第二章 热传导方程_图文
（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问
题或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问
题为：
ut a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t), ( x, y, z, t) ,
u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z), ( x, y, z, t) ,
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
t 0 : u(x, t) (x, y, z), (x, y, z) G, (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g( x, y, z, t), ( x, y, z) , t 0, (1.8)
区域 内各点的温度从时刻 t1 的温度u(x, y, z, t1 ) 改变为时刻 t2 的温度 u(x, y, z, t2 ) 所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 t1 到时刻 t2 这
段时间内通过曲面S 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1 +热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q
设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C
所需要的热量）为 c c(x, y, z), 密度为 (x, y, z),
那么包含点 (x, y, z) 的体积微元 dV 的温度从u(x, y, z, t1 变为 u(x, y, z, t2 )所需要的热量为
u t
a2
2u x 2
2u y2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
.
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
度为 u1(x, y, z, t) ，它与物体表面的温度 u(x, y, z, t)
并不相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导试 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
验定律或 牛顿定律
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。 注：
u
n 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方 向导数
通过边
热源放
化吸收
界流入
出的热
的热量
的热量
量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
dQ k( x, y, z) u dS dt , n
k( x, y, z) 为热传导系数。
热传导方程的推导：
任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区
域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n
u
g( x,
y,
z, t),
(x, y, z) ,
其中： k1 0,
k
g
k1 k
u1 .
t 0,
(1.10)
注意第三边界条件的推导： 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入
空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温
（3）热源提供的热量 Q2
用 F( x, y, z, t)表示热源强度，即单位时间内从单位
体积内放出的热量，则从 源所提供的热量为
t1
到
t2
这段时间内
内热
Q2
[t2
t1
F( x, y, z, t)dV ]dt
由热量守恒定律得：
(1.3)
[t2
c u dV ]dt [t2
u u u ( (k ) (k ) (k ))dV ]dt
dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
整个 内温度变化所需要的能量 Q
Q dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
c( t2 udt)dV [t2 c u dV ]dt
t1 t
t1
t
(1.1)
u |(x, y,z) g( x, y, z, t), t 0.
t 0,
定义2 在区域 R3 [0, )上，由方程（1.5）和初 始条件（1.7）组成的定解问题称为初值问题或柯西问
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t1 到 t2 这段时间内通过 S
进入 内的热量为
Q1
t2 k( x, y, z) u dS dt ,
t1 S
n
由高斯公式
divAdxdydz A ndSx
S
知
Q1
[t2
t1
( (k u) (k u) (k u))dV ]dt .(1.2) x Fra bibliotek y y z z
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
k u dSdt n
k1 (u u1 )dSdt ,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
|( x, y,z )
g( x,
y,
z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、
第二章 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件
一、热传导方程的导出： 模型：给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x, y, z)
在时刻 t 的温度为 u( x, y, z, t)。 问题： 研究温度 u( x, y, z, t) 的运动规律。
分析：（两个物理定律）
1、热量守恒定律:
温度变
t1
t
t1 x x y y z z
[t2 F(x, y, z,t)dV ]dt t1
由 及 t1 , t2 的任意性知
c u
(k
u )
(k
u )
(k
u )
F
(
x,
y,
z,
t ).(1.4)
t x x y y z z
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c, , k 都为常数的物体）
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数学物理方程2热传导方程
对未来研究的展望
深入研究热传导方程的数学性质
尽管热传导方程已有广泛的研究和应用，但对其数学性质的理解仍不够深入。未来可以进一步研究热传导方程解的唯 一性、稳定性、渐近性等数学问题，以推动数学理论的发展。
拓展热传导方程的应用领域
随着科技的发展，热传导方程的应用领域也在不断拓展。例如，在新能源领域，热传导方程可以用于研究太阳能电池 板的工作原理和优化设计；在环保领域，热传导方程可用于研究污染物在环境中的扩散和迁移规律。
交换。
热传导方程是偏微分方程的一种形式，通常采用傅里叶级数或
03
有限元方法进行求解。
热传导现象的重要性
1
热传导现象在自然界和工程领域中广泛存在，如 气候变化、能源利用、材料科学等。
2
热传导方程的应用有助于深入理解热量传递的机 制，为相关领域的研究提供理论基础。
3
通过求解热传导方程，可以预测温度分布、热量 传递速率等关键参数，为实际问题的解决提供指 导。
04 热传导方程的数值解法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、互连 的子域（或单元）的方法。在每个单元内，选择合适的基函 数，将待求的解表示为这些基函数的线性组合。通过求解一 系列线性方程组，可以得到原问题的近似解。
有限元法在求解热传导方程时，可以将复杂的几何形状离散 化为有限个简单的几何形状，从而简化计算过程。同时，有 限元法能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用于各种类 型的热传导问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将连续的偏微分方程离散化为差分 方程来求解。
详细描述
有限差分法的基本步骤是将偏微分方程中的空间变量离散化为有限个点，然后将偏微分 方程转化为差分方程，最后通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。这种方法适用
工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
第二章__热传导方程
0 x l, t 0,
t 0 : u ( x),
0 x l,
x
0
:
u 0;
x l : ux hu 0,
t 0.
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
ut
a 2 uxx
0,
(I ) t 0 : u ( x),
0 x l, t 0, 0 x l,
x
0
:
u 0,
其中:
u( x, t) Tk (t)sin k x; k 1
f ( x, t) fk (t)sin k x; k 1
( x) k sin k x; k 1
fk (t)
1 Mk
l
f (, t)sin
0
k d;
1l
k Mk
() sin
0
k d;
l
h
Mk 2 2(h2 k ) .
流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶
定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k n k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
| ( x, y,z )
g( x,
y, z, t).
三、定解问题
定义1 在区域 G [0, ) 上，由方程（1.5）、初
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2
数学物理方程 齐海涛 热传导方程
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
4 / 63
热传导方程的导出
函ê������ 关u变量������, ������ , ������ 具k二阶连Y偏导ê, 关u������ 具k一阶连Y偏 导ê. 在������ 内任取一闭曲面, 它所包Œ的区••Ω, d(1.1) 知, 从ž刻������1 到������2 ž刻流入Ω 的热量• ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ������������ ������ = ������ (������, ������, ������ ) d������ d������. (1.2) ������������ ������1 Γ 在žmm隔(������1 , ������2 ) 中Ô体§度从������(������, ������, ������, ������1 ) 变化到������(������, ������, ������, ������2 ), 它所áÂ的 热量• ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������(������, ������, ������ )������(������, ������, ������ )[������(������, ������, ������, ������2 ) − ������(������, ������, ������, ������1 )]d������d������ d������ Ω ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������������ = ������������ d������d������ d������ d������, ������������ ������1 Ω 其中������ •比热, ������ •密度.
(1.6)称•齐次热传导方程, 而(1.7)称•非齐次热传导方程.
热传导方程
热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。
它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。
热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。
热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。
定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。
常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。
•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。
常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。
热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。
因此，需要借助数值计算方法来求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。
热传导方程与扩散方程讲解
x,
y,
z)
u n
dS dt .
在时间间隔[t1, t2 ]中, 温度从u( x, y, z, t1 )变化到u( x, y, z, t2 ), 它所吸收的热量是
c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dxdydz.
D 为扩散系数
第二节 初边值问题的分离变量法
定解问题
ut a2uxx , 0 x L u |x0 0, u |xL 0 u |t0 ( x)
未知函数分离 u(x, t) X(x)T(t)
T' X a2TX"
泛定方程分离
T' X a 2T X
u u(x,t)
u Tk Xk
典型问题的求解
例题1
分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件
ut a2uxx 0, 0 x u |x0 0, u |x 0 u |t0 sin x( A B cos x)
u(x,t) X (x)T (t)
分离结果的求解
X" 2 X 0
X (0) X (L) 0
T'a2 2T 0
X ( x) C cos x D sin x
空间方程解出 X (0) C 0
X (L) D sin L 0
非零解条件 非零解
sin L 0 L k k / L, k N
它构成一个定解问题
u
初始问题： t
a2
2u x2
,
x ,t 0
u(x, 0) (x), x
数学物理方法-热传导方程
[t2
t1
kgradu ds]dt
S
流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 [t1, t2 ] 内区域V内各点温
度从 u(x, y, z, t1) 变化到 u(x, y, z, t2 ) ，则在 [t1,t2 ] 内V内温度升高所
需要的热量为
Q2 c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dV V
移方向的张力应该为零，即 T sin2 T tg2 Tux |xL 0
所以边界条件是：
ux
u x
|xL
0
第二类边界条件又称为Neuman条件。
3.第三类边界条件 给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系
(u
u )
n
f3(M ,t)
其中 为常数。
弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。
)
——三维热传导方程
其中 a2 k c
若物体内有热源，其强度为 F(x, y, z,t) , 则相应的热传导方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
f
(x,
y, z,t)
其中 f F
c
作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不 是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则三维 热传导方程就变成一维热传导方程
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
t2 (
t2
k2udV )dt (
c u dV )dt
t1 V
t1 V
t
由于时间间隔 [t1, t2 ] 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以 上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出
n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN
热传导方程
热传导方程热传导方程：恒温下，物体各部分之间的传热量与传热面积成正比，这一规律称为热传导定律。
通过查表得知，温度为45摄氏度时，传热系数为0.038，即0.038KJ/m2。
1。
恒温，可求各处温度2。
标准大气压下，可以忽略体积功3。
利用表面传热系数4。
在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 5。
画出热传导图： 1-2。
4。
45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。
利用物理关系求传热速率： 0.038kJ/m2*s=12.2kJ/（ m2。
s*s） =16.4KJ/s1。
查热传导方程2。
三次的不同结果都是温度，说明所得数据有误差，故采用插值法，用x表示x分之一，代入上式，解出p= 0.0383。
绘制热传导方程图4。
求各个点的传热速率（ p。
m。
） 5。
根据平均值求传热速率（ 4。
15KJ/s*s= 2。
28KJ/s*s=1。
6。
45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。
利用物理关系求传热速率： 0。
15KJ/m2*s=4。
33KJ/s*s= 1。
4。
当然也可求每个点的温度6。
实际上任何一个热力学系统，除了整个系统处于热平衡外，总还存在着各种各样的内能变化和相变。
内能是能量转化和守恒的量度。
对于一个孤立系统，由于能量在各处是不相互作用的，而且系统和环境都是绝热的，因此系统的内能只取决于系统本身的性质。
温度对内能有着直接的影响。
从能量观点看来，温度是物体分子热运动平均动能的标志。
在绝热条件下，热运动总是从高温区向低温区单方向地进行。
而分子热运动的平均动能是温度的量度，温度越高，分子平均动能就越大，分子平均动能越大，反应速度也就越快。
4。
利用表面传热系数5。
在同样的条件下，用比较实验数据，并将其写成表格，求出平均值： 6。
画出热传导图： 1-2。
4。
45度，可视为理想化，假设为零（或忽略） 5。
利用物理关系求传热速率： 0。
15KJ/m2*s=3。