第二章 导热基本定律和导热微分方程
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传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学第二章导热问题数学描述
由Fourier定律：
qn
t
n
w
t nw
h
twtf
当: h , twtf 转化为第一类边界条件
当: h0,nt w0qw0
（绝热）转化为第 二类边界条件
导热微分方程＋定解条件 求解温度场热流场
补充：其他坐标下的导热微分方程
对于圆柱坐标系
grt aL dim n i j k
n 0 n n x y z
梯度的性质：
1．方向导数等于梯度在该方向上的投影；
2．每点梯度都垂直于该点等温面，并指向温度增大的方向
（法线方向）。
4）傅里叶定律 一般形式：
A
t
n
n
傅里叶定律的文字表述为:在导热现象中,单位时间 内通过给定截面的热流量,正比于该截面法线方向 的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度 升高的方向相反.
热扩散率a 只对非稳态过程才有意义, 因为稳态过程温度不
随时间变化，热容大小对导热过程没有影响。
常见材料热扩散率： 木材：a=1.510-7;钢：a=1.2510-5；银：a=210-4。木材比钢 材的导温系数小100倍，所以木材一端着火而另一端不烫手。
2）定解条件
导热微分方程是描写物体的温度随时间和空间变 化的一般关系，没有涉及具体、特定的导热过程， 是通用表达式。
b.第二类边界条件:已知物体边界上任何时刻的热流
密度或温度变化率，
q s
qw或 n t s
qw
最简单的形式：恒热流， qw const
恒热流的特例是绝热边界条件：
t 0 n s
c.第三类边界条件:已知物体边界与周围流体间的表
第2章-导热理论基础以及稳态导热
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐 标和时间的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
料称各向异性材料。此类材料 必须注明方
向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知：
（ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定 律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度 场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空 间各点的热流密度矢量。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
传热学---导热微分方程式
dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学
传热学课件第二章导热基础理论
也称导温系数,
单位为m2/s。
其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
导热微分方程式的简化
(1) 物体无内热源：V = 0 t a2t
(2) 稳态导热： t 0 a2t V 0 c
(3)稳态导热、无内热源：
2t 2t 2t 2t = 0，即 x2 y2 z2 0
（4）热流密度
q d
dA
nt dA
热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示
q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 2 导热的基本定律—傅里叶定律
第二章 导热基础理论
例内重基 题容点本 赏精难要 析粹点求
基本要求
1． 理解温度场、等温面（线）、温度梯 度、热流密度等概念。
2． 掌握傅立叶定律及其应用。 3. 掌握热导率和热扩散率的定义、意
义、影响因素和确定方法。 4． 能写出典型简单几何形状物体导热问
题的数学描述表达式。
重点与难点
重点： 1. 傅里叶定律与热导率。 2. 导热微分方程及单值性条件。 难点： 1. 傅里叶定律的矢量表达式。 2. 导热微分方程及单值性条件。
标量形式的付里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的导热系数相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q
t x
传热学-第2章-导热的理论基础
温度是标量，因而温度场是标量场
4
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
从不同的角度对温度场进行分类： 按温度场是否随时间变化，可分为:
稳定(Steady-state)温度场：物体内各点温度不随时间 变化——稳态导热
t f (x, y, z)
稳态温度场、定常温度场
5
2.1 基本概念和导热基本定律
提出的， 傅里叶是导热理论的奠基人，他通过实验， 分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶导热 定律。
19
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
Fourier定律的表述： 在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热
流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，但方向相反
q gradt t n
❖ 实验表明，除了甘油和0～120℃范围内的水以外，其他 液体的导热系数值随温度升高而减小
❖ 压力变化对液体导热系数的影响很小，通常可以忽略
43
2.2 物质的导热特性
液体中液态金属和电解液是一类特殊的液体 ——依靠原子的运动和自由电子的迁移来传递热量，导热
系数要比一般非金属液体大10～1000倍
44
q gradt t n
n
❖ 热流密度是一个矢量 与温度梯度位于等温线同一的法线上 方向相反，永远指向温度降低的方向
❖ 在直角坐标系下，热流密度矢量可表示为
q qxi qyj qzk 22
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
温度梯度和热流密度矢量、等温线和热流线间的关系
湿量等 ❖ 有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关
（各向异性材料）有关
30
2.2 物质的导热特性
4
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
从不同的角度对温度场进行分类： 按温度场是否随时间变化，可分为:
稳定(Steady-state)温度场：物体内各点温度不随时间 变化——稳态导热
t f (x, y, z)
稳态温度场、定常温度场
5
2.1 基本概念和导热基本定律
提出的， 傅里叶是导热理论的奠基人，他通过实验， 分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶导热 定律。
19
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
Fourier定律的表述： 在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热
流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，但方向相反
q gradt t n
❖ 实验表明，除了甘油和0～120℃范围内的水以外，其他 液体的导热系数值随温度升高而减小
❖ 压力变化对液体导热系数的影响很小，通常可以忽略
43
2.2 物质的导热特性
液体中液态金属和电解液是一类特殊的液体 ——依靠原子的运动和自由电子的迁移来传递热量，导热
系数要比一般非金属液体大10～1000倍
44
q gradt t n
n
❖ 热流密度是一个矢量 与温度梯度位于等温线同一的法线上 方向相反，永远指向温度降低的方向
❖ 在直角坐标系下，热流密度矢量可表示为
q qxi qyj qzk 22
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
温度梯度和热流密度矢量、等温线和热流线间的关系
湿量等 ❖ 有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关
（各向异性材料）有关
30
2.2 物质的导热特性
导热微分方程式
是与1/(c)两 个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
• 分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。 • a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c 之间的关系. • a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力 越大，故称为热扩散率 • a越大，材料中温度变化越迅速， a也是材料传播温度变化能 力大小的指标，故有导温系数之称。
dQx dQx dx
2t 2 dxdydz x
单位 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQy dQy dy
2t 2 dxdydz y
单位 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQz dQz dz
2t 2 dxdydz z
• 温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大的方向
四、热流密度矢量(Heat flux)
热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度
的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
直角坐标系中：
• 温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的 方向正好相反。
2 2 2
z
2 2 2 t t t Qv t 2 2 2 c x y z c
dQz+dz dQy
dQx
dQy+d
y
dQx+d
x
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
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2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
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导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
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t t t 2 dxdydzd 2 dxdydzd 2 dxdydzd x y z
材料成型传输原理－－热量传输
内热源发热量＝ qv dxdydzd 式中， v 内热源发热率（w/㎡），表示每单位体积微元体单位 q q 时间发出的热量，如为吸热, 则 qv＜0， v 可以是坐标、时间的 函数。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3 MPa～2.0*103 MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。 分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）
材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qx dx
qx qx dx x
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy q y
q y y
dy
q z dz
q z qz dz z
材料成型传输原理－－热量传输
导出总热量 Qx dx Q y dy Qz dz
材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o ( 1 t )
式中：
( W m1 K 1 )
为温度为t℃的导热系数；
o为温度为0℃的导热系数；
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
4.保温材料： 国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
（2）液体的热导率随压力p的升高而增大
p
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
第二节 导热微分方程及单值条件
一、 导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质。
材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者）
金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
q x dx dydzd q y dy dxdzd q z dz dydxd q q x q q y y dy dxdzd q z z dz dydxd qx dx dydzd x y z t t t dydzd dxdzd dydxd x y z
微元体热焓的变化（质量为mkg）： t (mcdt dxdydzc d )
t dxdydzd 热蓄集＝ C
d 时间内微元体中热力学能的增量。
材料成型传输原理－－热量传输
导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积
t t 2 t 2t 2 t 2t 2 2t qv t q ; or a a( 2 2 2 ) 2 2 x 2 x y y zz C c
•反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）
之间的关系。 •其值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该 热量能在整个物体中很快扩散。 •热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一 致的能力。 •在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别 越小。
4.液体导热――气体导热机制＋非导电固体导电机制。
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动
（1）大多数液体（分子量M不变）： T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度 下，热导率随温度的变化规律不一样。
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程 3 ：气体的密度； cv ：气体的定容比热
u ：气体分子运动的均方根速度
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减 小、而两者的乘积保持不变。
材料成型传输原理－－热量传输
导热微分方程
a
qv t 2 a t c
— 热扩散率（导温系数） [ m2 s ] c
2 — 拉普拉斯算子
材料成型传输原理－－热量传输
二、导温系数（热扩散率）
(1)物理意义――综合反映导热能力和蓄热能力。a大则导热能 力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均 匀化；反之则反。
t t t 一维导热： qx ; q y ; qz x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
材料成型传输原理－－热量传输
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层 塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料 各向异性材料中：
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
材料成型传输原理－－热量传输
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T
与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
材料成型传输原理－－热量传输
3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果
x r cos ; y r sin ; z z
1 t 1 2t 2t qv a r r (r r ) r 2 2 z 2 C
材料成型传输原理－－热量传输
（2）球坐标系 （r, ，）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
材料成型传输原理－－热量传输
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
材料成型传输原理－－热量传输
五、导热微分方程的定解条件
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决 实际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。 微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得 特定解。
非金属的导热：依靠晶格的振动传Байду номын сангаас热量；比较小 建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m C)
T
与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构
多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
Qx
Qx+dx
Qy+dy Qz
Q qAd
导入总热量 Q x Q y Q z q x dydzd q y dxdzd q z dydxd
t t t dydzd dxdzd dydxd x y z
材料成型传输原理－－热量传输
W (m C) — 物质的重要热物性参数
1.热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、 通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。（实验 测定） 2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处 的温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t
:
（Thermal conductivity）
[ W m2 ]
热导率（导热系数） W (m C)
材料成型传输原理－－热量传输
t t t 直角坐标系中：q qx i q y j qz k i j k x y z
t t t qx xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t qz zx zy zz x y z
材料成型传输原理－－热量传输
二、导热系数
q -grad t
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 t t 1 t 1 2t a 2 r r (r r ) r 2 sin (sin ) r 2 sin 2 qv C
2t 2t 稳态导热&无内无热源&二维： 2 2 0 x y
d 2t 稳态导热&无内无热源&一维： 2 0 x
材料成型传输原理－－热量传输
四、非直角坐标系的导热微分方程
（1）圆柱坐标系 （r, , z）
t qr r 1 t q r t q z z
(2) 热导率、比热容和密度均为已知。
(3) 物体内具有内热源：内热源均匀分布；qv表 示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量[W/m3]。
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
据付立叶定律：
t t t q x ; q y ; q z x y z
材料成型传输原理－－热量传输
第二章
导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程
第三章 稳态导热分析
材料成型传输原理－－热量传输
内热源发热量＝ qv dxdydzd 式中， v 内热源发热率（w/㎡），表示每单位体积微元体单位 q q 时间发出的热量，如为吸热, 则 qv＜0， v 可以是坐标、时间的 函数。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3 MPa～2.0*103 MPa 范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T 升高而增大。气体的热导率随温度升高而增大。 分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运 动速度高。（如下图）
材料成型传输原理－－热量传输
沿x 轴方向、x+dx的热流密度：
qx dx
qx qx dx x
同理，沿y、z 轴方向的热流密度：
q y dy q y
q y y
dy
q z dz
q z qz dz z
材料成型传输原理－－热量传输
导出总热量 Qx dx Q y dy Qz dz
材料成型传输原理－－热量传输
3.温度的影响：
o ( 1 t )
式中：
( W m1 K 1 )
为温度为t℃的导热系数；
o为温度为0℃的导热系数；
为材料导热系数的温度系数，为实验值。
4.保温材料： 国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(m·K) 的材料（绝热材料）。
（2）液体的热导率随压力p的升高而增大
p
材料成型传输原理－－热量传输
材料成型传输原理－－热量传输
第二节 导热微分方程及单值条件
一、 导热微分方程的推导
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质。
材料成型传输原理－－热量传输
2.导电固体导热――自由电子运动、碰撞的结果（与气体类似）
金属 12~418W (m C)
（1）纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动(主 要依靠前者）
金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
q x dx dydzd q y dy dxdzd q z dz dydxd q q x q q y y dy dxdzd q z z dz dydxd qx dx dydzd x y z t t t dydzd dxdzd dydxd x y z
微元体热焓的变化（质量为mkg）： t (mcdt dxdydzc d )
t dxdydzd 热蓄集＝ C
d 时间内微元体中热力学能的增量。
材料成型传输原理－－热量传输
导入总热量 + 内热源发热量 = 导出总热量 + 热蓄积
t t 2 t 2t 2 t 2t 2 2t qv t q ; or a a( 2 2 2 ) 2 2 x 2 x y y zz C c
•反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）
之间的关系。 •其值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该 热量能在整个物体中很快扩散。 •热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一 致的能力。 •在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别 越小。
4.液体导热――气体导热机制＋非导电固体导电机制。
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动
（1）大多数液体（分子量M不变）： T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度 下，热导率随温度的变化规律不一样。
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程 3 ：气体的密度； cv ：气体的定容比热
u ：气体分子运动的均方根速度
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程减 小、而两者的乘积保持不变。
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导热微分方程
a
qv t 2 a t c
— 热扩散率（导温系数） [ m2 s ] c
2 — 拉普拉斯算子
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二、导温系数（热扩散率）
(1)物理意义――综合反映导热能力和蓄热能力。a大则导热能 力强而蓄热能力弱，温度变化传播快，整个材料的温度趋于均 匀化；反之则反。
t t t 一维导热： qx ; q y ; qz x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
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有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层 塑料板、叠层金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料 各向异性材料中：
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
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金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T
与纯金属相反
温度升高→晶格振动加强→导热增强
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3.非金属固体导热――晶格振动、碰撞的结果
x r cos ; y r sin ; z z
1 t 1 2t 2t qv a r r (r r ) r 2 2 z 2 C
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（2）球坐标系 （r, ，）
t r 1 t q r 1 t q r sin qr
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导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光 加工过程。
极低温度(接近于0 K)时的导热问题。
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五、导热微分方程的定解条件
导热微分方程具有通用性，其解为通解，不便于解决 实际工程问题。应当求解出特定条件下的特定解。 微分方程积分后一般都有常数“C”，求解“C”获得 特定解。
非金属的导热：依靠晶格的振动传Байду номын сангаас热量；比较小 建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m C)
T
与合金相似
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构
多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
材料成型传输原理－－热量传输
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Qx
Qx+dx
Qy+dy Qz
Q qAd
导入总热量 Q x Q y Q z q x dydzd q y dxdzd q z dydxd
t t t dydzd dxdzd dydxd x y z
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W (m C) — 物质的重要热物性参数
1.热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、 通过单位面积的导热量，表征物质导热能力大小。（实验 测定） 2.影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处 的温度梯度，方向与温度梯度相反。
q -grad t
:
（Thermal conductivity）
[ W m2 ]
热导率（导热系数） W (m C)
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t t t 直角坐标系中：q qx i q y j qz k i j k x y z
t t t qx xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t qz zx zy zz x y z
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二、导热系数
q -grad t
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 t t 1 t 1 2t a 2 r r (r r ) r 2 sin (sin ) r 2 sin 2 qv C
2t 2t 稳态导热&无内无热源&二维： 2 2 0 x y
d 2t 稳态导热&无内无热源&一维： 2 0 x
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四、非直角坐标系的导热微分方程
（1）圆柱坐标系 （r, , z）
t qr r 1 t q r t q z z
(2) 热导率、比热容和密度均为已知。
(3) 物体内具有内热源：内热源均匀分布；qv表 示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量[W/m3]。
材料成型传输原理－－热量传输
Qz+dz Qy
据付立叶定律：
t t t q x ; q y ; q z x y z
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第二章
导热基本定律和导热微分方程
第一章 热量传输概述 第二章 导热基本定律和导热微分方程
第三章 稳态导热分析