数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试答案.
天津工业大学（2009—2010学年第一学期）《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。
本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
一填空题(每题3分,共10小题)1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；三角形式为：)1sin 1(cos i e + .2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 .3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？).4. 给出矢量场旋度的散度值，即=⨯∇⋅∇f0 .-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名装订线装订线装订线5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 .7. δ函数的挑选性为⎰∞∞-=-)()()(00t f d t f ττδτ.8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和初始条件 .9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、输运方程 和 稳定场方程 .10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222=Θ++Θ-Θ-l l dx d x dxd x .二计算题(每小题7分，共6小题)1. 已知解析函数)(z f 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数(0)0(=f ).解： y x u x +=2，x y u y +-=2，2=xx u ，2-=yy u . 0xx yy u u +=, (,)u x y 是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件x y u v =,x y v u =-, 即，x y v x -=2,y x v y +=2， 2分 于是，⎰+++-=),()2()2(y x Cdy y x dx x y v⎰⎰+++-+++-=)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(x y x x C dy y x dx x y dy y x dx x yC x y xy +-+=22222. 2分所以，)21()(2iz z f -=. 1分2. 给出如图所示弦振动问题在0x 点处的衔接条件. 解：),0(),0(00t x u t x u +=-, 2分 0sin sin )(21=--ααT T t F , 2分 又因为),0(sin 011t x u tg x -=≈αα, ),0(sin 022t x u tg x +-=≈αα, 2分 所以，)(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x -=--+. 1分3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.解：三维输运方程为02=∆-u a u t (1分)分离时间变数t 和空间变数r,以)()(),(r v t T t r u= (2分) 上式代入方程,得v vTa T ∆='2 (1分)令上式等于同一常数2k -, 22k v vTa T -=∆=' (2分) 则得骇姆霍兹方程为02=+∆v k v (1分)4. 在00=z 邻域把m z z f )1()(+=展开(m 不是整数).解：先计算展开系数：m z z f )1()(+=， m f 1)0(=；)(1)1()(1z f zmz m z f m +=+='-； m m f 1)0(='； 2)1)(1()(-+-=''m z m m z f m m m f 1)1()0(-=''； 5分 )()1()1(2z f z m m +-=, 所以，m z )1(+在00=z 邻域上的泰勒级数为+-++=+21!2)1(1!11)1(z m m z m z m m m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++= 2!2)1(!111z m m z m m . 2分5. 计算⎰=-22sin 21z zzdz.解： 因为4ππ±→n z (n 为整数，包括零)，有0)sin 21(2→-z ，因此，40ππ±=n z 是极点.但是，在2=z 圆内的极点只有4π±.又由于1分4]sin 21)4[(lim 24πππ-=--→z z z z ， 2分 4]sin 21)4[(lim 2πππ-=-+-→z z z z ， 2分 所以， i sf sf i z zdz z 222)]4(Re )4([Re 2sin 21ππππ-=-+=-⎰=. 2分6. 求拉氏变换][cos t L ω,ω为常数. 解: )(21cos t i t i e e t ωωω-+=, sp e L st -=1][ 2分 ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-)(21][cos t i t i e e L t L ωωω][21][21t i t i e L e L ωω-+= 2分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=ωωi p i p 1121 2分 22ω+=p p0Re >p 1分三计算题求解两端固定均匀弦的定解问题 02=-xx tt u a u 00==x u，0==lx u，)(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==.解: 设此问题的解为)()(),(t T x X t x u = 代入方程和初始条件，得 02=''-''T X a T X ，0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ， 可得，X X Ta T ''=''2，0)0(=X ，0)(=l X ， 令，λ-=''=''X X Ta T 2 所以，⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0l X X X X λ ，(本征值问题)02=+''T a T λ 下面先求解本征值问题：当0<λ时， xxe c e c x X λλ---+=21)(，由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.当0=λ时， 21)(c x c x X +=， 同样由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.当0>λ时， x c x c x X λλs i n c o s )(21+=， 由初始条件，得 01=c ，0sin 2=l c λ， 所以，0sin =l λ，即，πλn l = (n 为正整数)，因此本征值为：222ln πλ= ,3,2,1=n本征函数为：lxn c x X πsin)(2=， 2c 为任意常数. 10分 方程02=+''T a T λ的解为：latn B l at n A t T ππsin cos )(+=， 因此，l x n l at n B l at n A t x u n n n πππsinsin cos ),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 此问题的通解为：l x n l at n B l at n A t x u t x u n n n n n πππsinsin cos ),(),(11⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∑∑∞=∞=， 代入初始条件得∑∞==1)(sin n n x l xn A ϕπ，∑∞==1)(s i n n nx lxn l a n B ψππ， 所以，⎰=l n d l n l A 0s i n )(2ξπξξϕ， ⎰=l n d ln a n B 0s i n )(2ξπξξψπ. 10分四简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.解：泊松方程为：),,(zyxfu=∆ 3分令wvu+=，取v唯一特解， 2分则0=-=∆-∆=∆fuvuw 2分然后求解拉氏方程0=∆w得w。
数学物理方法
《 数学物理方法 》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。
1．z 为复数，则（ ）。
A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。
2．下列积分不为零的是（ ）。
A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。
3．下列方程是波动方程的是（ ）。
A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。
4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（ ）。
A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。
5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（ ）。
A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。
6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（ ）。
A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。
7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（ ）。
A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。
8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（ ）。
A 分离变量 解单变量本征值问题 得单变量解得分离变量解； B 分离变量 得单变量解 解单变量本征值问题 得分离变量解； C 解单变量本征值问题 得单变量解 分离变量 得分离变量解； D 解单变量本征值问题 分离变量 得单变量解 得分离变量解。
9．下列表述中不正确的是（ ）。
A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。
数学物理方法(4)--期末考试试卷(1)答案
w(z) = ck zk k =0
（2）系数递推公式。将 w(z) 代入方程，得：
� �
k (k - 1)ck zk-2 - ck zk+1 = 0
k =2
k =0
2c2 + [(k + 2)(k + 1)ck+2 - ck-1]zk = 0
k =1
c2 = 0,
ck +2
=
(k
+
-
4)L6 �5 �3 �2 c0
(b) 用 c1 表示 c3k+1
c3k +1
=
c3k -2 3k(3k + 1)
=
1 3k (3k+ Nhomakorabea1)(3k
-
c3k -5 2)(3k
-
3)
=
(3k
+ 1)3k(3k
-
1 2)(3k
-
3)L7
�6 �4 �3 c1
因 c2 = 0 ，故 c5 = c8 = L = 0
=
-d
'(x)
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得分 评阅人 三、计算题：（共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
1．试用级数解法求解在 z0 = 0 邻域内 w''-zw = 0 的解，其初始条件为 w(0) = 1, w'(0) = 0 。 解：（1）解的形式。系数 p(z) = 0, q(z) = -z 在 z0 = 0 解析， z0 是方程的常点，所以解的形式为：
（1）
l=0
两边对 x 求导，得t(1 -
2xt
+
数学物理方法试卷4
第 1 页 共 5 页物理系 20 —20 学年第 学期期末考试《数学物理方法》试卷（B ）考试时间：120分钟 考试方式：闭卷班级 专业 姓名 学号题 号 一 二 三 四 五 总 分得 分核分人一、填空（本大题共7题，每空3分，共30分）1、写出复数i 的三角式 ，指数式 。
2、欧勒公式中sinZ= 。
3、幂级数∑∞=0n n t 的收敛半径为 。
4、e z 在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）e z= 。
5、就奇点的类型而言，Z=∞是函数f(z)=ZZsin 的 奇点，Z=0是函数的 点。
6、一维波动方程在直角坐标系下的表达式： ； 拉普拉斯方程0u ∆=在柱坐标系中的表达式为：得分 阅卷人 装 订 线 内 请 勿 答 题 …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………第 2 页 共 5 页。
7、m 阶贝塞尔方程的表达式为 。
二、简答题（本大题共1题，共10分）一个数学物理方程的边界条件有哪几种类型？请写出相应的表达式？并说明物理意义。
三、 证明题 （本大题共1题，共10分）证明函数()(cos sin )x f z e y i y =+在复平面内是解析函数。
得分 阅卷人 得分 阅卷人得分 阅卷人第 3 页 共 5 页四、 计算题 （本大题共2题，每题10分，共20分）1、利用留数计算回路积分2252(1)z z dz z z =--⎰2、计算实变函数积分I=220,(01)12cos d p p p πθθ〈〈-+⎰。
装 订 线 内 请 勿 答 题 …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………第 4 页 共 5 页五、求定解问题（本大题共1题，共15分）20000,(0,)0,0;(),().(0)t t x x x x l t tt u a u x l u u u x u x t φψ====⎧-=<<⎪⎪==⎨⎪==≥⎪⎩得分 阅卷人第 5 页 共 5 页六、应用题（本大题共1题，共15分）一根长为l 的弦，两端固定在水平x 轴上，t=0时刻，使其偏离平衡位置，放手后弦开始做自由振动，试推导该弦在振动过程中所满足的偏微分方程。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
物理数学方法试题及答案
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
数学物理方法考试试题
数学物理方法考试试题1. 求解方程(1) 求解方程$3x^2 + 4x - 7 = 0$；(2) 求解方程$\sin x + \cos x = 1$。
2. 矢量运算已知矢量$\boldsymbol{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$，$\boldsymbol{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$，求$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$和$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$。
3. 微积分计算积分$\int_0^1 x^2\mathrm{d}x$。
4. 偏微分方程求解偏微分方程$u_t = \alpha^2 u_{xx}$，其中$\alpha$为常数。
5. 线性代数设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
6. 复变函数计算函数$f(z) = \text{Re}(z^2)$的柯西黎曼方程，并判断$f(z)$在何种条件下解析。
7. 量子力学利用定态薛定谔方程，求一维谐振子的能量本征值和本征函数。
8. 物理学基础推导光的双缝干涉公式$I = I_0 \cos^2$$\left(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\right)$，并解释各符号的含义。
9. 统计力学计算理想气体的内能$U$与温度$T$的关系式，并讨论其在高温极限下的行为。
通过以上试题，考生可以全面复习数学物理方法的基础知识和解题技巧，提高应试水平，取得优异成绩。
祝各位考生考试顺利！。
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C）
D）
二、 填空题（每题 3 分） 1． 定解问题
用本征函数发展开求解时，关于 T(t) 满足的方程是： __________
2． Legendre 多项式
的 x 的值域是 ___________。_
Bessel 函数
的 x 的值域是 ____________________。__
3． 一圆柱体内的定解问题为
其解的形式为
，下列哪一个结论是错误的 ______。
A)
B）圆形膜固有振动模式是
和
C） 是零阶 Bessel 函程
4．
是下列哪一个方程的解 _________。
A）
B）
C）
D）
5． 根据整数阶 Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的
________。
A）
B）
（6 ） Bessel 函数的递推关系
，写出球外的电位满足的定解
1）则定解问题关于 ρ满足的方程是： _____________________________; 相应方程的解为 ___________________________;
2）关于 z 满足的方程是 _______________________________________;
4． 计算积分
5． 计算积分
三、 （10 分）长为 的弦，两端固定，初始位移为 四、 （10 分）定解问题
，初始速度为 4 x，写出此物理问题的定解问题。
， 若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题 五、（ 10 分）利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
六、 （15 分）用分离变量法求解定解问题
计算积分 七、 （15 分）有一半径为 R 的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热，圆盘边缘的温度分布为
数学物理方法期末考试试题
一、 单项选择题（每小题 2 分）
1． 齐次边界条件
的本征函数是 _______。
A)
B)
C)
D)
2． 描述无源空间静电势满足的方程是 ________。
A) 波动方程
B) 热传导方程
C) Poisson 方程
D)Laplace 方程
3． 半径为 R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是
，试求圆盘上稳定的温度分布
。
八、（ 15 分）设有一半径为 R 的球壳，其球壳的电位分布
问题，并求球外的电位分布
参考公式
（1 ） 柱坐标中 Laplace 算符的表达式
（2 ） Legendre 多项式
（3） （4）
Legendre 多项式的递推公式 Legendre 多项式的正交关系
（5 ） 整数阶 Bessel 函数