数学物理方法第八章作业答案
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
《数学物理方法》第八章作业(边界条件)
第八章习题和部分定解问题。
P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩ )4()3()2()1( 2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
此题的定解问题为220200,()(0),0,()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎪⎩5.长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
此题的定解问题为20000000,(0),0,0,(,0),(0),0.tt xx x x x l X X t t u a u x l u u F F X u u x dx dx x l x YS YS u ===⎧-=≤≤⎪==⎪⎪∂⎨===≤≤⎪∂⎪=⎪⎩⎰⎰ 6.长为l 的理想传输线，远端开路，先把传输线充电到电位差0u ，然后把近端短路。
求解线上的电压),(t x u 。
此问题的泛定方程为)0(,1,022l x LCa u a u xx tt <<==-， 边界条件为(0,)0,(,)0.x x l u t u l t R L j t ==⎧⎪∂⎨⎛⎫=-+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩，初始条件为00(,0),1(,0)0.t x t u x u u x j C ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩11.在矩形区域b y a x <<<<0,0上求解拉氏方程0=∆u ，使满足边界条件 00(),0,sin ,0.x x a y y b u Ay b y u x u B u a π====⎧=-=⎪⎨==⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
2020春物理人教版八下第8章 运动和力练习和答案
2020春物理人教版八下第8章运动和力练习及答案八年级下册第8章运动和力1、氢气球用绳子吊一重物，共同以8m/s的速度匀速上升，当到达某一高度时，绳子突然断开，这个物体将（ A ）A. 继续上升一段，然后下落B.立即下落C.以原来的速度一直上升D.以上说法都不对2、如图所示，当人推墙时，人将向后退，对此现象的一些说法中正确的是（）A．人能后退一段距离是因为仍然受到墙的作用力B．人能后退一段距离是因为人具有惯性C．人停下来后惯性就消失了D．人对墙的力与墙对人的力是一对平衡力【参考答案】B【解析】人离开墙后不再受到墙的作用力，故A错误；由于人具有惯性，所以在离开墙后，仍能后退一段距离，B正确；一切都具有惯性，惯性与物体的质量有关，与物体的运动状态无关，故C错误；人对墙的力与墙对人的力没有作用在一个物体上，它们是一对相互作用的力，故D错误；故选B。
3、如图所示为探究二力平衡条件的实验装置，下列关于这个实验的叙述错误的是（）A.为减小阻力，应选用尽量光滑的水平桌面B.为使实验效果明显，应选用质量较大的小车C.调整两边托盘所放砝码的数量，可以改变力的大小D.将小车扭转一个角度，是为了使小车受到的力不在同一直线上答案：B4、如图所示，用力F=30N，按住一重G=10N的木块压在墙壁上静止不动，当不断地增大压力F木块受到的摩擦力的大小将会（）A．不变B．变小C．变大D．可能变大，也可能变小【参考答案】A5、正在地面上滚动的足球，如果它受到的外力同时消失，那么它将（）A 立即停下来B 慢慢停下来C做匀速直线运动D改变运动的方向【参考答案】C【解析】根据牛顿第一定律可知，一切物体在不受外力作用时，总保持匀速直线运动状态或静止状态，滚动的足球如果受到的外力同时消失，它将做匀速直线运动，答案为C。
选项A、B、D均不符合题意。
6、在“探究二力平衡的条件”实验中，下列说法中你不同意的是（）A.小明同学认为这三种实验器材丙图最为合理B.乙图，在两侧挂上等质量的钩码，纸片保持静止，挂上质量不等的钩码，不能保持静止，说明平衡的两个力的大小相等C.乙图，将纸片转动一定的角度，释放后纸片马上转回来，说明平衡的两个力一定作用在一条直线上D.乙图，将纸片撕开，两瓣纸片都不能保持静止，说明平衡的两个力必须作用在同一物体上答案：A7、如图所示，水平面上叠放着A、B两个物体，在水平方向力F的作用下，相对静止，一起向左作匀速直线运动。
大学物理第八章答案
大学物理第八章答案8-1 解：取固定坐标xOy ，坐标原点O 在水面上（图题所示）设货轮静止不动时，货轮上的A 点恰在水面上，则浮力为S ρga .这时 ga s Mg ρ= 往下沉一点时，合力 )(y a g s Mg F +-=ρ gy s ρ-=. 又 22d d tyMMa F == 故0d d 22=+gy s ty M ρ022=+y M gs dtdy ρ 故作简谐振动M g s ρω=2)(35.68.910102101022223334s g s M T =⨯⨯⨯⨯⨯===πρπωπ8-2 解：取物体A 为研究对象，建立坐标Ox 轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l 0处，此时：)(1.0sin 0m kmg l ==θ(1) (1) A 物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T =kx列出A 在任一位置x 处的牛顿方程式220d d )(sin sin txm x l k mg T mg =+-=-θθ将（1）式代入上式，整理后得0d d 22=+x m ktx 习题8-1图故物体A 的运动是简谐振动，且)rad/s (7==mkω 由初始条件,000⎩⎨⎧=-=v l x 求得,1.00⎩⎨⎧===πϕml A 故物体A 的运动方程为x =0.1cos(7t+π)m(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T 1、T 2,则对A 列出任一位置x 处的牛顿方程式为:221d d sin txm T mg =-θ (2)对滑轮列出转动方程为：22221d d 2121t x Mr r a Mr J r T r T =⎪⎭⎫ ⎝⎛==-β (3)式中,T 2=k (l 0+x ) （4）由式（3）、(4)知2201d d 21)(txM x l k T ++=代入(2)式知 22021)(sin dtxd m M x l k mg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-θ又由（1）式知0sin kl mg =θ故0d d )21(22=++kx t xm M即0)2(d d 22=++x m M ktxm M k +=22ω可见，物体A 仍作简谐振动，此时圆频率为：rad/s)(7.52=+=m M k ω由于初始条件：0,000=-=v l x可知，A 、ϕ不变，故物体A 的运动方程为:m t x )7.5cos(1.0π+=习题8-2图由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.8-3 解：简谐振动的振动表达式：)cos(ϕω+=t A x由题图可知，m 1042-⨯=A ,当t=0时，将m 1022-⨯=x 代入简谐振动表达式，得：21cos =ϕ 由)sin(ϕωωυ+-=t A ,当t=0时，ϕωυsin A -= 由图可知，υ>0,即0sin <ϕ,故由21cos =ϕ,取3πϕ-= 又因:t=1s 时，,1022m x -⨯=将其入代简谐振动表达式，得213cos ,3cos 42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πωπω由t=1s 时,⎪⎭⎫⎝⎛--=3sin πωωυA <0知，03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛-πω,取33ππω=-，即 s 32πω= 质点作简谐振动的振动表达式为m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-332cos 1042ππ8-4 解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r，由高斯定理可知304R rQ E πε=,则微粒在此处受电场力为:r R Qq F 304πε-=式中，负号表明电场F的方向与r的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：04d d 04d d 043022302230=+⇒=+=+r mRQqt r r R Qq t r mr RQqF πεπεπε令 mR Qq3024πεω=则 0d d 222=+r trω 习题8-3图故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由ωπ2=T知: QqmR T 3042πεπ=8-5 解：（1）取弹簧原长所在位置为O '点.当弹簧挂上物体A 时，处于静止位置P 点，有：P O k Mg '=将A 与B 粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O 点，取O 点为原坐标原点如图题8-5所示，则有：g m M O O k )(+='设当B 与A 粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量x O O +',则A 、B 系统所受合力为：kx x O O k g m M F -=+'-+=)()(即 0d d )(22=++kx txm M可见A 与B 作简谐和振动. (2) 由上式知，rad/s)(10=+=mM kω以B 与A 相碰点为计时起点，此时A 与B 在P 点，由图题8-5可知kmgk Mg g k m M P O O O OP =-+='-'= 则t=0时，m 02.00-=-=-=kmgOP x (负号表P 点在O 点上方) 又B 与A 为非弹性碰撞，碰撞前B 的速度为:m/s 2220101=-='gh υυ 碰撞后，A 、B 的共同速度为：m/s 4.0010=+'=mM m υυ （方向向上）则t=0时，⎩⎨⎧=-=s m mx /4.002.000υ可求得：)m (0447.02220=+=ωυx Aπωυϕ65.0arctan 00=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x 可知A 与B 振动系统的振动表达式为：m t x )65.010cos(0447.0π+=习题8.5图(3) 弹簧所受的最大拉力，应是弹簧最大形变时的弹力，最大形变为：m A g kmM A O O x 1447.0=++=+'=∆则最大拉力 N 4.72max ==x k F ∆ 5-6 解：(1) 已知A=0.24m, 22ππω==T ,如选x 轴向下为正方向. 已知初始条件0m,12.000<=υx 即 3,21cos ,cos 24.012.0πϕϕϕ±=== 而 ,0sin ,0sin 0><-=ϕϕωυA 取3πϕ=,故：m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 24.0ππ(2) 如图题所示坐标中，在平衡位置上方0.12m, 即x=-0.12m 处，有32322132cos πππππ±=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t因为所求时间为最短时间，故物体从初始位置向上运动，0<υ.故0)32sin(>+ππt则取3232πππ=+t 可得：s t 32min =(3) 物体在平衡位置上方0.12m 处所受合外力0.3N x m =-=ωF ,指向平衡位置.8-7 解：子弹射入木块为完全非弹性碰撞，设u 为子弹射入木块后二者共同速度，由动量定理可知：m/s)(0.2=+=υmM mu不计摩擦，弹簧压缩过程中系统机械能守恒，即：20221)(21kx u m M =+ （x 0为弹簧最大形变量） m u kmM x 20100.5-⨯=+=由此简谐振动的振幅 20100.5-⨯==x A 系统圆频率rad/s)(40=+=mM kω习题8-6图若取物体静止时的位置O （平衡位置）为坐标原点，Ox 轴水平向右为正，则初始条件为： t =0时，x =0,0m/s 0.20>==u υ由,sin ,cos 00ϕωυϕA A x -==得：2πϕ-=则木块与子弹二者作简谐振动，其振动表达式为：m t x )240cos(100.52π-⨯=-8-8 解：当物体m 1向右移动x 时，左方弹簧伸长x ，右方弹簧缩短x ，但它们物体的作用方向是相同的，均与物体的位移方向相反，即)(21x k x k F +-=令F =-kx ,有:N/m 421=+=k k k 由 kmT π2= 得)kg (1.0442212211≈==ππkT k T m则粘上油泥块后，新的振动系统质量为：kg 20.021=+m m新的周期 )s (4.12212=+=km m T π在平衡位置时，m 2与m 1发生完全非弹性碰撞. 碰撞前，m 1的速度m/s 10.0111πωυ==A 设碰撞后，m 1和m 2共同速度为υ. 根据动量守恒定律，υυ)(2111m m m +=则m/s 05.0)(2111πυυ=+=m m m新的振幅 m)(035.0222===πυωυTA 8-9 解：（1）由振动方程)25sin(60.0π-=t x 知，5(rad/s)m,6.0==ωA故振动周期： )s (26.1)s (256.1522≈===πωπT (2) t=0时，由振动方程得：)25cos(0.3|m60.0000=-==-==πυt dt dx x t (3) 由旋转矢量法知，此时的位相：3πϕ-=速度 m/s)(6.2m/s )23(560.0sin =-⨯⨯-=-=ϕωυA 加速度 )m/s (5.7m/s 21560.0cos 2222-=⨯⨯-=-=ϕωA a 所受力 N)(5.1N )5.7(2.0-=-⨯==ma F（4）设质点在x 处的动能与势能相等，由于简谐振动能量守恒，即：221kA E E E p k ==+ 故有： )21(21212kA E E E p k ===即 22212121kA kx ⨯=可得： m)(42.022±=±=A x 8-10 解：（1）砝码运动到最高点时，加速度最大，方向向下，由牛顿第二定律，有：N mg ma -=maxN 是平板对砝码的支持力.故N)(74.1)4()()(22max =-=-=-=vA g m A g m a g m N πω砝码对板的正压力与N 大小相等，方向相反.砝码运动到最低点时，加速度也是最大，但方向向上，由牛顿第二定律，有：mg N ma -'=max故 N)(1.8)4()(22max =+=+='A v g m a g m N π 砝码对板的正压力与板对砝码的支持力N '大小相等，方向相反. （2）当N=0时，砝码开始脱离平板，故此时的振幅应满足条件：m)(062.040)4(22max max 2===-=v g A vA g m N ππ(3) 由22max 4vg A π=,可知，2max v A 与成反比，当v v 2='时，m 0155.041max max=='A A 8-11 解：（1）设振子过平衡位置时的速度为υ，由机械能守恒，有：222121υm kA = A mk=υ 由水平方向动量定理： ⇒='+υm u m m )(υm m mu '+=此后，系统振幅为A '，由机械能守恒，有：22)(2121u m m A k '+=' 得： A m m mA '+='有： km m T '+='π2 （2）碰撞前后系统总能量变化为：)21()1(2121212222kA m m m m m m kA kA A k E '+'-=-'+=-'=∆ 式中，负号表示能量损耗，这是泥团与物体的非弹性碰撞所致.（3）当m 达到振幅A 时，m '竖直落在m 上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A ，周期为km m '+π2，系统的振动总能量不变，为221kA （非弹性碰撞损耗的能量为源于碰撞前m '的动能）. 物体系统过平衡位置时的速度υ'由：22)(2121υ''+=m m kA 得：A m m k'+±='υ8-12 解：（1）由放置矢量法可知，振子从2A 运动到2A -的位置处，角相位的最小变化为：3πϕ∆=则圆频率 rad/s 3π∆ϕ∆ω==t 周期 s T 62==ωπ由初始状态，在图示坐标中，初始条件为：m)(1.00m1.000=⇒⎩⎨⎧=-=A x υ则振幅 m 1.022020=+=ωυx A习题8-12图（2）因为E E p 41=又 2221,21kA E kx E p == 故 )21(412122kA kx =得： m)(05.0±=x 根据题意，振子在平衡位置的下方，取x =－0.05m.根据振动系统的能量守恒定律：222212121kA m kx =+υ 故 )s m (091.0122-⋅±=-±=x A ωυ根据题意，取m/s 091.0-=υ 再由 )sin()cos(ϕωωυϕω+-=+=t A t t A x)cos(d d 2ϕωω+-==t A tva x 2ω-=得： )m/s (055.02=a（3）t=0时，(J)108.681)21(41413222-⨯====mA kA E E p ω (J)102183)21(43433222-⨯====mA kA E E k ω(J)108.273-⨯=+=p k E E E （4）由简谐振动的振动表达式)cos(ϕω+=t A x 当t=0时，0m/s 091.0m,05.000<-=-=υx ,可得：πϕ32= 又 3,10.0πω==m A故 m t x )323cos(1.0ππ+= 8-13 解：（1）据题意，两质点振动方程分别为：mt x mt x Q P )3cos(1000.2)3cos(1000.522ππππ-⨯=+⨯=--（2）P 、Q 两质点的速度及加速度表达分别为：)m/s )(3sin(1000.52ππωυ+⨯⨯-==-t dt dx P P )m/s )(3sin(1000.22ππωυ-⨯⨯-==-t dt dx QQ )m/s )(3cos(1000.5222ππωυ+⨯⨯-==-t dt d a P P )m/s )(3cos(1000.2222ππωυ-⨯⨯-==-t dtd a Q Q当t=1s 时，有：)(m/s 1087.9/32cos 1000.2)(m/s 1068.24/34cos 1000.5(m/s)1044.5/32sin 1000.2(m/s)1060.13/34sin 1000.5(m)1000.132cos 1000.2)(m 105.234cos1000.5222222222222222222------------⨯=⨯⨯-=⨯=⨯⨯-=⨯-=⨯⨯-=⨯=⨯⨯-=⨯-=⨯=⨯=⨯=s m a s m a s m s m m x m x Q P Q P Q P ππππππυππυππ（3）由相位差32)3(3)()(πππϕϕϕωϕωϕ∆=--=-=+-+=Q P Q P t t 可见，P 点的相比Q 点的相位超前32π. 8-14 解：（1）由题意得初始条件：⎪⎩⎪⎨⎧<=02100υA x 可得：3πϕ=(由旋转矢量法可证出)在平衡位置的动能就是质点的总能量)J (1008.3212152222-⨯====⇒=A m kA E m k m kωωω可求得：s rad m E A /221πω==则振动表达式为：m t x )32cos(1000.52ππ+⨯=-(2) 初始位置势能)32(cos 21212222ππω+==t A m kx E P 当t=0时，3cos 21222πωA m E P =J J 6222221071.73cos )1000.5()2(1000.121---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=ππ 8-15 解：（1）由初始条件：⎩⎨⎧<⨯=-0102.1010υm x 可知，3πϕ=且 22ππω==v则振动表达式为：m t x )32cos(24.0ππ+=当t=0.5s 时，m m x 21000.6)3212cos(24.0-⨯-=+⨯=ππ(2) t=0.5s 时，小球所受力：(N)1048.1)(32-⨯=-==x m ma f ω因t=0.5s 时，小球的位置在m x 21000.6-⨯-=处，即小球在x 轴负方向，而f 的方向是沿x 轴正方向，总是指向平衡位置.(3) 从初始位置m x 10102.1-⨯=到m x 1102.1-⨯-=所需最短时间设为t ，由旋转矢量法知，πϕπϕ32,3,0±=±=处处x x )s (3223=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t t πωπω 习题8-15图(4) 因为 )32sin(24.02)sin(πππϕωωυ+⨯-=+-=t t A )32cos(24.04)cos(22πππϕωω+⨯-=+-=t t A a 在s t m x 32102.11=⨯-=-处 )32cos(24.04)3322cos(24.04/1026.3/)3322sin(24.022212ππππππαπππυ+⨯-=+⨯⨯-=⨯-=+⨯⨯-=-t s m s m(5) t=4s 时， 22)]32sin([2121ππωυ+-==t A m m E k (J)1033.5J)342(sin 24.0)2(01.0214222-⨯=+⨯⨯⨯⨯=πππ)32(cos 21212222ππω+==t A m kx E P (J)1077.1J)342(cos 24.0)2(01.0214222-⨯=+⨯⨯⨯⨯⨯=πππ(J)107.10J 101.77J 1033.5-4-44⨯=⨯+⨯=+=-P k E E E 总 8-16 解：设两质点的振动表达式分别为：)cos()cos(2211ϕωϕω+=+=t A x t A x由图题可知，一质点在21Ax =处时对应的相位为： 32/arccos 1πϕω==+A A t同理：另一质点在相遇处时，对应的相位为：352/arccos2πϕω==+A A t 故相位差)()(12ϕωϕωϕ∆+-+=t t习题8-16图πππϕϕ3433512=-=-= 若21υυ与的方向与上述情况相反，故用同样的方法，可得：πππϕϕϕ∆32)3(312=--=-= 8-17 解：由图题8-17(图在课本上P 200)所示曲线可以看出，两个简谐振动的振幅相同，即m 05.021==A A ,周期均匀s 1.0=T ，因而圆频率为：ππω202==T由x -t 曲线可知，简谐振动1在t=0时，,010=x 且010>υ，故可求得振动1的初位相πϕ2310=.同样，简谐振动2在t=0时，πϕυ==-=202020,0,05.0可知m x 故简谐振动1、2的振动表达式分别为：mt x t x )20cos(05.0)2320cos(05.021ππππ+=+=因此，合振动的振幅和初相位分别为： m A A A A A 210202122211025)cos(2-⨯=-++=ϕϕ2021012021010cos cos sin sin arctanϕϕϕϕϕA A A A ++=ππ4541arctan 或== 但由x-t 曲线知，t=0时，πϕ45,05.021应取因此-=+=x x x . 故合振动的振动表达式：m t x )4520cos(10252ππ+⨯=- 8-18 解：（1）它们的合振动幅度初相位分别为：)cos(212212221ϕϕ-++=A A A A Am )535cos(06.005.0206.005.022ππ-⨯⨯⨯++=m 0892.0=22112211cos cos sin sin arctanϕϕϕϕϕA A A A ++=316819.15.2arctan 5cos06.053cos 05.05sin06.053sin 05.0'︒===++=rad ππππ。
数学物理方法习题解答
第八章习题P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩)4()3()2()1(令(,)()()u x t X x T t =代入泛定方程(1)中得X T X aTλ''''==- 可得20T a T X X λλ''⎧+=⎨''+=⎩ (0)()0X X l ==求解关于x 本征值问题，得到本征值和本征函数()2/n l λπ= (1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()sinn X x C x lπ= 将本征值代入关于t 的常微分方程，得到22220a n T T lπ''+= 其解为 ()cossin n n n n a n aT t A x B t l lππ=+ 1(,)()()cos sin sin n n n n a n a n u x t X x T t A t B t x l l l πππ∞=⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∑将u 的级数解代入初始条件(4)得到001|sin cos sin t t n n t n n a n a n a n a n u A x B t xl l l l l πππππ∞===⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑1sin 0nn n a n B x l lππ∞===∑ 0n B ∴=则1(,)cossin n n n a n u x t A t x l lππ∞=∴=∑ 根据初始条件(3)有0001000,(0),(,0)sin (),(),n n F l x x x x n T lu x A x F x l l x x x l T l π∞=-⎧<<⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩∑02()sin l n n A d l l πϕξξξ=⎰ 000000022sin ()sin x l x F l x F x n n d l d l T l l l T l l ππξξξξξξ-=+-⎰⎰ 02000022222sin cos cos x lx F l x F x l n l n n l n l T l n l n l l T l n l ππξππξξξπππ⎧⎡⎤-⎪=--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎩020022sin cos lx F x l n n n T l n l l l ππξπξξπ⎫⎪⎡⎤--⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎭000000000220()2sin cos cos cos xF l x l n x n x n x F x n x n l T n l l l T n l πππππππ⎧-⎪⎡⎤⎡⎤=---⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎩0000022cos sin cos F x l n x n x n x n n T n l l l ππππππ⎫⎡⎤---+⎬⎢⎥⎣⎦⎭ 002221sin F l n x T n lππ=∴ 00221121(,)cos sin sin cos sin n n n F l n x n a n n a n u x t A t x t x l l T n l l l ππππππ∞∞==∴==∑∑2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
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P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2(1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2210(1)(1)x y''y'y x x +-=--2()(1)x p x x =-，21()(1)q x x =--可见0x =是方程的常点．设方程的级数解为0()nn n y x c x∞==∑，则11()n n n y'x nc x∞-==∑，22()(1)n n n y''x n n c x∞-==-∑代入原方程得222122102221(1)(1)0(1)(1)0n n n nn n n n n n n n n nnnn n n n n n n n n n c xxn n c xx nc xc xn n c xn n c xnc xc x∞∞∞∞---====∞∞∞∞-====---+-=⇒---+-=∑∑∑∑∑∑∑∑由0x 项的系数为0有：202012102c c c c ⋅-=⇒=由1x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ⋅+-=⇒=≠ 由2x 项的系数为0有：4222420114321201224c c c c c c c ⋅-⋅+-=⇒==由3x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ⋅-⋅+-=⇒= 由4x 项的系数为0有：6444640316543401080c c c c c c c ⋅-⋅+-=⇒==由5x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ⋅-⋅+-=⇒= 由6x 项的系数为0有：866686025587656056896c c c c c c c ⋅-⋅+-=⇒==……∴ 方程的级数解为246801000001115()22480896nn n y x c xc c x c x c x c x c x ∞===++++++⋅⋅⋅∑(2) 22(1)0x y''xy'n y --+=解：依题意将方程化为标准形式2220(1)(1)x ny''y'+y x x -=--2()(1)x p x x =--，22()(1)nq x x =-可见0x =是方程的常点．设方程的级数解为0()kk k y x c x∞==∑，则11()k k k y'x kc x∞-==∑，22()(1)k k k y''x k k c x∞-==-∑代入原方程得22212221022221(1)(1)0(1)(1)0k k k kk k k k k k k k k kkkk k k k k k k k k k c xxk k c xx kc xnc xk k c xk k c x kc x n c x ∞∞∞∞---====∞∞∞∞-====----+=⇒----+=∑∑∑∑∑∑∑∑由0x 项的系数为0有：22202021021nc n c c c ⋅+=⇒=-⋅由1x 项的系数为0有：2231131(1)320321n c c n c c c -⋅-+=⇒=-⋅⋅由2x 项的系数为0有：22224222420(4)(4)432120124321n n n c c c n c c c c --⋅-⋅-+=⇒=-=⋅⋅⋅由3x 项的系数为0有：22225333531(9)(1)(9)5432302054321n n n c c c n c c c c ---⋅-⋅-+=⇒=-=⋅⋅⋅⋅由4x 项的系数为0有：222226444640(16)(4)(16)65434030654321n n n n c c c n c c c c ---⋅-⋅-+=⇒=-=-⋅⋅⋅⋅⋅由5x 项的系数为0有：222227555751(25)(1)(9)(25)765450427654321n n n n c c c n c c c c ----⋅-⋅--=⇒=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅由6x 项的系数为0有：2222228666860(36)(4)(16)(36)8765605687654321n n n n n c c c n c c c c ----⋅-⋅-+=⇒=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅……∴ 方程的级数解为2222222345010101022222222226701(1)(4)(1)(9)()21321432154321(4)(16)(1)(9)(25)(4)(16)(36)654321765432187654321kk k nn n n n n y x c xc c x c x c x c x c xn n n n n n n n n n c x c x c ∞=----==+--++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑80x +⋅⋅⋅222222012222222111(2)[(22)]{1(1)}(2)!(1)(3)[(21)]{(1)}(21)!kkk kk k n n n k c xk n n n n k c x x k ∞=∞+=-⋅⋅⋅--=+---⋅⋅⋅--++-+∑∑8.3在0x =的邻区域内求解方程： (1) 222(1)0x y''xy'x y -+-=解：依题意将方程化为标准形式221(1)022x y''y'+y xx--=1()2p x x=-，22(1)()2x q x x-=可见0x =是方程的正则奇点．设方程的级数解为0()n sn n y x c x∞+==∑，则1()()n s n n y'x n s c x∞+-==+∑，2()()(1)n s n n y''x n s n s c x∞+-==++-∑代入原方程得221200002002()(1)()02()(1)()0n s n s n sn sn n n n n n n n n sn sn sn s n n n n n n n n xn s n s c xx n s c xc xxc xn s n s c xn s c xc xc x∞∞∞∞+-+-++====∞∞∞∞+++++====++--++-=⇒++--++-=∑∑∑∑∑∑∑∑由sx 项的系数为0有：0002(1)0s s c sc c --+= (指标方程) 因00c ≠，解得11s s ==或212s s ==取11s s == 1s x +（即2x ）项的系数为0有：111112(1)(1)0300s sc s c c c c +-++=⇒=⇒= 2s x+（即3x ）项的系数为0有：2220202012(2)(1)(2)01025s s c s c c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=⋅3s x+（即4x ）项的系数为0有：33313132(3)(2)(3)02100s s c s c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=4s x+（即5x ）项的系数为0有：444242420112(4)(3)(4)0360362459s s c s c c c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅5s x+（即6x ）项的系数为0有：55535352(5)(4)(5)05500s s c s c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=6s x+（即7x ）项的系数为0有：666464640112(6)(5)(6)0780782456913s s c s c c c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅⋅⋅7s x+（即8x ）项的系数为0有：77737372(7)(6)(7)010500s s c s c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=……∴ 方程的一个特解 (11s s ==)为13571000002460111()2524592456913111(1)2524592456913n n n y x c xc x c x c x c x c x x x x ∞+===++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑取212s s ==1s x +（即32x ）项的系数为0有：11112(1)(1)00s sc s c c c +-++=⇒=2s x+（即52x ）项的系数为0有：2220202012(2)(1)(2)06023s s c s c c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=⋅3s x+（即72x ）项的系数为0有：33313132(3)(2)(3)01500s s c s c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=4s x+（即92x ）项的系数为0有：444242420112(4)(3)(4)028*******s s c s c c c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅5s x+（即112x）项的系数为0有：55535352(5)(4)(5)04500s s c s c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=6s x+（即132x）项的系数为0有：666464640112(6)(5)(6)0660662346711s s c s c c c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅⋅⋅7s x+（即152x）项的系数为0有：77737372(7)(6)(7)09100s s c s c c c c c c ++-++-=⇒-=⇒=……∴ 方程的另一个特解 (212s s ==)为11591322222200000124620111()2323472346711111(1)2323472346711n n n y x c xc x c x c x c xc x x x x ∞+===++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑∴ 原方程的级数解为2461201246202461124622111()()()(1)2524592456913111(1)2323472346711111(1)2524592456913111(12323472346711y x A y x B y x A c x x x x B c x x x x C x x x x C x x x x =+=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅)⋅⋅⋅(2) 42(1)0xy''x y'y +--= 解：依题意将方程化为标准形式(1)1024x y''+y'y xx--=(1)()2x p x x-=，1()4q x x=-可见0x =是方程的正则奇点．设方程的级数解为0()n sn n y x c x∞+==∑，则1()()n s n n y'x n s c x∞+-==+∑，2()()(1)n s n n y''x n s n s c x∞+-==++-∑代入原方程得2110000114()(1)2()2()04()(1)2()2()0n s n s n s n sn n n n n n n n n s n s n sn sn n n n n n n n x n s n s c xn s c xx n s c xc xn s n s c xn s c xn s c xc x∞∞∞∞+-+-+-+====∞∞∞∞+-+-++====++-++-+-==++-++-+-=∑∑∑∑∑∑∑∑由1s x-项的系数为0有：0004(1)20(21)0s s c sc s s c -+=⇒-= (指标方程)因00c ≠，解得112s s ==或20s s ==取112s s ==1sx （即12x ）项的系数为0有：11111100101014(1)2(1)206203s s c s c s c c c c c c +++--=⇒-=⇒=11s x+（即32x ）项的系数为0有：1121211121210114(2)(1)2(2)2(1)02040553s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅12s x+（即52x ）项的系数为0有：11313122323204(3)(2)2(3)2(2)04260117753s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅⋅ 13s x+（即72x ）项的系数为0有：11414133434304(4)(3)2(4)2(3)0728********s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅ 14s x+（即92x ）项的系数为0有：11515144545404(5)(4)2(5)2(4)01101001111119753s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅⋅ 15s x+（即112x）项的系数为0有：11616155656504(6)(5)2(6)2(5)01312120111313119753s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒⋅-=⇒==⋅⋅⋅⋅⋅ ……∴ 方程的一个特解（112s s ==）为1135792222221000000111322001111()35375397531111975313119753n n sn n n n y x c xc xc x c x c x c x c x c xc x∞∞++=====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑∑1234562023456111111(1)353753975311975313119753111111)3!!5!!7!!9!!11!!13!!c x x x x x x x c x x x x x x =++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++++⋅⋅⋅取20s s ==2s x（即0x ）项的系数为0有：22121200101014(1)2(1)20202s s c s c s c c c c c c +++--=⇒-=⇒=21s x+（即1x ）项的系数为0有：22222211212104(2)(1)2(2)2(1)0123011442s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅ 22s x+（即2x ）项的系数为0有：22323222323204(3)(2)2(3)2(2)03050116642s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅⋅ 23s x +（即3x ）项的系数为0有：22424233434304(4)(3)2(4)2(3)056701188642s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅ 24s x+（即4x ）项的系数为0有：22525244545404(5)(4)2(5)2(4)090901110108642s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒-=⇒==⋅⋅⋅⋅ 25s x+（即5x ）项的系数为0有：22626255656504(6)(5)2(6)2(5)0132110111212108642s s c s c s c c c c c c c ++++-+-=⇒+=⇒==⋅⋅⋅⋅⋅ ……∴ 方程的另一个特解 (20s s ==)为2234200000056001111()24264286421110864212108642n s nn n n n y x c xc xc c x c x c x c x c x c x ∞∞+=====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑∑23456023456111111(1)222!23!24!25!26!c x x x x x x =++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴ 原方程的级数解为234561223456023456111111()()())3!!5!!7!!9!!11!!13!!111111(1)222!23!24!25!26!y x Ay x By x Ac x x x x x x Bc x x x x x x =+=++++++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2345612345623456111111(1)3!!5!!7!!9!!11!!13!!111111)222!23!24!25!26!C x x x x x x C x x x x x x =++++++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅。