数理方程与特殊函数复习课

2n 1 x 2a n 0,1, 2....
u x (0, y ) u x (a, y ) 0 u ( x, 0) ( x) u ( x, b ) ( x )
X ( x) X ( x) 0 X '(0) X '(a) 0
n (
0 0
n ( ) 1, cos n ,sin n ,
n 1, 2...
u( , ) u( , 2 )
0
u
0
u
0
n ( ) sin
n 1, 2...
n ,
0


(cne n x d ne n x )Yn ( n y )
an ch n x bn sh n x
u (c0 d 0 y )22
) n 1(11;22 0(12;21)


( cn e
n y
d ne
n y
) X n (n x)
环（圆）域上的二维拉普拉斯方程
特征值
特征函数系
X n ( x) sin n x a n 1, 2....
X ( x) X ( x) 0 n ( n )2 0 a X (0) X ( a ) 0 n 1, 2,....
X ( x) X ( x) 0 n ( )2 0 2a X (0) X ( a ) 0 n 0,1, 2,....
应用分离变量法求解
• 一维波动 • 一维热传导 • 二维矩形域拉普拉斯 • 二维扇形域拉普拉斯 • 二维环扇域拉普拉斯 • 二维圆环域拉普拉斯 • 二维圆域拉普拉斯
利用齐次边界条件， 确定特征值问题， 确定特征值和特 征函数
利用周期条件，确定 特征值问题，特问题，特征值， 特征函数系 方程
三种类型的数理方程
• 稳定场方程（椭圆型方程）
描述稳恒过程，即不随时间变化的过程，如固 定的电场、磁场、稳定的热场等问题。
– 二维
2u 2u 2 0 2 x y
– 三维
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
定解条件
• 初始条件
– 对于不同类型的方程初始条件的不同
x 0
q1 (t )
u dQ k dSdt n
x l
q2 (t )
长为l的弦两端固定，开始时在x=c受到冲量k的作 用，求此问题的定解问题。
0
• 设有一长为l的棒，表面绝热，包括它的两个端点（x＝0 和x＝l），初始温度为f（x），写出此问题的定解问题。
解此类题目的思路
• 边界条件
– 第一类 – 第二类
波动问题
热传导问题
边界条件的分类
以S 表示物体的边界，则有： •第一类边界条件 •第二类边界条件
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边界条件，否则 称为非齐次边界条件。
考试要求
振动、扩散物理问题的方程及 定解条件，能够写出定解问题。 方程推导过程不考。
重点：振动、扩散问题的边界
长为l 的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出， x＝0端热流强度为 q1 (， t ) x＝l 端热流强度为 q2 (t )
杆的初始温度分布为 x
流入或 q dQ dSdt 流出
，写出相应的定解问题 。 (l x )
u 0端流出，温度梯 k x 度方向为正
l端流出，温度 u 梯度方向为负 k x
X ( x) X ( x) 0 n ( n )2 0 l X (0) X ( l ) 0 n 1, 2,....
X ( x) X ( x) 0 n ( )2 0 2l X (0) X ( l ) 0 n 0,1, 2,....
u u
0
1
f0 ( ) f1 ( )

n ( ) sin
n 1, 2...
1 0
n ,
u
0
u
0
一维波动、热传导方程
u a 2 u ,(0 x l , t 0) tt xx 11,12, 21, 22 边界条件 u t 0 ( x ), ut t 0 ( x )
• 波动方程（双曲型）
描述振动过程，关于连续介质（弦、杆、膜、
气体等）的振动问题，以及关于电磁振荡等
问题。
– 一维 – 二维 – 三维
2 2u 2 u a 2 t x 2 2 2u 2u 2 u a ( 2 2) 2 t x y
2 2 2 2u u u u 2 a ( ) 2 2 2 2 t x y z
条件如何确定
振动问题的边界条件
• 固定端
• 自由端
热传导问题的边界条件
• 边界温度已知
• 边界有热流流入（或绝热）
第一类问题
：根据物理现象写出定解问题
• 弦的横振动问题：两个端点x＝0和x＝a固定，初始时处 于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。
u
H
X＝0
X1
H
X2 X＝a
x
0端
l端
u0
2,2
c0 d0 t , Tn Cn cos nat Dn sin nat
对于热传导方程
u0 c0 , Tn Cne
n2a 2 t
矩形域上的二维拉普拉斯方程
u (c0 d 0 x )22
若X提供齐次边界条件
) n 1(11;22 0(12;21)
三种类型的数理方程
• 热传导方程（抛物型）
描述输运过程，研究热传导、扩散、电介质内 电磁场的传播，粘性液体流动等问题。
– 一维
– 二维 – 三维
2 u u a2 2 t x 2 u 2u 2 u a ( 2 2) t x y
2 2 2 u u u u 2 a ( 2 2 2) t x y z
• 1、对给定的物理、力学问题，识别此问题的方程属于 哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注
意，方程中有没有自由项（外力作用）。
• 2、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初 位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问
题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端，
固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热）
2n 1 x 2l n 0,1, 2....
X ( x) X ( x) 0 X '(0) X '(l ) 0
n (
n 2 ) 0 l n 0,1, 2,....
X n ( x) cos
n x l n 0,1, 2....
矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值， 特征函数系 方程
的形式 u( x, t ) X ( x)T (t )
• 把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的
边值问题
• 求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界
条件且变量分离的特解
• 把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其
中的系数。
分离变量法步骤图
变量 分离 定 解 问 题 齐次边界条件 常微分方程2 特征值 条件 特征值问题 常微分方程1 解1 解1 × 解2
重点练习
• 习题一 1 2 4
第二章 分离变量法（在有界域内 求解定解问题）
• 分离变量法的基本思想
• 分离变量法的基本步骤
基本思想
将定解问题的解表示成单变量函数
之积（变量分离），代入偏微分方程，
将方程降阶或化为带有参数的常微分
方程，使问题简化，达到求解目的。
基本步骤
• 把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积
n 2 ) 0 a n 0,1, 2,....
X n ( x) cos
n x a n 0,1, 2....
两组边界条件可对调
圆/扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系
区域 边界条件 特征值问题 特征值 特征函数系
0 2
0 0
u
0
f ( )

圆域
u
0
, 0
扇环（扇）域上的二维拉普拉斯方程
齐次边界 若为扇域
通解中待定系数的确定方法---代入定解条件，利 用特征函数的正交性求解
n ( ) 1, cos n ,sin n ,
n 1, 2...
u( , ) u( , 2 )
0 2
u u u
0
1
f0 ( ) f1 ( ) f ( )

1 0
0
偏微分方程
解2
初始条件
所求解＝ Σ 用Fourier级数 确定叠加系数
必须会
• 一、一（0，l）， • 一、二， • 二、一， • 二、二类边界条件的特征值和特征函数 • 上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问
题(矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式 (注意：二
二类解里多一个u0，λ＝0） • 圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解 • 解题时可以直接使用，不过要写出“根据。。。。的 边界条件及分离变量法，可得：”
一维振动 一维传导
边界条件 特征值问题
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0
u (0, t ) 0 u x (l , t ) 0
u x (0, t ) 0 u (l , t ) 0
u x (0, t ) 0 u x (l , t ) 0
特征值
特征函数系