数学物理方法期末复习ppt

(2)、边界条件为 f (0) 0, f (l ) 0
——应延拓成以2l为周期的偶函数 (偶延拓) 2 l k x k ak f ( x) cos dx f ( x) a0 ak cos x 0 kl l l k 1
1 l a0 f ( x )dx l 0
(2k 1)x a 2 l f ( x) cos (2k 1)x dx k f ( x) ak cos 0 l 2l 2l k 0

f (0) f (l ) 0
g ( x) g ( x )
g (2l x) g ( x)
4l
f ( x) bk sin
y 2k , k 0, 1, 2, .
e z e x iy e x eiy
例3：已知
1 3，表示成指数形式为： z i 2 2
ei /3 。
例4：已知 为：
z i i或
z i ，可以化简： i
e
( 2 k )或 2
e2
2 k
。
8
三、解析函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y)
2l
4l
1 l a0 f ( x )dx k x l 0 f ( x) a0 ak cos l 2 l k x k 1 ak f ( x ) cos dx l 0 l
f (0) f (l ) 0
g ( x) g ( x)
g (2l x) g ( x)
(2) 解的唯一性
看是否只有一个解
(3) 解的稳定性 当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时， 解是否相应地只有微小的变化量
定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.
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注：对于均匀弦或均匀杆的振动问题，要表示为定 解问题，需要写出相应的波动方程、初始条件以及 边界条件！！（初始条件有2个） 对于热传导以及浓度分布的扩散问题，要表示为 定解问题，需要写出相应的输运方程、初始条件以 及边界条件！！ （初始条件只有1个）
u 在 x =l 端 : k x
ux
x l
x l
f (t ) k
u q k i x
同理得，两端有热流强度为f(t)的热流流入，则
ux
x 0

f (t ) , ux k
x l

f (t ) k
重点掌握：P128 习题1、2、3
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数学物理定解问题的适定性:
(1) 解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解；
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边界条件
延拓方式
周 期
级数
f x bk sin
k 1
系数
kx 2 l sin k x b f ( x ) dx k l l 0 l
f (0) f (l ) 0 g ( x) g ( x)
2l
f (0) f (l ) 0 g ( x) g ( x)
n

(3)、第三类边界条件： (u H 常见的边界条件： (1)、杆或弦两端固定
u ) f (t ) n
u( x, t ) x0 0
u( x, t ) xl 0
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(2)、杆两端自由
ux
x 0
0
ux
x l
0
(3)、杆的两端保持恒温T
u( x, t ) x0 T
1 i ( ) e 2 两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
1 2
4
(3) 复数的乘方和开方（重点掌握）
z n ( e i ) n
n e in
或
( n为正整数的情况)
n (cosn i sin n )
棣莫弗公式： (cos i sin ) n cosn i sin n
u( x, t ) xl T
u q k i x
0 x
(4)、两端绝热
ux
x 0
0
0
ux
xl
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(5)、两端有热流强度为f(t)的热流流出
在x=0端:
ux
u k x
x 0
f (t )
x 0
f( t) 0
f (t )
f (t) l x

f (t ) k
对函数f(x)的边界（区间的端点x=0, x=l）上的行为提出 限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。
(1)、边界条件为f(0)=0,f(l)=0 ——应延拓成以2l为周期的奇函数 (奇延拓)
k f ( x) bk sin x l k 1

2 l k x bk f ( x) sin dx 0 l l
k 0

(2k 1)x 2 l (2k 1)x bk f ( x) sin dx 0 l 2 l 2l
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第七章
数学物理定解问题
波动方程 输运方程 稳定场方程
utt a2uxx f ( x, t )
泛定方程 （必须掌握） 定解问题
ut a2uxx f ( x, t )
1 ( k ) x 2 f ( x) ak cos l k 0
2 l ak l 0 1 (k ) x 2 f ( x) cos dx l
f ( x) x 及 f ( x) 1 在四种不同边界条件下如何展开成傅 重点掌握：
立叶级数！！（下表格的内容必须熟记！）
1. 幂函数
n
周期为2i， 3. 三角函数
eiz eiz cos z , 2
eiz e iz sin z , 2i
周期为2
6
4、双曲函数 e z ez shz 2 5、根式函数
e z ez chz 2
周期为2i
z e i
w n e
iபைடு நூலகம்
2 k
2 l k x ak f ( x) cos dx (k 0) 0 l l
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(3)、边界条件为 f (0) 0, f (l ) 0
根据边界条件f(0)=0应将函数f(x)对区间(0,l)的端点x=0 作奇延拓。 又根据边界条件 f (l ) 0 ，应将函数 f(x) 然后以4l为周期向整 对区间(0,l)的端点x=l作偶延拓， 个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的奇函数。
n
k 0,1,2,(n 1)
6、对数函数
w ln z ln
z iArgz
Argz arg z 2k
k 0,1,
7
zz 例1：已知 z 2 3i ，则
13
。
zz 2 x2 y 2 13
例2：复数ez 的模为
e x ，辐角为
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第八章
分离变数法
解定解问题三步曲： （1）写出正确的定解问题； （2）边界条件齐次化； （3）求解——傅氏级数法或分离变数法.
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分离变数法
齐次的边界条件
齐次的振动方程和输运方程
傅里叶级数法 齐次的边界条件
齐次或非齐次的振动方程和输运方程
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一、分离变数法解题步骤
(1) 对齐次方程和齐次边界条件分离变量； (2) 解关于空间因子的常微分方程的本征值问题； (3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得到本征解。
n
2kπ 2kπ z cos i sin n n
1 n
n e
i
2 k
n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
5
二、六种初等复变函数：
w z z 2 .指数函数 w e
u f (r )

定解条件
初始条件:说明物理现象初始状态的条件 边界条件:说明边界上的约束情况的条件
衔接条件
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初始条件： 给出某一初始时刻整个系统的已知状态。 P122
杆或弦的振动：
u( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z) 表示初始的位移 ut ( x, y, z, t ) t 0 ( x, y, z) 表示初始的速度
z1 z2 12 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
1
z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2ei2
1 2 e
i (1 2 )
• 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2
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第五章
一、傅里叶级数
傅里叶变换
1、周期函数(T=2l)的傅里叶展开 一般周期函数： (5.1.3)、(5.1.5)；——P69-70 傅里叶级数
奇函数： (5.1.8)、(5.1.9)； ——P71 傅里叶正弦级数
偶函数： (5.1.10)、(5.1.11)；——P71 傅里叶余弦级数
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2、定义在有限区间(0,l)上的函数的傅里叶展开
1、柯西-黎曼方程
u v x y 直角坐标系： u v x y
u 1 v 极坐标系： 1 u v
2、解析函数性质： (1)、若 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 是解析函数，则 u v 0 。 (2)、若函数 f ( z) u iv 在区域 B上解析，则 u和v 必为B上的相互共轭调和函数。
* z1 z1 z 2 ( x1 iy1 )(x2 iy 2 ) * 2 2 z z z2 x2 y2 2 2
x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y2
3
(2)、乘法和除法 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1ei
(4) 迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件 确定迭加系数，最后得到所求定解问题的解。
注：熟练掌握波动方程和输运方程在不同齐次边界条件下分
离变数得到的本征值问题，相应的本征值和本征函数必须熟
实部：x Re z 模： z x 2 y 2
虚部：y Im z
0 arg z 2 ,
y 主辐角：arg z arctg ( x )
Argz arg z 2k (k 0,1,2,) 辐角： * z x iy z x iy 共轭复数:
2
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1
(2)、乘法和除法
z1 z 2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 )
z2 x2 iy2
z1 z 2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
数 学 物 理 方 法
教 材： 梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版] 第一篇 复变函数论 数学物理方程
内 容
第二篇
1
第一章
一、复数 1、复数的定义
复变函数
z x iy
——代数式
z (cos i sin ) ——三角式
z e i ——指数式
重点：复数三种表示式之间的转换！
1 ( k ) x 2 f ( x) bk sin l k 0
2 l bk l 0 1 (k ) x 2 f ( x)sin dx l
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(4)、边界条件为 f (0) 0, f (l ) 0 根据边界条件 f (0) 0 应将函数f(x)对区间(0,l)的端点 x=0作偶延拓。 又根据边界条件f (l)=0 ，应将函数f(x) 然后以4l为周期向整 对区间(0,l)的端点x=l作奇延拓， 个实轴延拓，延拓以后的函数是以4l为周期的偶函数。
例：P122 图7-8
在热传导现象中，初始条件就是给出初始时刻 系统中每点的温度u之值。
u t 0 T (r )
其中T(r)是已知函数。
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边界条件：给出系统的边界在各个时刻的已知状态。
三类线性边界条件：P124 (1)、第一类边界条件： u f (t ) (2)、第二类边界条件： u f (t )