数理方程期末试题B答案
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷(B)试卷份数考试本科考试科目常微分第１页（共5页)年月日第2页（共 5 页)年月日第 3 页（共 5 页）年月日第4页（共５页)年月日12-13—２学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准(数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1。
1±=y 2。
x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)６．A 7．C 8。
C 9。
D 10。
Ｄ三、简答题（每小题６分,本题共30分）１１．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分)等式两端积分得通积分C x y +=e e（６分）12.解 令u x y =,则xuxu x y d d d d +=,代入原方程,得 u u x u x u tan d d +=+,u xux tan d d = （2分)当0tan ≠u 时,分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分)C x u ln ln sin ln += (5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13.解 方程两端同乘以5-y ,得x y xyy +=--45d d （2分） 令 z y=-4,则xz x y y d d d d 45=--，代入上式,得 x z xz=--d d 41 (3分)通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14。
解: 因为xNx y M ∂∂==∂∂2,所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 (6分)15。
解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ,故奇点为原点（０，0) 2分又由d ｅｔ(A —λＥ）＝0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以,方程组的奇点(0，0)可分为以下类型：ａ,ｃ为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分,本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ, (2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分) 因为0=α是特征根。
数学物理方程期末试卷与答案分析
3、试用分离变量法求定解问题(10 分)：
u 2 u 2 ,0 x 4, t 0 t x 0, u x4 0, u x 0 2x u t 0 .
4、分离变量法求定解问题(10 分)
2 2 2 x cos x, (0 x l, t 0) utt a u xx sin l l u (0, t ) 3, u (l , t ) 6 x 4 u ( x, 0) 3 x 1 , ut ( x, 0) sin l l
3
ut a 2u xx , 0 x l , t 0 u u
x 0
0, u x
x l
q ,t 0 k
（1 分）
t 0
x(l x) ,0 x l 2
3、解 令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) （2 分） ，代入原方程中得到两个常微分方程：
10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10 分)
2
答案及分析
1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数 u ( x, t ) 满足
utt a 2u xx ,
（2 分）
其中 a 2
T
.由于左端开始时自由，以后受到强度为 A sin t 的力的作用，所以
Tu x (0, t ) A sin t 0, t 0, u x (0, t )
n 2 2t n ; 16 4 (1 分)，再解 T (t ) ，得到 Tn (t ) C n e （2
分 ）， 于 是
Cn
u ( x, t ) (C n e
n 1
n 2 2t 16
数理方程期末试题B答案
北 京 交 通 大 学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____学号_______________ 姓名___________ __一、 计算题（共80分，每题16分）1．求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。
初速度为零，又没有外力作用。
求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n hn n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。
5．用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
最新数学系常微分方程期末试卷B及答案
试卷（B）试卷份数考试本科考试科目常微分方程第1 页（共5页）年月日第 3 页（共 5 页）年月日年月日12-13-2学期期末考试《常微分方程》B 参考答案及评分标准（数计学院 ）制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1±=y 2．x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．不能二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．A 7．C 8．C 9．D 10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解 分离变量得x y xyd e d e = （3分）等式两端积分得通积分C xy+=e e （6分）12．解 令u x y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u xux tan d d = （2分）当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）C x u ln ln sin ln += （5分） 即通积分为：Cx xy=sin（6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d （2分）令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解： 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程 （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解： 因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件00≠=ac cb a ，故奇点为原点（0，0） 2分又由det(A-λE)=0)(02=++-=--ac c a c b a λλλλ得 c a ==21λλ 4分所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a ，c 为实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧>><<⎭⎬⎫=≠=⎪⎩⎪⎨⎧<⎩⎨⎧>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a 6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为052=-λλ （1分） 特征根为：特征根为01=λ，52=λ， （2分）齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
高等数学b期末考试试题及答案
高等数学b期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数y=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-3xD. x^2-3答案：A4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 定积分∫(0到1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. ln(x) + CD. x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。
答案：x=1, x=22. 函数f(x)=ln(x)的导数是______。
答案：1/x3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程是______。
答案：y=2x-14. 定积分∫(0到2)x^2dx的值是______。
答案：4/3三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。
令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
计算f(0)=2，f(2)=-2，f(1)=0。
因此，在区间[0,2]上，函数的最大值为2，最小值为-2。
2. 求极限lim(x→∞)(1/x^2)。
答案：lim(x→∞)(1/x^2)=0。
3. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数y=x^3-6x^2+11x-6的导数为y'=3x^2-12x+11。
令y'>0，解得x>3或x<11/3；令y'<0，解得11/3<x<3。
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
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北 京 交 通 大 学
2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）
（参考答案）
学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __
一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）
2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）
3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。
初速度为零，又没有外力
作用。
求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得
4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求
出波动方程的通解。
5． 用分离变量法解下列定解问题
[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。
]
[ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π
sin ，其解可以表示成
把原问题中非齐次项t x t x f l a l π
π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数
因此有
利用参数变易法，有 于是
6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题
[ 解 ] 用分离变量法求解。
令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得
以及 设0ρβλn n =
为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为
问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故
于是最后得到原问题的解是
二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式
其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。
[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有
再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到
交换u,v ，得到
上面第二式减去第一式，得到 证毕。
8． 证明关于Bessel 函数的等式：。