∫ = −zµ+1Zv '( z ) + µ zµ Zv ( z ) − µ 2 zµ−1Zv ( z ) dz
∫ =
z
Z µ +1 v +1
(
z
)
−
vz
µ
Zv
(
z
)
+
+µ
z
µ
Zv
(
z
)
−
µ
2
zµ−1Zv ( z ) dz
移项即得预证等式
∫ ( ) 16.证明：
k2
− l2
z
−
µ
2
− z
v2
Jµ+m
(
z)
z k
∑ ∑ 证：由级数定义式
Jv
(
z)
=
∞ n=0
( −1)n n!Γ(n + v
+
1)
z 2
2n+v
及
z 2
v
= Γ(v + 1) ∞ 2
k=0 k !
Jµ+k (z)
z k
∑ ∑ 知：
Jv
数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总
1.证明二维laplace 方程 在极坐标下 证：2.长为l 的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ）， 杆的初始温度分布为x (l-x ) / 2 ，试写出相应的定解问题。
解：对于杆上的一个微元d x ，流入的热量为：温度变化所需的热量为：两式相等：定解问题为：02222=∂∂+∂∂y u x u 22,arctan y x x y+==ρθθρθρρθθρθθsin ,cos 221cos ,sin /1122222=∂∂=⋅+=∂∂=∂∂-=-⋅+=∂∂y x y x x y x y x y x 2222222222222sin cos cos 2sin sin ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u u u y u x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2222222222222sin sin sin 2sin cos ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u u u x u ρρθρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u u y u x u 11222222222ρθθθρθθρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y u y u y u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=θρρρρρu u ρθθθρsin cos ∂∂-∂∂=u u 02222=∂∂+∂∂y ux u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂θρρρρρu u3.设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
解如果琴弦像上图的方法来放置，是不是边界条件将不再是齐次的。
4.解下列问题解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=∂∂=∂∂><<∂∂=∂∂lxxxutxt luxtut lxxuatu),()0,(,0),(,0),0(,,222ϕ)()(),(tTxXtxu=XTaXT''='2XXTaT''='22=+'=+''TaTXXλλ⎩⎨⎧='='<<=+'')(,0)0(lXXlxXXλ)()(),()()0(),0(='=∂∂='=∂∂tTlXxt lutTXxtu)(,0)0(='='lXX,3,2,1,22=⎪⎭⎫⎝⎛==nlnnnπβλsin)(=-='lBlXββ)0(=='βAXxlnBXnnπcos=lnnπβ=xBxAXββcossin+=2=+''XXβ2>=βλBX=BAxX+==''X=λ==BAll eBeAlXββββ--=')()0(=-='ββBAXxx BeAeXββ-+=2=-''XXβ2<-=βλ2=+'TaTλ=λ0='T00T A=>λ02222=+'nnTlnaTπtlnanneAT2222π-=nnnTXu=xlneC tlnanππcos2222-=CAB==∑∑∞=-∞=+==1cos2222ntlnannnxlneCCuuππTXu=xlneBA tlnannππcos2222-=001()d2l lC x xlϕ==⎰022()cos d2(1)1()lnnnC x x xl llnπϕπ=⎡⎤=--⎣⎦⎰xx=)(ϕ5.达朗贝尔公式推导 解：做如下代换得：所以 因为所以所以 又因为 因为 所以所以得：即因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂x x t x u x x u t x x u a t u ),()0,(),()0,(0,,22222ψϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=t a x 121⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂=t a x 121)()(21at x f at x f u -++=ηηη∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x ξξξ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x a t 2ηξ-=2ηξ+=x at x -=ηat x +=ξ)()(21ηξf f u +=)(ξξf u =∂∂02=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ηξηξu u t a x ∂∂⋅-∂∂=∂∂1ηt a x ∂∂⋅+∂∂=∂∂1ξ011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂u t a x t a x 0122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂u t a x 0122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂u t a x 0122222=∂∂⋅-∂∂t u a x u )()()()0,(21x x f x f x u ϕ=+=)()()()0,(21x x f a x f a t x u ψ='-'=∂∂C a x f x f x +=-⎰021d )(1)()(ξξψ2d )(21)(21)(01C a x x f x ++=⎰ξξψϕ2d )(21)(21)(02Ca x x f x --=⎰ξξψϕ2d )(21)(212d )(21)(2100C a at x C a at x u at x at x ---++++=⎰⎰-+ξξψϕξξψϕ[]11()()()d 22x atx at u x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰6.解定解问题解：令所以因为 所以得7.P81T1求方程0,1,22>>=∂∂∂y x y x yx u满足边界条件y y u x x u cos ),1(,)0,(2==的解解：用积分法求解：对y 进行积分)(2122x g y x x u ==∂∂，再对x 积分)()(612123y f x f y x u ++=利用边界条件得 ，再用一次边界条件用积分变换法求解：对y 取拉普拉斯变换利用边界条件 得22d 2d d 3d y x y x --x y +=η2=∂∂∂ηξu )()3()0,(21x f x f x x u +-==)()3(0)0,(21x f x f y x u '+-'==∂∂Cx f x f =+--)()3(3121Cx x f 4343)3(1-=-C x x f 4341)(21-=C x x f 4343)(2+=()2222343)(4343341y x C y x C y x u +=+++--=(d 3d )(d d )0y x y x =-+=)()3(21x y f x y f ++-=x y 3-=ξ)()(21ηξf f u +=y y f f y y u x f x f x u cos )()1(61),1(,)0()()0,(212221=++=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂∂+∂∂x y x u x x u x y y u y x u x u ,0)0,(,)0,(,0,032222228.推导空间格林公式由高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ++=∂∂+∂∂+∂∂dS x n R y n Q x n P dV z R y Q x P )],cos(),cos(),cos([)(推导 证：设函数u(x,y,z)和υ(x,y,z)在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数。
数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1 向量函数1.证明本节命题3、命题5 中未加证明的结论略2.求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3.证明证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange 中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0 阶Taylor 公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5.证明具有固定方向的充要条件是证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是为常向量，于是，，即具有固定方向证毕因为，故，从而6.证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此充分性：设，即，其中，如果，根据第5 题的结论知， 具有固定方向， 则某个数量函数， 为单位常向量，任取一个与 垂直的单位常向量 ，于是作以 为法向量过原点的平面 ，则 平行于 。
如果 ，则 与 不共线， 又由 可知， ， ，和 共面，于是 ，，那么 ，这说明 与共线，从而，根据第 5 题的结论知， 具有固定方向，则 可表 示为，其中 为某个数量函数， 为单位常向量，作以为法向 量，过原点的平面 ，则 平行于 §2 曲线的概念1. 求圆柱螺线 在点 的切线与法平面的方程。
解： ，点 对应于参数 ，于是当 时， ，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线 在点 处的切线和法平面的方程。
解： ，当 时， ， ， 于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线 的切线和 轴成固定角 证：可表示为 ，其中 为其中 ， 为数量函数， 令 证毕令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线从起计算的弧长解：5.求抛物线对应于的一段的弧长解：6. 求星形线，的全弧长。
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
sin sin
n1 (L)2 (na)2
L
L
原定解问题解为：
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
16
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关，则可以令：
u(x,t) V (x,t) W (x)
2 l
l 0
l2
32 2a2
sin
n
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l2
32 2a2
,
n
4
Dn
2
n a
l 0
sin
4
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l
4
a
,
n
4
27
所以，定解问题的解为：
V
(
x,
t
)
l2 32 2a
2
cos
4 l
a
t
l 4
a
sin
4 l
a
t
sin
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用，并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园 域上的周期性条件);
(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。
22
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表 达式最简单。若边界是圆、扇形，柱形，球形，要使用极坐标， 柱面坐标和球坐标表示定解问题；
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
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第3章行波法与积分变换法
2u u(t02,
t)
a
2
2u x 2
,
0, u(l , t )
0,
u(x,0) 0,
t
u ( x,0)
l
h
h x, c
l
c
x,
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
0 X 0 X (x) Ax B A B 0 X (x) 0
l
x(Cn
cos na
l
t
Dn
sin
na
l
t)
(Cn
cos na
l
t
Dn
sin
na
l
t ) sin
n
l
x
u
un
n1
(Cn
n1
cos na t
l
Dn
sin
na t) sin
l
n
l
x
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u u(t02,
t)
a
2 2u , x 2
0, u(l , t )
0,
u(x,0) 0,
t
u ( x,0)
l
h
h x, c
l
c
x,
0 x l,t 0 t 0 0 xl
0 xc c xl
na
na n
u (Cn cos
n1
l
t Dn sin
l
t) sin l
x
u(x,0)
t
n1
Dn
n
n
l
n
2 n
n
l
2
, n
1,2,3,
Xn
Bn
cos n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
0 X B0
n
n
l
2
, n
1,2,3,
n
X n Bn cos l x
T a2T 0
0
T0 0 T0 B0t A0 A0
u0 X 0T0 B0 A0 C0
0
Tn
a 2 n 2
l2
2
Tn
0
a2n2 2
t
Tn An e l2
un X nTn
A B e
a
2n2 l2
2
t
nn
cos n
l
x
C ea2nFra bibliotek l22
t
n
cos n
l
x
u
un
n0
C0
2
1
1
2
0
1
1
2
2 0 0
(0)() ()() 0 (0) ( ) 0
0, 0 (0) () 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
0 , a
a
0
d pU (x, p)1 1
dx
p
数学物理方程与特殊函数
2u
xy
1,
u(0, y) y 1,
第3章行波法与积分变换法
x 0, y 0
y0
u(x,0) 1,
x0
u
y
f
(x)
x
u xy f1(x) f2 ( y)
u(0, y) f1(0) f2( y) y 1
u(x,0) f1(x) f2 (0) 1
1
G()
t
0
(t
) sin d
1
F() sin t
1
2
G()
t (t )dcos 1 F () sin t
0
1
2
G() (t )cos
|t0
t 0
cos
d
1
F () sin t
1
2
G()
t
1
sin
t
1
F
() sin
t
t G() 1 F () sin t 1 1 G() sin t
1 F()sin t 1 arctan(x t) arctan(x t)
2
1 G() sin t 1 G() ejt e-jt 1 arctanx t arctanx t
2
2
2j
4j
1 1 G()sin t j 1
2
4j
x
arctan
t
arctan
t
d
arctan
x dx
x arctan
n
u
un
n1
n1
En
sin
n
n
u(a, )
f
( )
n 1
En
sin
n
n
a
f ( )sin n d
En 0
an /
sin2 n d
0
f ( ) sin n d
0
an /
2
u 2
n1
0
f
(
)
sin
n
d
a
n
/
sin
n
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
p2
其中
x G(), 1 F()
(1 x2 )2
1 x2
U (,
p)
G()
p2
F
()
p2 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
U (,
p)
G()
p2 p2
F () 2
G ( )
p2
F ()
p2 2
1
U (,t) 1 G()t F () sin t 1 G() t sin t 1 F () (t) sin t
X X 0 T a2T 0
X X 0 0 x l
X (0) 0,
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0 0 xl
X X 0 0 x l
C e
a
2
n2 l2
2
t
n
n1
cos n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(uutx(,0x0,)at)2 xx,20u2,
, u(l,
x
t
)
0,
0 x l,t 0
t 0
u C0
n1
a2n2
Cne l2
2
t
cos
n l
x
0 xl
u ( x,0)
x
C0
Cn
n1
cos n
f2 ( y) y 1 f1(0)
f1(x) 1 f2 (0)
u xy 1 f2 (0) y 1 f1(0) xy y 2 f2 (0) f1(0)
u(0,0) 2 f2(0) f1(0) 1
u xy y 1
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例7 解定解问题
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2 第1题
设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为 零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
u(x,t) X (x)T (t)
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0
T a2T 0
na sin
l
n
l
x
0
Dn 0
n
u(x,0) Cn sin
n1
l
x
Cn
2 l
l
n
u( x,0) sin
0
l
xdx
2hl 2 2c(l c)n2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为
u(x,0) x, u(0,t) 0, u(l,t) 0
第3章行波法与积分变换法
2u 0,
u(,0) u(, ) 0, u(a, ) f ( ),
2
n
0 a 0
0
n
,
a
2n
n
n
n
n
n
Bn s
2
in
, n 1,2,3,
n
n
2
0
n Cn Dn Cn
un
nn
Bn
sin
n
n
Cn
En
sin
n
2 0
X 2 X 0 X (x) Acosx Bsin x
X (0) A 0 , X (l) Bsin l 0
n n / l, n 1,2,3, n n2 n / l2
X n (x)
Bn
sin
n
l
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法