数学物理方法第14章
内容概要南京大学数学物理方法课件
数学物理方法复习课
第八章 分离变量法 8.1 分离变量法 主要步骤: 1. 边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. 2. 分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） 3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数 λ 的常微分方程, (称为本征方程) 而 λ 为本征值. 4. 由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数) 5. 根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解. 6. 再由初始条件确定系数.
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ, •P2(x)=(3x -1)/2,
2
….
•一般勒让德多项式的幂次取决 L •当 L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点 x=1,0.
Pl 1 1, Pl x 1 Pl x ,
l
P2 n 1 0 0, P2 n 0 1
2u 0
(9.1.1)
1 2 u 1 u 1 2u 0. r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin
柱坐标系下
1 u 1 2u 2 Z 2 2 0. 2 z
''
d 2R dR 今x , 4式为 : x x x 2 m 2 R 0.5 2 dx dx 5为m阶Bessel方 程 ..
2
(5)式其解为 m 阶 Bessel 函数, 解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.
数学物理方法复习课
边界条件.
l Bl u r , Al r l 1 Pl cos , 2 在轴对称时(1)式退化为 r l 0
2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第14章 系列4选讲 14.4 课时1
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R
答案 第四页，编辑于星期六：三点 十分。
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c ； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
所以 f(x)>1 的解集为x32<x<2
.
第十三页，编辑于星期六：三解点 十析分答。 案
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
x－1－2a，x<－1， 解 由题设可得，f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，
－x＋1＋2a，x>a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a3－1，0，
第二十九页，编辑于星期六：三点 十返分。回
练出高分
第三十页，编辑于星期六：三点 十分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.在实数范围内，求不等式||x－2|－1|≤1的解集. 解 由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1， 解||xx－－22||≤≥20， 得 0≤x≤4. ∴不等式的解集为[0,4].第十七页，Βιβλιοθήκη 辑于星期六：三解点 十析分答。 案
数学方法选讲-第十四001
第十四讲数学方法选讲算两次：在解决各种数学问题时，常要选择一个合适的量，从两个不同的方面去考察它，然后综合起来得到一个关系式（等式或不等式等），再利用这个关系解题，这称为“算两次”．它是一种重要的而且很常用的数学方法，也叫做富比尼（G．Fubini）原理．列方程解应用题是典型的“算两次”，著名的美国数学教育家波利亚（G．Polya）在他的名著《数学的发现》中指出：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来．”用代数方法解决几何问题时，常通过“算两次”得到方程（或方程组）；用反证法证题时，常是通过把一个量“算两次”导致矛盾的．特别是在利用奇偶性分析解题时，常从两个不同角度考察同一个量，而导致奇数等于偶数的矛盾等等．例1：把1，2，3，…，15，16这16个自然数，填入4×4的方格表中的16个方格内，每格内填一个数，各格内的数互不相同，求证：不论如何填，都不可能使每个横行及每个纵列的4个数的和是8个连续自然数．证明：记4行各数之和分别为S1，S2，S3，S4；4列各数之和为S'1，S'2，S'3，S'4．假设S1，S2，…，S'4是8个连续自然数n，n＋1，…，n＋7．一方面，由于S1＋S2＋S3＋S4及S'1＋S'2＋S'3＋S'4恰好都是全表中16个数的和，故S＝S1＋S2＋S3＋S4＋S'1＋S'2＋S'3＋S'4＝2(1＋2＋3＋ (16)＝272．①另一方面，由假设有S＝n＋（n＋1）＋…＋（n＋7）＝8n＋28．②综合①、②得8n＋28＝272．解得n＝30.5，不是自然数，从而结论得证．说明通过“算两次”解题．程序大体上是一个三步曲：即“一方面如何（由一部分条件而得），另一方面如何（由另一些条件而得），综合起来又如何．”例2：某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n＝0，1，2，…，15）题的人数的一个统计（其中缺少n＝4至11的数据）：如果已知其中做对4道题和4道题以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问：这张表至少统计了多少人？n 0 1 2 3 ……12 13 14 15 做对n道题的人数7 8 10 21 ……15 6 3 1解法一：设这张表共统计了y人，依题设，做对不少于4道题的学生所做对的总题数为6(y －7－8－10－21)．所以做对4道题至11道题的人所做对的总题数为S＝6(y－7－8－10－21)－12×15－13×6－14×3－15×1＝6y－591．又设做对11道题的人数为x，则由题设有S＝4(y－x－15－6－3－1)＋11x－0×7－1×8－2×10－3×21 ＝4y＋7x－191．∴6y－591＝4y＋7x－191，即y＝200＋7 2 x由此可见，当x＝0时，y取最小值200，即表中至少统计了200人．解法二：设表中统计了y人，这y人做错的题目总数为S1＝15y－6（y－7－8－10－21）－0×7－1×8－2×10－3×21＝9y＋185．设做对11道题至15道题的共有x人，则又有S1＝15y－4（y－x）－12×15－13×6－14×3－15×1－11（x－15－6－3－1）＝11y－7x－40．∴9y＋185＝11y－7x－40，y＝7x2252+．因x≥15＋6＋3＋1＝25，故当x＝25时，y有最小值y min ＝7252252⨯+＝200．例3：在凸n边形内任取m个点，并任意作一些线段，连结这些点及多边形的顶点，使得每两条线的内部没有公共点，并且把多边形剖分成若干个三角形，这些三角形除端点外，内部和边上都不含取定的m个点，上述过程称为多边形的三角剖分．试问：剖分出的三角形共有多少个？解：设有x个三角形，则这x个三角形的内角和为x⋅180°．又这x个三角形的全部内角可分二类：一类的顶点是原多边形的顶点，这类角的和是n 边形的内角和，等于(n－2)⋅180°；另一类的顶点是已取的m个点之一，这类角的和为m360⋅．∴x⋅180°＝(n－2)⋅180°＋m360⋅，∴x＝2m＋n－2．所以，共有2m＋n－2个三角形．分类讨论：例4解方程组|1||5|15|1|x yy x-+-=⎧⎨=+-⎩解：由第二个方程，显然有y≥5，所以| y－5 |＝y－5＝| x－1|．代入第一个方程，得| x －1|＝12，即x －1＝12或x －1＝－12， 分别解得x 1＝32，x 2＝12． 而y ＝5＋| x －1|＝112．综上，本题有两个解1132112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2212112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．反证法例5 证明：满足方程{1x}＋{x}＝1的x 必是无理数． 证明：假设满足题设方程的x 是有理数． （1）若x 为整数，则{x}＝0．于是，由方程得{1x}＝1．但对任何实数都有0≤{x}＜1，故 原方程无法成立．（2）若x 为非整数的有理数．令x ＝n ＋qp，这里n ，p ，q 都是整数，且1≤q ＜p ，（p ，q ）＝1，则{x}＝q p ．由于1p x np q=+，故可设1{}r x np q =+，这里r 是整数．因x 满足题设方程，所以1q rp np q+=+， 即 ()()q np q pr p np q ++=+， 亦即 2[(1)]q p np n q r =+--， ∴2|p q ，这与(,)p q ＝1矛盾． 所以，满足方程的x 必是无理数．例6：设||a b >，||d c >，求证：方程组00ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩①②有且只有一组解x ＝y ＝0．证明：显然，x ＝y ＝0满足原方程组．设方程组另有一组解x ＝m ，y ＝n ，m ，n 不全为零．（1）若|m|＞|n|，则由a ＞|b|，得a|m|＞|b||n|=|bn|．③又由①有am ＋bn ＝0，am ＝－bn ，∴a|m|＝|bn|，这与③式相矛盾． （2）若|m|＝|n|≠0，这时③式仍成立，仍产生矛盾．（3）若|n|＞|m|，由d＞|c|，与第一种情形类似可导致矛盾．综上讨论，命题得证．（学生课后练习机动，1——2题即可）。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第14章选修部分72Word版含解析
【课时训练】第72节 证明不等式的基本方法解答题1. (2018广州五校联考)已知函数f(x) = |x +引+ |x — 1|,其最小值 为t.(1) 求t 的值；(2) 若正实数a , b 满足a + b = t ，求证:(1)【解】 因为 |x +3|+ |x — 1|= |x + 引+11— x|> |x +3+ 1— x| = 4, 所以 f(X )min = 4,即 t = 4.⑵【证明】由(1)得 a + b = 4,故4+ b= 1, 1+ 4= P+令；+b= 4+ 1 +4a+討5+ 2,4a xb = 4+1= 4'当且仅当 b = 2a ‘ 即 a =|,8 1 4 9 b = 3时取等号，故a + 4.2. (2018湖北八校联考)设不等式—2<|x — 1|— |x + 2|<0的解集为 M , a , b € M.1 1 1(1) 证明：3a + 6b <4；(2) 比较|1 — 4ab|与2|a — b|的大小，并说明理由.3, x < 2,(1)【证明】 记 f(x)=|x — 1|— |x + 2|= — 2x — 1,— 2<x<1,—3, x > 1.4 - b +■a12’2. 所以 1 1 3a + 6b1 11111 < 3|a| + 6|b|<3X2 + 6X 2 14.1 1由—2< —2x—1<0解得—2<x<2,则M =因为 |1 — 4abf — 4|a — b|2 = (1 - 8ab + 16a 2b 2) - 4(a 2 - 2ab + b 2)=2 2 (4a 2— 1)(4b 2— 1)>0.所以 |1 — 4ab|2>4|a — b|2，故 |1 — 4ab|>2p — b|.3. (2018广州模拟)已知定义在 R 上的函数f(x) = |x — m|+ |x|, m € N *，存在实数x 使f(x)<2成立.(1) 求实数m 的值；4 1(2) 若 a, 1, f( " + f( 0 =4,求证：一+3.a p【解】(1)因为 |x — m|+ |x|> |(x — m) — x|= |m|. 要使不等式|x — m|+凶<2有解，则|m|<2,解得—2<m<2. 因为m € N *，所以m = 1. ⑵因为 a 1, f(x) = 2x — 1(x > 1),4 1所以 f( a ) + f( p ) = 2 a- 1 + 2p — 1= 4，即卩 a+ 0= 3,所以； 小 1L 40 a L 1 a ，疋+ 2a+® =费+ a + 4 1a= 2, 0= 1时等号成立)故；+ 0，3.1 14.(2018武昌质检)已知x ,y € R ，且凶<1,|y|<1.求证：一2 +21 — x 1 — y【证明】••〒< 上3=二圧 < 匕翌L 2+2创耳=3.（当且仅当勾即a p a 0 1 — |xy|, 1— y 2 1 —|xy|21— xy ,3<二原不等式成立.5. (2018长沙一模)设a, B, 丫均为实数.(1) 证明:|cos (a+ 创w |COS a+ |sin 3,|sin (a+ 创w |COS a+ |COS3；⑵若a+ B+ 尸0,证明:|COS a+ |cos 3+ |cos 1.【证明】(1)|cos ( a+ 3|= |cos aDos 3— sin a sin 3w |cos a cos 3 +|sin osin 3w |cos o|+ |sin 3；|sin ( a+ 3| = |sin a cos 3+ cos osin 3w |sin a cos 3 + |cos osin3w |cos a+ |cos 3.(2) 由(1)知，|cos [ a+ ( 3+ Y |w |cos a+ |sin ( 3+ Y|w |cos a + |cos 3+ |cos Y,而a+ 升尸0,故|cos a+ |cos 3+ |cos Y》cos 0= 1.6. (2018贵阳模拟)已知函数f(x) = 2|x+ 1|+ |x—2|.(1)求f(x)的最小值m;b2 c2⑵若a, b, c均为正实数，且满足a+b+ c= m,求证：$ + b +(1)【解】当x< —1 时，f(x) = —2(x + 1) —(x—2)= —3x€ (3, c+=);当一1W x<2 时，f(x) = 2(x + 1) —(x—2)= x + 4€ [3,6);当x>2 时，f(x) = 2(x + 1)+ (x —2) = 3x€ [6, + =).综上，f(x)的最小值m= 3.⑵【证明】a, b, c均为,2 2 2正实数，且满足a + b+ c= 3, 因为b + 乍+ ¥ + (a + b + c)=JF 9：b层=2(a + b+ c)-曾+ b) +(当且仅当a= b= c= 1时，取等号)b 2c2a2b2c a所以皆 + C + 为a+ b+ c, 即b + C + a > 3。
数学物理方法习题答案.pdf
电路练习题一、选择题（第1组）1、图示电路，求i 。
A ：1/2 A B: 1/3 A C ：3/2 A D ：2/3 A2、图示电路，求u 。
A ：2VB ：4VC ：6VD ：8V3、图示单口网络，其端口VCR 关系为:A: u =5i +3 B: u =-5i +3 C ：u =-5i -3 D: u =5i-34、图示电路，求i 。
A ：2AB ：1.5AC ：1AD ：3A5、图示电路，求i 。
A ：1AB ：9/13 AC ：1/7 AD ：2/11 A6、图示电路，问R L 能获得的最大功率。
A ：1/3 W B ：2W C ：2/9 W D ：4W7、图示稳态电路，求i 。
A ：2A B ：1AC ：3AD ：1.5Ai 4ΩR L4Ω6Ω 10Ω1H108、图示稳态电路，问电容中的储能。
A ：4J B ：2JC ：8JD ：1J9、图示电路，t < 0时处于稳态, t = 0时，开关切到a ， 当t = 5s 时，u c (t )是多少？A ：6.3VB ：5VC ：2.4VD ：3.16V10、图示电路，t < 0时处于稳态，t = 0时， 开关断开，求t = 1s 时u c (t )是多少？ A ：1.47V B ：2.94V C: 5V D ：4V11、图示电路原处于稳态，在t = 0时， 开关断开，求t = 0.1s 时的电流i (t )。
A ：1A B ：0 C ：0.358A D ：0.184 A12、图示正弦稳态电路，求i (t ) 。
A ：)452cos(2°+t A B ：)452cos(2°−t A C ：)452cos(2°−t A D ：)452cos(2°+t A13、图示正弦稳态电路中，有效值： I 是10A ，I R 是8A 。
问I c 是多少？ A ：2A B ：18A C ：6A D ：4Ai(t)1H0.5Ω2ΩA2cos 22t u c1A c (t)2A14、图示正弦稳态电路， 求电阻上的平均功率。
数学物理方法课程总结
第一部分：一阶线性常微分方程组
● 高阶线性常微分方程化为一阶线性常微分方程组 ● 齐次线性常微分方程（组）解的结构
★基本解组 ★,eAt，A的特征值三种情况 ★通解表达式
● 非齐次线性常微分方程（组）的特解、通解。
第二部分：三类数理方程
第一章：波动方程
● 叠加原理 ● 达朗贝尔公式 ● 齐次化原理 ● 分离变量法求解波动方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 能量积分 ● 用能量积分证明解的唯一性
第二章：热传导方程
● 叠加原理 ● 齐次化原理 ●分离变量法求解热传导方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 傅里叶变换及5个性质 ● 用傅里叶变换求解热传导方程的柯西问题 ● 极值原理 ● 用极值原理证明解的唯一性
第三章：调和方程
● 变分原理 ● 分离变量法求解调和方程的边值问题 ● 格林第二公式 ● 平均值定理 ● 极值原理及其证明 ● 用极值原理证明解的唯一性 ● 格林函数法 ● 格林函数的5个性质及证明思路 ● 特殊边界情况求格林函数
复变函数的积分
f (ζk )∆zk ≤
k=1 k=1
|f (ζk )||∆zk |,
取极限即得性质 4．
§2
复积分的计算
在介绍 Cauchy 积分定理之前， 先讨论一下复积分的计算， 这样可以使我们对复积分有 更具体的了解， 通过计算还可以获得 Cauchy 积分定理的特例， 从而对该定理建立一些感性 认识． 一 *用定义计算
f (z ) dz + β
C
g (z ) dz.
2.
C1 +C2
f (z );
C2
f (z ) dz.
3.
C−
f (z ) dz = −
C
f (z ) dz. |f (z )| |dz | = |f (z )| ds.
C
4.
C
f (z ) dz ≤
C
最后一个积分中的 ds = |dz | 就是弧长的微分． 这些性质都可以直接由积分的定义来证 明．比如， 利用三角不等式， 有
ζk = ξk + iηk ， 记 uk = u(ξk , ηk )，vk = v (ξk , ηk )，则 f (ζk ) = uk + ivk ，于是
n n n
f (ζk )∆zk =
k=1 k=1
(uk ∆xk − vk ∆yk ) + i
k=1
(vk ∆xk + uk ∆yk ),
由于 f (z ) 沿 C 连续， 故 u(x, y ) 和 v (x, y ) 沿 C 连续， 所以上式右边两项均有极限， 于是左边也有极限， 即 f (z ) 沿 C 可积．上式的极限正是式 (1)．证毕．
本书提到的曲线一般都指光滑或逐段光滑的平面曲线． 若一段曲线的方程为 y = f (x)， 则光滑指的是 f (x) 连续．若其方程为参数方程 x = x(t)、y = y (t)，则光滑指的是 x (t) 和 y (t) 连续．由有限条光滑曲线衔接而成的曲线称为逐段光滑曲线．折线就是最简单的逐段 光滑曲线．曲线的方向定义如下． 1. 简单曲线：没有重点的曲线称为简单曲线．图 1 中的 a 是简单曲线，而 b 则不是． 简单曲线的方向由起点指向终点．所以规定了起点和终点就确定了它的方向． 2. 围线 （contour） ： 逐段光滑的简单闭曲线称为围线． 图 1 中的 c 是简单闭曲线， 而d 则不是． 如果沿着围线走，其所包围的区域在左边，则该方向称为正方向，其实就是逆时针方 向． 二 复积分的定义 一元实变函数的积分定义在 x 轴上的有限区间内（无限区间的广义积分通过极限过程 得到）， 而复变函数的积分 （简称复积分）总是定义在曲线上，参看图 2． 定义（复积分） 设函数 f (z ) 沿曲线 C ：z = z (t) （α ≤ t ≤ β ）有定义，在 C 上 沿参 数增加的方向 从 a = z (α) 到 b = z (β ) 取分点 a = z0 , z1 , . . . , zk−1 , zk , . . . , zn−1 , zn = b 将 C 分为 n 个弧段，在 zk−1 至 zk 的弧段上任取一点 ζk ，作和数
数学物理方法答案（）刘连寿（ＰＤＦ）
第七章 分离变量法7.1 直角坐标系中的分离变量法1.求解下列本证值问题的本证值和本证函数 （1）0,(0)0,()0X X X X l λ'''+=== ； （2）0,(0)0,()0X X X X l λ''''+=== ； （3）0,()0,()0X X X a X b λ''+=== ； （4）[]0,(0)0,00x l X X X X hX λ='''+==+== .2. 单簧管直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气柱的本征振动，即求解()()2u u 00,t 0,,0.a tt xx u u l x ⎧⎪-=⎨==⎪⎩t 解：(1)分离变量 .令u(,)()()x t X x T t = X ()()0x X x λ''+= 2()()0T t a T t λ''+=由 得 u(0,t)=0X(0)=0由u (l,t)=0x得X ()=0l '（2）求解本征值 由 X ()()0x X x λ''+=X(0)=0，X (l)=0' 1(n+)2X ()=sinn xx l π 得(2n+1)()=n 2x lπλ（3）求()T t 将n λ代入方程：()T t 2122()()()02n T t a T t n n l π+''+=2121()cos()sin()22n n T t A at B at n n n l lππ++=+ （4）管内本征振动为：(,)()()u x t u x T t n n =n212121[cos()sin()]sin()2220,1,2n n n A at B at x n n l l ln πππ+++=+=3. 一根均匀固定于和0x =x l =两端，假设初始时刻速度为零，而初始时刻弦的形状是一抛物线，抛物线的顶点为(,)2lh ，求弦振动的位移。