数学物理方法课件：08第8章 热传导方程的傅里叶解
第八章固体中的热传导课件
Qin- Qout= Q
热量输入 Qin
Q
热量输出 Qout
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上述热能守恒关系式对任何不稳定传热系统(任何传 热方式)都是成立的。
对于稳定的传热体系，Q =0，则热能守恒关系 式为：
Qin- Qout= 0
()
下面基于传热体系热能平衡基本关系导出固相体 系以导热方式的基本导热微分方程，也称傅立叶导热第 二定律。
如图所示：Al固相导热系数和液相导热系数在熔点上 有一间断，突然下降，熔化使完整的晶格破坏为近程有 序的晶格，晶格波传递能力下降。
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固体中的导热规律及温度的分布和变化的定量分析， 对于冶金和材料热加工工艺过程的控制具有很重要的意 义。事实上在热处理和锻造热加工工艺中，热传导是工 件内部加热和冷却过程中的唯一传热方式，在焊接和铸 造工艺中焊件和铸件凝固冷却过程的热量，均要通过工 件的固相区中的纯导热方式散走。
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三、热阻的概念
Thermal Resistance
(8-17)式表示的大平壁中的导热传热热流量Q与平壁两表面温差 (T1-T2)及δ/F项的函数关系可与一个描述简单电路中，（如图）电 流与电压关系的欧姆定律相类比：
边界上一点的温度与该点温度处法向导数的线性之和是已知的，
即：
k T nhTf(t,x,y,z) (x, y, z)
上式第三类边界条件表达式的物理意义是固体在表面上的导热热
流通量通过对流换热方式传给温度为T∞=f (t, x, y, z)/ h 的流体环境
《传热傅里叶定律》课件
提出时间：1822年 提 出 者 ： 约 瑟 夫 ·傅 里 叶
目的：解决热传导问题
应用领域：热力学、工程热 物理、传热学等
傅里叶定律是传热学的基本定律之一 傅里叶定律描述了热传导、对流和辐射三种传热方式的关系 傅里叶定律是研究传热现象的重要工具 傅里叶定律在工程热力学、热力学、热能工程等领域有广泛应用
传热傅里叶定律在 热力学、热能工程 等领域具有广泛应 用前景
传热傅里叶定律为 传热学研究提供了 新的理论基础和研 究方法
传热傅里叶定律在 节能减排、新能源 开发等领域具有重 要应用价值
传热傅里叶定律对 未来传热学研究和 应用具有重要指导 意义
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汇报人：
传热学是研究 热量传递和转 换的科学，是 工程热物理的
重要分支
传热学在能源、 环境、材料、 生物等领域具 有广泛的应用
价值
传热学是提高 能源利用效率、 减少环境污染、 改善生活质量
的重要手段
传热学在航空 航天、电子、 化工、机械、 建筑等工程领 域具有重要的
应用价值
传导传热：通过固 体物质内部的分子 振动和碰撞进行热 量传递
热传导：傅里叶定 律用于计算建筑材 料中的热传导率
热对流：傅里叶定 律用于计算建筑通 风系统中的热对流
热辐射：傅里叶定 律用于计算建筑表 面和室内的热辐射
热交换：傅里叶定 律用于计算建筑供 暖和空调系统中的 热交换效率
热交换器：利用傅里叶定律进行热 交换效率的优化
空调系统：利用傅里叶定律进行空 调系统热效率的优化
傅里叶定律的表述
傅里叶定律是描述热传导的基本定律之一 傅里叶定律指出，在稳态条件下，物体内部的温度分布与热源的分布成正比 傅里叶定律的数学表达式为：T=f(x,y,z)，其中T表示温度，x,y,z表示空间坐标 傅里叶定律的应用广泛，包括热力学、热力学工程、热力学分析等领域
数学物理方法课件：08第8章 热传导方程的傅里叶解
产生，u( x, t)
t
( x, t; )d
0
Tn (t ) sin
n1
n
l
x
,
Tn(t)
t 0
d
fn (
) e xp[
n2
l2
2
a2(t
)]
a)2
(2)
本征问题
X X (0)
X X
(l
0 )
0
Xn( x) cos(kn x) (n 0)
(3) 按本征函数展开 ( x, t) Tn(t)cos(kn x) n1
( x,0) ~( x)
~n
2 l
l 0
cos(kn
x)~(
x
)
dx
t a2 x x
~f Tn nTn
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
导热基本概念与傅里叶定律课件
06
导热研究的前沿与展望
导热研究的发展趋势
材料热导率的研究
随着新材料技术的发展，对材料热导率的研究越来越深入。高导热材料在能源、建筑、电子等领域有广泛应用，如石 墨烯、碳纳米管等新型材料具有很高的热导率。
热导率预测模型
基于分子动力学模拟和统计物理的模型被广泛应用于热导率的预测，这些模型能够更好地理解材料热导率的本质，为 设计高导热材料提供理论支持。
02
傅里叶定律
傅里叶定律概述
傅里叶是一位法国数学家和物理学家，他于1822年提 出了导热定律。
该定律描述了热量在材料中如何传导，指出热流与温度 梯度成正比。
傅里叶定律是热力学中的一个基本原理，对于理解和分 析导热现象具有重要意义。
傅里叶导热定律的数学表达式
傅里叶导热定律的数学表达 式为：q = -k * grad(T)
行离散化处理
得到温度分布等结果
近似法求解导热问题
基于经验或近似关系 得到导热系数和热阻 等参数
通过模型得到温度分 布等结果
利用这些参数建立导 热模型
05
导热问题的应用实例
导热在电子设备中的应用
01
电子设备中的导热问题
随着电子设备的小型化和高性能化，导热问题变得越来越突出。例如，
手机、笔记本电脑等便携式电子设备，由于其紧凑的设计和轻薄的外形
初始条件
u(x,0) = u0(x)（初始温度分布）
边界条件
u(0,t) = u(L,t) = constant（常数）
一维非稳态导热问题的数学模型
定义变量
x，t（位置，时间）
初始条件
u(x,0) = u0(x)（初始温度分布）
建立方程
∂u/∂t = α * ∂²u/∂x² + Q(x)（Q为内热 源）
热传导中的傅立叶热传导定律和热传导方程
热传导中的傅立叶热传导定律和热传导方程热传导是物体中热能由高温区域向低温区域传递的过程。
为了准确描述热传导现象，在热力学中引入了傅立叶热传导定律和热传导方程。
本文将详细介绍这两个概念，帮助读者更好地理解热传导的基本原理和数学描述。
一、傅立叶热传导定律傅立叶热传导定律是基于傅立叶分析的理论，用于描述物体内部热传导的规律。
根据傅立叶热传导定律，热流密度（q）正比于温度梯度（▽T）的负方向，即：q = -k▽T其中，q表示热流密度，单位为瓦特/平方米（W/m²），表示单位时间内通过单位面积传输的热量；k表示热导率，单位为瓦特/米·开尔文（W/m·K），表示物质导热能力的大小；▽T表示温度梯度，单位为开尔文/米（K/m），表示单位长度内温度的变化量。
根据傅立叶热传导定律，热流由高温区域到低温区域，且热流密度的大小与温度梯度成正比。
如果物体温度均匀分布，即温度梯度为零，那么热流密度也为零，即没有热传导现象发生。
二、热传导方程热传导方程是描述热传导过程的偏微分方程，通过时间和空间导数描述了热量在物体内部的传递规律。
一维空间中的热传导方程可以表达为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度场，即温度随着时间和空间变化的函数；α表示热扩散系数，单位为米²/秒（m²/s），表示热量在物体内部传递的速率。
热传导方程的解得到了温度场随时间和位置的变化规律，通过求解热传导方程，可以预测物体内部温度的变化情况。
根据不同的边界条件和初值条件，可以得到具体问题的解析解或数值解。
三、热传导现象的应用热传导现象在日常生活中有着广泛的应用。
首先，热传导是制冷和加热技术的基础，如空调、冰箱、电磁炉等设备的工作原理都与热传导密切相关。
其次，热传导定律和热传导方程在工程领域中应用广泛，如热传导材料的选择、热传导的优化设计等方面。
另外，热传导也在科学研究中起着重要的作用。
22热传导方程的Fourier解法-20131122ppt[兼容模式]
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第八章
热传导方程的付氏解
1
热传导方程的建立
(),
=
u u x t
热传导问题的定解条件
初始条件：()(),0.
u x x ϕ=边界条件
第一类边界条件：()(),.
u l t t μ==第二类边界条件：()(),.
x u l t v t 第三类边界条件：,,.x ku l t hu l t t θ+=()()()()0v t =时的第二类边界条件称为绝热条件．
3
2
此时关于这时可记λμ=,此时关于X 的方程的解为:cos sin .X A x B x μμμμμ=+
从而我们得到满足泛定方程的一系列解:
()22cos sin .a t u T X A x B x e μμμμμμμμ−==+
为了得到满足初始条件的解,需要把这一系列解叠加起来由于此时的取值没有限制可以取所有实数值起来;由于此时μ的取值没有限制,可以取所有实数值从而需要求积分:
()22cos sin a t u u d A x B x e d μμμμμμμμ∞∞−−∞−∞==+∫∫
10
The End The End
18
作业8
P209
2，4，10.
10
19。
傅里叶变换求解热传导方程
傅里叶变换求解热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。
通过求解热传导方程，我们可以了解物体内部温度的变化规律，从而应用于热传导问题的分析和设计。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
通过将信号分解为一系列频率成分，傅里叶变换可以帮助我们理解信号的频谱特性。
在求解热传导方程中，我们可以利用傅里叶变换的性质来简化问题的求解过程。
让我们回顾一下热传导方程的基本形式：∂u/∂t = α∇^2u其中，u表示物体的温度分布，t表示时间，α表示热扩散系数，∇^2表示拉普拉斯算子。
这个方程表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的二阶空间导数之间的关系。
为了求解这个方程，我们首先将其转化为频域表示。
通过对温度分布u进行傅里叶变换，我们可以得到其频域表示ũ(k,t)。
将傅里叶变换后的方程代入原方程，可以得到一个新的方程：∂ũ/∂t = -αk^2ũ其中，k表示频率。
这个方程表示了傅里叶变换后的温度分布随时间的变化规律。
接下来，我们可以通过求解这个频域方程来得到温度分布ũ(k,t)的解析解。
这个方程是一个一阶线性常微分方程，我们可以通过分离变量和积分的方法来求解。
最终，我们可以得到ũ(k,t)的表达式：ũ(k,t) = ũ(k,0)e^(-αk^2t)其中，ũ(k,0)表示初始时刻的频域温度分布。
通过傅里叶反变换，我们可以将ũ(k,t)转换回时域表示的温度分布u(x,t)：u(x,t) = ∫[ũ(k,0)e^(-αk^2t)e^(ikx)]dk这样，我们就得到了热传导方程的解析解。
通过傅里叶变换的方法，我们可以将原本复杂的偏微分方程转化为一个简单的常微分方程，从而简化了求解过程。
傅里叶变换求解热传导方程的方法不仅可以用于理论分析，也可以应用于实际问题的求解。
通过将物体的温度分布进行傅里叶变换，我们可以得到其频域表示，从而得到温度分布的频谱特性。
这对于热传导问题的分析和设计具有重要的意义。
热传导和扩散问题的傅里叶解
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
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• 初值条件 u |t0 ( x)
• 第一类边界条件：已知端点的温度 u |xl 2(t)
• 第二类边界条件：指定单位时间流出端点的热量
傅里叶定律 d Q k ux Adt
ux |xl Q l /(k A)
已知
dQ dt
|xl
Q l
绝热条件：ux |xl 0 (在端点 x=l 处与外界没有热交换)
第八章 热传导方程的傅里叶解
热传导方程的建立 热传导方程混合问题的分离变量解
➢ 热传导方程的建立，混合问题的求解 作业：习题八 3, 4, 9, 10
§8.1 热传导方程和扩散方程的建立
1. 热传导方程的建立
比热为 C、密度为ρ的物体内部有热源，与周围
的介质通过 (0)
X (l) 0
kn
n
l
(n 0)
X (0) 0 X (l) h X (l) 0 tg (knl) hkn (n N )
cos(kn x) sin(kn x)
➢ 本征函数正交关系的证明
设本征函数 Xn (x), Xm (x) 对应的本征值不相等： Xm m Xm 0 (a), Xn n Xn 0 (b)
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
本征问题
X X 0
X (0) X (l)
0
Xn(x)
sin
n
l
x
(n N )
(3) 按本征函数展开
( x, t )
Tn (t)sin
n1
n
u : 温度沿面积元法向的变化率；
dl
n
k: 热导系数；负号表示热量由高温流向低温
R (x+dx, y+dy, z+dz)
TS (x, y, z)
dt 时间内流入体积元的热量：
dQin k (ux x uy y uz z ) dxdydz dt
(x+dx, y+dy, z+dz) R
T S dt 时间内，通过前表面 T 流入的热量：
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
3.一维热传导方程的定解条件
(x, y, z)
u dQT k y ( x, y, z, t )dxdz dt
dt 时间内，通过后表面 T′流出的热量：
dQT
k
u ( x, y
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
2. X X 0 的本征问题
边界条件
本征值 n kn2
X (0) X (l) 0
n
kn l (n N )
本征函数 Xn( x)
sin(kn x)
X (0) X (l) 0
(n 1/ 2)
kn l (n 0)
cos(kn x)
X (0) X (l) 0
(n 1/ 2)
kn l (n 0)
l
0 0 [(a) Xn (b) Xm ]dx
l
(m n ) Xm | Xn 0 ( Xn Xm Xm Xn )dx
( X n X m X m X n ) |0l
在三类齐次边界条件下， Xn Xm Xm Xn 在端点处均为零
例1：非齐次混合问题
uut|
a2 x0
ux x
1(t
• 求解辅助的本征问题
X X 0
X
(0)
X (l )
0
本征值
n
n2
l2
2
本征函数
n x
Xn ( x) sin l
• 求解时间函数 T(t)
T n a2 T 0
T(t) Cn exp(n a2t)
• 待求解展开为特解的叠加形式
u( x, t)
n1
C
n
e
xp(n
a
2
t
)
sin(
),
f (x,t) u |xl
2(t)
(1) (2)
uU
u
|t
0
(
x
)
(3)
(1)选辅助函数
U(x,t)
1(t)
x l
[2
(t
)
1
(t
)],
t a2 |x0
x
0,
x
~f ( |xl
x,
t) 0
(1) (2)
|t0 ~( x)
(3)
~f f Ut
~ U |t0
(2)
§8.2 热传导方程混合问题的求解
1.
求解混合问题
uut|
a2 ux x , x0 u |xl
t 0
0
(1) (2)
u
|t
0
(
x
)
(3)
变量分离形式的特解：uspecial( x, t) X ( x) T(t)
•
带入泛定方程
(1)：
T (t) a2 T(t)
X ( x) X(x)
• 带入边界条件 (2)： X (0) X (l) 0
的分布
u(
x,
y,
z,
t
)
u(r ,
t
)
• 比热：质量为 Δm 的物体温度升高 Δu 需要
的热量 Q C m u C V u
• 热源强度：dt 时间内，体积元 dV 释放 / 吸收
的热量
dQ
F
(r ,
t
)dt
dV
➢ 热传导的傅里叶定律
u1 dS n
dt 时间内，通过面积元dS
u2
的热量 dQ k u dS dt
• 第三类边界条件：端点与周围介质有热交换
牛顿冷却定律：单位时间内，由端点 x=l 流入 温度为m (t) 的介质的热量
Qout h[u(l, t ) m (t )] A
h: 热交换系数
单位时间流出端点 x=l 的热量 Ql k ux |xl A
Q l Q out
(k ux hu) |xl hm (t)
n
l
x)
•
初始条件
(3)
待定系数：( x)
Cn
n1
sin
n
l
x
本征函数的正交性
Cn
2 l
l ( x) sin n
0
l
x dx
➢ 对正交关系的理解
引入函数的内积：
f
|
g
l
0
f
(x) g(x)
dx
本征函数正交： Xn | Xm 0 (m n)
Cn X n
n
Cm
Xm Xm |
|
Xm
,
l Xm | Xm 2