2010考研数学二真题实战演练

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2010考研数学二真题

【解析】
?z =-
Fx′= -
F1′???
y x2
??+ ?
F2′???
z x2
? ? ?=
F1′?yx + F2′?xz
=
yF1′+ zF2′,
?x Fz′
F2′?1x
F2′
xF2′
(6) 【答案】 (D).
?z = ?y
Fy′ =-
Fz′
F1′?1x F2′?1x
=
-
F1′, F2′
x ?z + y ?z = yF1′+ zF2′- yF1′= F2′?z = z ．
∫ ∫ (16)(
I
)
比较
1 0
ln
t
??ln
(1 + t )??n
dt 与
1 tn ln t dt (n = 1,2,? ) 的大小 , 说明理由；
0
∫ ( II
)
记 un =
1 0
ln
t
??ln (1+
t )??n
dt
(n = 1,2,?
), 求极限
lim
n→∞
un
.
(17) 设函数
y = f ( x) 由参数方程
.
2x3
(10)
曲线
y=
的渐近线方程为
x2 +1
.
(11) 函数 y = ln (1 - 2x)在x = 0 处的 n 阶导数 y(n) (0) =
.
(12) 当 0 ≤θ≤π时, 对数螺线 r = eθ的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加 , 宽 w 以 3 cm/s 的速率增加．则当

2010考研数学二真题(有答案解析)

r ( A)
r()
3,因此,
1
,即 A
1
1
.
1
0
0
二、填空题
(9)【答案】 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 3 22 2 0 ,因式分解得
2 2 2 22 1 0 ,
解得特征根为 2, i ,所以通解为 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
显然 lim f (x) 1 11 2 ,所以 x 1为连续点.
x1
2
2
而 lim f (x) lim x(x 1)
x1
x1 (x 1)(x 1)
1
1 x2
,所以 x 1 为无穷间断点,故答案选择
B.
(2)【答案】 (A)．
【解析】因 y1 y2 是 y P x y 0 的解,故 y1 y2 P x y1 y2 0,所以
3
明：存在 (0, 1) , (1 ,1) ,使得 f ( ) f ()= 2 2.
2
2
(22)(本题满分 11 分)
11 a
设
A
0
1
，b
1
,已知线性方程组
Ax
b
存在两个不同的解．
1
( I ) 求 ,a; ( II ) 求方程组 Ax b 的通解.
(23)(本题满分 11 分)
(4)【答案】 (D).
【解析】 x 0 与 x 1都是瑕点.应分成
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
0
nx
dx 2 0
nx
dx 1 2

2010数学二(模拟1)试题(试卷版)

绝密 * 启用前2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试卷（模拟一）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{}{},n n a b 对任意的正整数n 满足1n n n a b a +≤≤，则（ C ）．（A ）数列{}{},n n a b 均收敛，且lim lim n n n n a b →∞→∞=（B ）数列{}{},n n a b 均发散，且lim lim n n n n a b →∞→∞==+∞（C ）数列{}{},n n a b 具有相同的敛散性（D ）数列{}{},n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足(0)0f '=，32()[()]f x f x x '+=，则有（ C ）．（A ）(0)f 是()f x 的极大值（B ）(0)f 是()f x 的极小值（C ）(0,(0))f 是()y f x =的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值,且(0,(0))f 也不是()y f x =的拐点(3) 下列直线中，不是．．曲线1(1)xx y e =+的渐近线的为( )． (A) 0y = (B) 1y = (C) y e = (D) 0x = 【答案】选（A ）．【解】∵1ln(1)limlim (1)xx e xxxx e e→+∞+→+∞+=e =，1lim (1)1xxx e →-∞+=，1lim (1)xx x e +→+=+∞,∴y e =，1y =均为该曲线的水平渐近线；0x =为该曲线的垂直渐近线．■得分评卷人(4) 设410sin x I dx xπ=⎰，420tan x I dx xπ=⎰，4301cos I dx xπ=⎰，则有( )．(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 213I I I << (D) 312I I I << 【答案】选（A ）．【解】当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin cos x xx<，tan 1cos x xx<，故3I 最大．又2tan tan sin sin sin x x x x xxxx x --=，记2()tan sin f x x x x =-，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin ()2sin cos xf x x x x '=--2tan sin ()x x x x ϕ≤--=记． 21()2cos cos x x x ϕ'=--12cos 0cos x x≤--≤．故()(0)0x ϕϕ≤=，所以()0f x '≤，()(0)0f x f ≤=，从而有tan sin x x xx≤，故12I I <．（5）设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则（ C ）．（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续（B ）(,)f x y 在点0P 处必可微（C ）000lim (,)lim (,)x x y y f x y f x y →→= （D ）0lim (,)x x y y f x y →→存在（6）设()f x 为任一连续函数，a 是非零常数，则下列结论正确的是( )．(A) 若()f t 为奇函数，则0()xyady f t dt ⎰⎰是x 的奇函数(B) 若()f t 为偶函数，则0()x yady f t dt ⎰⎰是x 的奇函数(C) 若()f t 为奇函数，则0()x aydy f t dt ⎰⎰是x 的奇函数(D) 若()f t 为偶函数，则0()x ydy f t dt ⎰⎰是x 的奇函数【答案】选（Ｃ）．【解】当()f t 为奇函数时，()ayf t dt ⎰为y 的偶函数，所以0()xaydy f t dt ⎰⎰是x 的奇函数，选（Ｃ）．■（7）设B A ,为n 阶方阵，且)()(B r AB r <，则必有( B )．（A ）0||=B （B ）0||=A （C ）0||≠B （D ）0||≠Axy2o111-1D D（8）若0=x A 的解都是0 =x B 的解，则下列命题中正确的是( D )．（A ）B A ,的行向量组等价（B ）B A ,的列向量组等价（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示（D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上.（9）44412lim 12n nnnn n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦ ．【答案】填：12．（10）23221(cos)422x x x dx -+-=⎰ π．（11）函数222()2()()u x y y z z x =---+-在点0(1,2,2)M 处方向导数的最大值是 26．（12）微分方程10xy y xe x'''--=的通解为．212xxxe e C x C -++（13）由半圆21x y =-与三条直线1y =-，1y =，2x =所围成的平面图形D 的形心坐标为．【答案】填：20,03(8)π⎛⎫⎪-⎝⎭．【解】：如图，补1D ，则11DD D D xd xd xd σσσ+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112012[][cos ]xdy dx r rdr d ππθθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰220212cos 3xdx d ππθθ-=-⎰⎰243=-，42Dd πσ=-⎰⎰，242033(8)42D Dxd x d σππσ-===--⎰⎰⎰⎰．由对称性，0y =，形心坐标为20,03(8)π⎛⎫⎪-⎝⎭．■（14）设,A B 均为三阶方阵，且3,4A B ==，则*10(2)(3)A B -=【答案】应填：163-三、解答题:15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）设23,310x t t y ty ⎧=-⎨++=⎩确定函数()y y x =，求202|t d ydx =．答案2（16）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()f g ξξ''''<．得分评卷人得分评卷人（17）利用变换t x =化简微分方程23242(1)6xd y dy x x y edxdx+--=(0)x >，并求出原方程的通解．【解】12dy dydxdtx =，22221144d y dy d y dxdtx dtxx =-+，代入方程化简得2326td y dy ye dtdt--=．解此方程得2331215ttty C eC ete -=++，故方程通解为2331215xxxy C e C exe-⋅=++．■（18）计算不定积分arctan1xdx x+⎰．【解】arctan2arctan11xdx x d x x=++⎰⎰121arctan 1x x x d x x+=+-+⎰121arctan 1x x d x x=+-+⎰21arctan 2ln(1)x x x x C =+-+++．（19）设()f x 在[0,]a 上非负，(0)0f =，()0f x ''>，求证：2()()3a axf x dx a f x dx >⎰⎰．【证明】：令02()()()3x xF x tf t dt x f t dt =-⎰⎰，(0,)x a ∈，(0)0F =，则22()()()()33x F x xf x f t dt xf x '=--⎰ 012()()33x xf x f t dt =-⎰．(0)0F '=，1()[()()][()()]33x F x xf x f x f x f ξ'''''=-=-，[0,]x ξ∈．由于()0f x ''>，()f x '单调递增．故()0F x ''>，(0,)x a ∈．()F x '单调递增，()0F x '>，(0,)x a ∈，xyo12D 1D 3D 11-D()F x 单调递增，所以()0F x >，(0,)x a ∈．由于()F x 在[0,]a 上连续，故()0F a >，从而2()()3a axf x dx a f x dx >⎰⎰．■20）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2z x y∂∂∂．答案：22111242()xyf x y f ϕ'''''-+-2222()xy f xy f ϕϕϕ'''''''+++．（21）计算二重积分{}2m ax ,DI x x y d σ=⎰⎰，其中:01D x ≤≤，11y -≤≤．答案：815=（20）（数学1，2，3）（Ⅰ）设n 维向量组12,,,,s αααβ 线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ααα 线性表示的充要条件是12,,,s ααα 线性无关；（Ⅱ）设4维向量组1122334(1,,0,0),(1,,1,0),(1,,1,1),(1,,0,1)TTTTb b b b αααβ====，且β可唯一地由123,,ααα线性表示，求常数1234,,,b b b b 满足的条件．答案：24130b b b b +--=（21）（数学1，2，3）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且AB C =,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011,110011C B ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A．。

2010年考研数学(二)试题

(D) e.
1 m ln2 (1− x)
∫ (4) 设 m, n 是正整数,则反常积分 0
dx 的收敛性 ( ) nx
(A) 仅与 m 的取值有关.
(B) 仅与 n 的取值有关.
(C) 与 m, n 取值都有关.
(D) 与 m, n 取值都无关.
(5) 设函数
z
=
z(x, y)
,由方程
F(y , x
(23) 设
A
=
⎜ ⎜
−1
3
a
⎟ ⎟
,正交矩阵
Q
使得
QT
AQ
为对角矩阵,若
Q
的第
1
列为
⎜⎝ 4 a 0 ⎟⎠
1 (1, 2,1)T ,求 a,Q 6
参考答案
一、选择题 (1)【答案】 (B).
【解析】因为
f
(x)
=
x2 − x x2 −1
1+
1 x2
有间断点 x = 0, ±1 ,又因为
数学（二）试题第 3页（共 3 页）
(5) 【答案】 (B).
【解析】
∂z
=
−
Fx′
=
−
F1′
⎛ ⎜
−
⎝
y x2
⎞ ⎟⎠
+
F2′
⎛ ⎜
−
⎝
z x2
⎞ ⎟⎠
=
F1′ ⋅
y x
+ F2′ ⋅
z x
=
yF1′
+
zF2′
,
∂x Fz′
F2′
⋅
1 x
F2′
xF2′
∂z
=−

【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析

2010年考研数学二试题及答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()x f x →==所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i→∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dxt t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t ty e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积222222bbbba S xdyb y dy b --==-⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.2662211232cos 2(cos 2)()223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量23()3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q的第一列为2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-, 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

(1)函数()f x = (A) 0. (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设1y ,2y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解. 若常数λ, μ使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是对应的齐次方程的解, 则（A ）11,22λμ== (B)11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22,33λμ== (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =(A)4e (B)3e (C)2e (D)e(4)设,m n 为正整数,则反常积分dx ⎰的收敛性(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关(C)与,m n 取值都有关(D)与,m n 取值都无关(5)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠则z z xy x y∂∂+=∂∂ (A) x(B)z (C) x -(D) z -(6) 2211lim()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑ (A)121(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰(B)11(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰(C) 11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ (D)112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰（7）设向量组12 :, ,, r I ααα⋅⋅⋅可由向量组12II : , ,, s βββ⋅⋅⋅线性表示, 则列命题正确的是(A) 若向量组I 线性无关, 则r s ≤ (B) 若向量组I 线性相关, 则r s >(C) 若向量组II 线性无关, 则r s ≤ (D) 若向量组II 线性相关, 则r s >(8)设A 为4阶对称矩阵,且20A A +=若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(B)1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(C) 1110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(D) 1110-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2010考研数学二真题及答案解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I:,,,r ααα 可由向量组12II:,,,s βββ 线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >. (8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .(11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y= .(12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ.(18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3)(19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂.(20)(本题满分10分) 计算二重积分2 sin DI r θ=⎰⎰,其中(),|0s e c ,04D rr πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ A Q 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→=,其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ②由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2a x x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =2a y =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==.所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于1210[ln (1lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!nn -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '=0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bbba S xdyb --==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=. 266221122cos 2(cos 2)(223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI rθ=⎰⎰sin Dr rdrdθ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+. (22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245TQ AQ⎛⎫⎪=Λ=-⎪⎪⎝⎭.。

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2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）
函数()f x ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（2）设1y ，2y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λ，u 使
12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）
（A ）1122λμ=
=，（B ）1122λμ=-=-，（C ）2133λμ==，（D ）22
33
λμ==，
（3）曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）
（A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e （4）设,m n
是正整数，则反常积分
x ⎰
的收敛性( )
（A ）仅与m 的取值有关（B ）仅与n 的取值有关（C ）与,m n 的取值有关（D ）与,m n 的取值无关
（5）设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z
F x x
=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则
z z
x
y x y
∂∂+=∂∂( ) （A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z -
（6）2211lim
()()
n n
n i j n
n i n j →∞
===++∑∑（） (A)
12
1
d d (1)(1)
x x y x y ++⎰⎰; (B)
10
1
d d (1)(1)
x x y x y ++⎰⎰;
(C)11
01
d d (1)(1)
x y x y ++⎰
⎰
;
(D)
11
20
01
d d (1)(1)
x y x y ++⎰
⎰
.
(7) 设向量组Ⅰ：12r ααα ，，可由向量组Ⅱ：12s βββ ，，线性表示，下列命题正确的是（）
（A ）若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤ （B ）若向量组Ⅰ线性相关，则r s > （C ）若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤ （D ）若向量组Ⅱ线性相关，则r s > (8) 设A 为4阶实对称矩阵，且20A A +=,若A 的秩为3，则A 相似于（）
（A ）1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）1110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （C ）1110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
（D ）1110-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥
⎣
⎦
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y = 。

（10）曲线1
223
+=x x y 的渐近线方程为。

（11）函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y = 。

（12）当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ
=的弧长为。

（13）已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当
l =12cm,w =5cm 时，它的对角线增加的速率为。

（14）设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2A B A B -==+=，则1
A B -+= 。

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求函数2
2
2
1
()()d x t f x x t e t -=-⎰
的单调区间与极值。

（16）（本题满分10分）
（Ⅰ）比较
[]1
ln ln(1)d n
t t t +⎰
与1
ln d n t t t ⎰(1,2,)n = 的大小，说明理由；
（Ⅱ）设[]1
ln ln(1)d n
n u t t t =+⎰
(1,2,)n = ，求极限lim n n u →∞
.
（17）（本题满分11分）
设函数()y f x =由参数方程22()x t t y t ψ⎧=+⎨=⎩
，(1)t >- 所确定，其中()t ψ具有2阶导
数，且
5 (1)
2
ψ=，(1)6
ψ'=.已知
2
2
d3
d4(1)
y
x t
=
+
，求函数()t
ψ.
（18）（本题满分10分）
一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆,现将贮油罐平放,
当油罐中油面高度为3
2
b时,计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常
数ρ,其单位为3
kg m)
（19）（本题满分11分）
设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足22222412
50u u u
x y x y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定 ,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为
20u
ξη
∂=∂∂.
（20）（本题满分10分）
计算二重积分2sin ,D
I r θ=⎰⎰其中{(,):0sec ,0}4D r r π
θθθ=≤≤≤≤.
（21）（本题满分11分）
设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且(0)0f =,(1)13f =.证明：存在(0,12)ξ∈,(12,1)η∈,使得22()()f f ξηξη''+=+.
设
11
010
11
A
λ
λ
λ
⎡⎤
⎢⎥
=-
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，1
1
a
b
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
已知线性方程组Ax b
=存在2个不同的解（Ⅰ）求λ，a；
（Ⅱ）求方程组Ax b
=的通解.
设
014
13
40
A a
a
-
⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，正交矩阵Q使得T
Q AQ为对角矩阵，若Q的第1列为
T,求a，Q.。