数学物理方法 第一章
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法(第四版)高等教育出版社第一章1
-2
(x,y)
x
(0,-1)
(3) Im(i+ z) = 4
Im[i + (x −iy)] = Im[x + i(1− y)] = 4
1− y = 4
表示y= 的直线 表示 -3的直线
y=-3
5、复平面与复数球之关系
例3 设 z =
z1 7 1 ( )=− + i z2 5 5
−1 3i 求 − , Re( z ), Im(z ) 与 zz i 1− i
−1 3i 3i(1+ i) 3 3 3 1 z= − =i − =i − i+ = − i i 1− i (1− i)(1+ i) 2 2 2 2
3 ∴Re(z) = 2
2 x 2
3、复数的三种表示： 、复数的三种表示
1). 代数式 2). 三角式
z = x + iy
z =ρ
x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = ρ (cos θ + i sin θ )
3). 指数式
e = cosθ + i sin θ
iθ
欧拉公式
z = ρe
iθ
θ = Argz
4、复数的运算
A
S
•作业：P6 作业： 作业
•1（2）（ ）（ ） （ ）（ ）（5） ）（3）（ •2（1）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（5）（ ）（4）（ ）（6） •3（1）（ ） （ ）（ ）（4）
§1.2
复变函数
复变函数的定义与定义域： 一、复变函数的定义与定义域： 复变函数定义： 1、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集E， 复数平面上存在一个点集 ， 对于E的每一点（ 每一个 值 ） ， 对于 的每一点（每一个z值 的每一点 按照一定的规律， 按照一定的规律 ， 有一个或多 ω 与之相对应， 个复数值 与之相对应 ， 则称 为z的函数 的函数——复变函数,z称为 复变函数, 称为 的函数 复变函数
数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
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第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型，讨论某些一般性的原理、方法。
这样，对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题，因此我们先研究如何推导出这些方程，并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个：一方面是描述某种物理过程的微分方程；另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，整个弦可以任意变形，其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ，长度为l ，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1，所谓横向，是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行，且在振动过程中，弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多，前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”，不仅指振动的幅度),(t x u 很小，同时认为切线的倾角也很小，即1<<∂∂xu， t 时刻，任选一段弦，其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(，且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先，我们将弦段M M ′上的运动，近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律，我们得到在x 轴方向，弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动，在x 轴方向没有位移，因此合力为0，即0cos cos =α′+α−T T （1.1.1）由于是微小振动，因此α′α,近似为0，因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时，有1cos cos ≈α′≈α代入（1.1.1）可以得到T T ′=在u 轴方向上，弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α，所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻，沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂，x 为弧段M M ′的质心。
数学物理方法第一章解析函数1.4初等函数
1.4 初等解析函数
二、初等多值函数
例1 讨论
w ( z a)( z b) 的支点
y
za
1
1.4 初等解析函数
答：支点为a,b
a oΒιβλιοθήκη z z b2b
x
思考： 函数 w 3 z 2 4 z 2 1 是几值函数？ 有何支点？
答：6值，支点
1,2,
二、初等多值函数
2.对数函数
（1）定义
若z
1.4 初等解析函数
主值支： ln z ln z i arg z , 0 arg z 2
ew
则
w Lnz
（2）多值性的体现 z的幅角和w的虚部的对应关系 （3）支点 0 , （4）单值分枝 Lnz ln z i(arg z 2k ) , k 0,1,2,
Q( z) 0
1.4 初等解析函数
一、初等单值函数
1. 幂函数（图）
w z
3
一、初等单值函数
2.指数函数 （1）定义
1.4 初等解析函数
w e z e x iy e x (cos y i sin y)
复平面
z1 z2 z1 z 2
（2）解析区域
z
（3）与实函数相同的性质
（5）支割线 （6）黎曼面 （7）解析性 （8）性质 连接 0 , 割开z平面的线 无穷多叶 每一单值支均解析
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
二、初等多值函数
2.对数函数（图） 问：
1.4 初等解析函数
Lnz Lnz ？ 2Lnz N Ln( z z )？ Lnz Lnz ？ 0 N
数学物理方法第一章
x1 iy 1 x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈， 角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而 不绕原点转一圈，角不变。 一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周） 时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为 整数） 都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。 值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么 （1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示 出 （1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算 复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别 相等时这两个复数才相等。 复数加减：
2
2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第一章 波动方程和行波法引言数理方法（泛定方程）（三类）在物理学的研究中起着重要作用，即研究如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。
基本步骤：（物理模型−−−−→定量化数学模型） 1.建立坐标系（时间，空间）2.选择表征所研究过程的物理量u （一个或几个）。
表征物理量的选择常常是建立一个新方程的起点。
3.寻找（猜测）物理过程所遵守的物理定律（物理公理）4.写出物理定律的表达式，即数学模型。
1.1 弦振动方程1.1.1 弦的横振动方程（均匀弦的微小横振动）演奏弦乐用（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。
振动如何传播呢？1. 物理模型实际问题：设有一根细长而柔软的弦，紧绷于A ，B 两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一个平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。
2.分析：弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。
绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段…，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动传播现象叫作波。
弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。
根张力相比，弦的质量完全可以略去。
① 模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”的弦） ② 将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直线，取为X 轴。
③ 将弦上个点的横向位移记为u 。
(,)u u x t = ④ 已知：线密度(,)()x t t ρρ=，重量不计，张力(,)T x t 切线方向，不随x 变化，弦中个点的张力相等（小振动下T 与地无关）⑤ 研究方法：连续介质，微积分思想，任意性。
数学物理方法第一章-复变函数导论
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
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z0
G
区域
平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1. D是开集；2. D是连通的。
边界
设D为复平面上的一个区 域，如果点 p不属于D， 但是在 p的任何邻域内都 包含有D中的点，这样的 点 p称为D的边界点。D 的边界点之全体称为D的 边界，一般用 来表示。
D
z1
z2 p
闭区域
区域D连同它的边界 一起构成闭区域，记为 D
指数表示：z 注意
re
i
在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当模相等且幅角相差 2k
3 复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减运算 z1 + z2 =(x1 +x2) +i(y1 +y2 ) 复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
- z2 z1 +(- z2)
课程的主要目的是：培养学生用数学语 言表述物理问题的能力、综合应用数学 知识的能力，提高运算能力。
课程的主要内容有：复变函数论和数 学物理方程两大部分.
参考文献
梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等 教育出版社，1998年6月
胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》 高等 教育出版社。
上篇 复变函数论
（3）双曲函数： 1 z z sin h( z ) (e e ) 2 1 z z cos h( z ) (e e ) 2
反双曲函数
Arcsinh z Ln z z 2 1
Arccosh z Ln z z 2 1
1 1 z Arc sinh z Ln 2 1- z
Lnz1 / z2 Lnz1 Lnz2
下列式子不成立
lnz1 z2 lnz1 lnz2 Lnn z 1 / nLnz Lnz n nLnz
注意
符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别
三角函数
1 iz iz sin z e e 2i 1 iz iz cos z e e 2
复数相等
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
复平面
虚轴
z平面
复数z=x+iy
实轴
复数与平面向量一一对应 复数不能 比较大小 模 | z | r x y
2 2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
2 复数的表示
代数表示： z=x+iy
z 三角表示： r (cos i sin )
三 复变函数举例—基本初等函数
指数函数 性质
e z e x cos y i sin y
z x Байду номын сангаас iy
e z e x , Arg e z y
y 0时, e e ; x 0时, e cosy isiny
z x iy
exp(z1 z2 ) exp(z1 ) exp(z2 )
ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3
第三节 复变函数多值性的讨论
一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止 一个函数值w与之相对应，w 便称为z的多值 函数。 二、w
说明2
复变函数 =f(z)可以看作是z平面到 平 面上的一个映射。
=f(z)
z平面
平面
复变函数 =f(z)可以写成 =u(x,y)+iv(x,y)， 其中是z=x+iy
举例
求 0 , 0<r<1经 2 平面上的图形。
iz 变换后在
iz z exp(i / 2)
注意
根式函数是多值函数
对数函数
Lnz ln z iargz 2kπ , k 0,1,2,
其中arg z是z的主幅角
lnz ln z iargz被称为Lnz的主值
性质1
Lnz : 给定一个z值，有无穷多个 值
性质2
恒等式
Lnz1 z2 Lnz1 Lnz2
i ( a ib ) i ( a ib )
(2) sin(ix) sin(ix) e
i ( ix )
e 2i
i ( ix )
e e i 2
x
x
(3) ln(1) ln(1) ln 1 i 2k i 2k
k 0, 1, 2
i
.
以z轴作实部,颜色作虚部
在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个 图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而 实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我 们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.
以z轴作虚部 ,颜色作实部 这个图像很 像一个螺旋 和上一个图 像完全不同.
z平面
平面
平面的曲线。
2）倾角为
3
例 研究复变函数 z 将z平面上的下列曲线变成
2
1）以圆点位圆心，2为半径，在第一象限的圆弧 的直线。
3）双曲线 x 2 y 2 4
4）双曲线 xy 1
几何意义上复变函数与实变函数的区别
实变函数通常可以用几何图形表示出来。
复变函数中，z和 均为复数，因此不能通过同 一平面或空间来表示复变函数。复变函数的几何 意义是：可以看作两个复平面上点集之间的对应。
除法运算
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
共轭运算 复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy
共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点
几个重要的计算公式
zz x y
2
2
z (cosn i sin n )
n n
n
z [ e
1 n
1 i ( 2 k ) n
已知方程： z 2，计算Z sin
e 解： z sin
即e e
iZ iZ iZ
iZ
e
iZ
2i 4i
2
解得：e 2 3 i iz ln 2 3 i ln 2 3 ln i ln 2 3 i ( / 2 2k )
sin z tan z cos z cos z cot z sin z
性质
周期性
恒等式
非有界函数
反三角函数
Arcsinz iLniz
Arccos iLn z z 1 z
2 2
1 z
i 1 iz Arctan z Ln 2 1 - iz
1 2y 2 y 2 2 sin z (e e ) 2(sin x cos x) 2 1 2y 2 y 2 2 cos z (e e ) 2(cos x sin x) 2
对数函数： ln z ln( e ) ln i
显然，由于ArgZ的周期性，对于对数函数， Z有无限多个值。而且在复数领域里，Z为 负数时，lnz是有意义的！
双曲函数
1 z z cosh z e e 2 1 z z sinh z e e 2
e z e z tanhz z z e e
性质
1. 以 2i 为周期
2. 与正弦函数、余弦函数的关系
3. 恒等式
注意： 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：
幂函数
z expLnz
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e
y
R O x
y
R O x
y
r R
O
x
| z | R
y
2
| z | R
y
1
r | z | R
y
O
1
O
x
-R
O
R
x
x
1 arg z 2
Im z 0
| z | R, Im z 0
单连通域与多连通域
设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条 简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲 线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称 为多连通区域。
1. 多值性
z
w z | z |e
i(Argz)/2
e
i
1 1 | z |, Arg z arg z n 2 2
( n 0,1,2, )
n=2,3,… 重复前二值
1 1 1 arg z, 2 arg z , 2 2
例 将
cos 4 和 sin 4
表示成 sin 和 cos 的幂。
第二节 复变函数
一 区域的概念
邻域
平面上以z0为中心， 为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的 邻域
z0
z0
|z-z0|<
0<|z-z0|<