第二章 导热基本定律及稳态导热
合集下载
传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第一讲-动力工程
大多数液体（分子量M不变）： T
液体的热导率随压力p的升高而增大 p
2-3 导热微分方程式及单值性条件
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
建立导热体内的温度分布计算模型是导热理论 的首要任务
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
导入与导出微元体净热量：
qx dxdydz d
x
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量：
qy dxdydz d
y
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导
入与导出微元体净热量：
qz dxdydz d
z
[J]
D. 导入与导出净热量:
[] ( qx qy qz )dxdydzd
[J]
dQx qx dydz d [J]
B. d 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面处dydz导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
qxdx
qx
qx x
dx
C. d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向
2、推导过程 在导热体中取一微元体，能量平衡分析 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
数学模型建立基本思路 能量平衡分析
(1)导入与导出微元体的净热量
液体的热导率随压力p的升高而增大 p
2-3 导热微分方程式及单值性条件
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
建立导热体内的温度分布计算模型是导热理论 的首要任务
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
导入与导出微元体净热量：
qx dxdydz d
x
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向
导入与导出微元体净热量：
qy dxdydz d
y
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导
入与导出微元体净热量：
qz dxdydz d
z
[J]
D. 导入与导出净热量:
[] ( qx qy qz )dxdydzd
[J]
dQx qx dydz d [J]
B. d 时间内、沿 x 轴方向、
经 x+dx 表面处dydz导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
qxdx
qx
qx x
dx
C. d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向
2、推导过程 在导热体中取一微元体，能量平衡分析 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
数学模型建立基本思路 能量平衡分析
(1)导入与导出微元体的净热量
第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。
根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。
① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律一 、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。
3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
第2章-导热理论基础以及稳态导热
§ 2 -1 导热基本定律 一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念 温度场是指在各个时刻物体内各点温度 分布的总称。 由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐 标和时间的函数：
t f x, y, z,
其中 x, y , z 为空间坐标， 为时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
料称各向异性材料。此类材料 必须注明方
向。相反，称各向同性材料。
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知：
（ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定 律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度 场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空 间各点的热流密度矢量。
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
d x d x dx qx dxdydzd x
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
d y d y dy qy y dxdydzd
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
t2
0 x δ
q 是该处的热流密度矢量。
导热
1 / 1 2 / 2
n / n
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
温度场为分段函数
t
t w1
t w2
t tw1
t w,n1
q
t w3
1
x
0 x 1
1
2
n
tw2 t tw2 q
1 tw1 q 1
1 x (1 2 )
第四章
2. 推导
① 物理问题描述
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以 外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
② 假设条件 • 所研究的物体是各向同性的连续介质； • 导热率、比热容和密度均已知； • 内热源均匀分布，强度为 Φ [W/m3]； • 导热体与外界没有功的交换。
西安交通大学热流中心
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
第三类边界条件:给定了边界上物体与周围流体 间的表面传热系数以及流体温度
牛顿冷却定律：
qw h(tw t f )
傅立叶定律：
h qw
tf
qw (t / n)w
t h(tw例：上图中 tf ) n w
0
δ
x
t h(tw t f ) 对于大平板有： x , x x
热工基础与应用
第四章
③ 建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析
dz z y dx x
dy
西安交通大学热流中心
热工基础与应用
第四章
• 导入微元体的热量 沿x轴方向导入微元体的热量：
t Φx dydz x
• 导出微元体的热量
导热基本定律
qxdydz
qx
qx x
dxdydz
qx dxdydz
同理在y,z方向热量差
x y
ydy
qy y
dxdydz
z
zdz
qz z
dxdydz
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生的
热量：
Φ dxdydz
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
c t dxdydz
代入能量平衡方程：
c t [( t )] [( t )] [( t )] Φ x x y y z z
▪ 4、定解条件的数学表达
初始条件（initial condition）--初始时刻的状态表
示为： t =0 =f (x,y,z)
边界条件（boundary condition）--边界上的温度分 布或换热条件，分为三类： 第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
温度分布 t = 0 =f (x,y,z) 〈2〉 边界条件（boundary condition）：边界上的温
度分布或换热条件。
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
0 tw f ( )
第二类边界条件： 规定了边界上的热流密度（变 量梯度）
0
(
t n
)
w
f
( )
q y dy
qy dx qz
dz qxdx
dy
微元体热平衡
导入微元体的总热量-导出微元体的总热量 + 微元微元体内产生的热量 = 体内的热量增加
X方向导入热量
x qxdydz
导出热量
xdx qxdxdydz
qxdx 用Taylor级数展开
第二章导热基本定律及稳态导热
d 边界条件：第一类
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
第二章 导热的基本定律及稳态导热
第二章导热的基本定律及稳态导热从本章开始将深入的讨论三种热量传递方式的基本规律。
研究工作基本遵循经典力学的研究方法，即提出物理现象、建立数学模型而后分析求解的处理方法，对于复杂问题亦可在数学模型的基础上进行数值求解或试验求解。
采用这种方法，我们就能够达到预测传热系统的温度分布和计算传递的热流量的目的。
导热问题是传热学中最易于用数学方法处理的热传递方式。
因而我们能够在选定的研究系统中利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起导热微分方程式，然后针对具体的导热问题求解其温度分布和热流量。
最后达到解决工程实际问题的目的。
2－1 导热的基本概念和定律1温度场和温度梯度1.1温度场由于热量传递是物质系统内部或其与环境之间能量分布不平衡条件下发生的无序能量的迁移过程，而这种能量不平衡特征，对于不可压缩系统而言，可以用物质系统的温度来表征。
于是就有“凡是有温差的地方就有热量传递”的通俗说法。
因此，研究系统中温度随时间和空间的变化规律对于研究传热问题是十分重要的工作。
按照物理上的提法，物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，记为yxft=2－1(τz),,,式中,t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -- 为时间坐标。
如果温度场不随时间变化,即为稳态温度场，于是有yxft=2—2(z,),稳态温度场仅在一个空间方向上变化时为一维温度场,t=2—3f)(x稳态导热过程具有稳态温度场,而非稳态导热过程具有非稳态温度场。
1.2等温面温度场中温度相同点的集合称为等温面,二维温度场中则为等温线,一维则为点.取相同温度差而绘制的等温线(对于二维温度场)如图2-1所示,其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。
等温面不会与另一个等温面相交,但不排除十分地靠近,也不排除它可以消失在系统的边界上或者自行封闭。
这就是等温面的特性。
1.3温度梯度温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。
按照存在温差就有热传的概念,沿着等温面方向不存在热量的传递。
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t = f (x, y,τ )
t = f (x, y, z)
t = f (x, y, z,τ )
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、温度分布的图示法
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、温度分布的图示法
等温线
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
4. 已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2， 导热系数λ为常量，无内热源，内、外壁面维持均 匀恒定的温度tw1，tw2 。
tw1
tw2
r1 r2
r
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
2-3 一维稳态导热
稳态导热 ∂t ∂τ = 0 温度不随时间而变化。
国标（92年）规定：凡平均温度不高于350℃时 导热系数不大于0.12 W/（m·K）的材料可作为保温 材料。
常用的保温材料： 复合硅酸盐制品、硅酸铝制品、硅酸镁（绝热
涂料）、岩棉、玻璃棉、聚氨酯泡沫、聚乙烯泡沫 等。
应注意的是：以上这些材料的导热系数随温度 、含水率、密度而变化的。
华北电力大学
刘彦丰
三、导热系数
1、导热系数的定义
λ
=
−
q grad
t
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单 位时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数， 它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、 材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几 何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特
性。
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、导热系数的相对大小和典型数据
一、温度分布的描述和表示
像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布 称为温度场。
1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直
角坐标系中 稳态温度场
t = f (x)
一维温度场 t = f (x,τ )
t = f (x, y, z)
非稳态温度场
t = f (x, y, z,τ )
二维温度场 三维温度场
t = f (x, y)
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz
− Φz+dz
=
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 导入与导出净热量:
Φc
=
[
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)]dxdydz
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV = Φ& dxdydz
使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条 件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描 述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边 界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边 界条件。
导热问题的完整数学描述：
导热微分方程 + 定解条件
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 常见的边界条件有三类
+
∂ 2t ∂z 2
=
0
4. 一维稳态含内热源导热：
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
Φ&
=
0
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, Φ, z）
x = r cosφ; y = r sinφ; z = z
ρc ∂t ∂τ
=
1 r
∂ ∂r
(λr
传热学 Heat Transfer
第二章 导热基本定律及稳态导热
工程应用的两个基本目的：
• 能准确地预测所研究系统中的温度分布； • 能准确地计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：
温度分布如何描述和表示？ 温度分布和导热的热流存在什么关系？ 如何得到导热体内部的温度分布？
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
=
t2 − t1
δ
t2
将两个积分常数代入原通解，可 0 δ x
得平壁内的温度分布如下
t
=
t1
−
t1
− t2
δ
x
线性分布
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量
q
=
−λ
dt dx
=
λ
t1
− t2
δ
W/m 2
Φ
=
−λA
dt dx
=
λA t1 − t2 δ
本章内容简介
2-1 导热基本定律
回答问题1和2
2-2 导热微分方程式及定解条件 回答问题3
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体
的导热（一维稳态导热）
2-4 通过肋片的导热分析
具体的稳 态导热问
2-5 具有内热源的导热及多维导热 题
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
2-1 导热基本定律
牛顿冷却定律：
qw = h(tw − t f )
qw
傅里叶定律：
qw = −λ(∂t / ∂n)
例：右图中
0
x =δ,
−
λ
∂t ∂x
x=δ
= h(tw
−tf )
h tf
δx
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 课上作业：列出下列问题的的数学描述：
1. 一块厚度为δ 的平板，两侧的温度分别为tw1和
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，
依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间
的关系式。
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
一、导热微分方程的推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热
以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
在常温（20℃）条件下
纯铜：λ = 399 W (m ⋅ K)
碳钢：λ = 36.7 W/(m ⋅ K) 水：λ = 0.599 W (m ⋅ K)
空气：λ = 0.0259 W (m ⋅ K)
华北电力大学
刘彦丰
3、保温材料
传热学 Heat Transfer
2.假设条件
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3) 内热源均匀分布，强度为 Φ& [W/m3]；
(4)导热体与外界没有功的交换。
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
3、意义
传热学 Heat Transfer
已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各 点的热流密度或热流量。
例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下
的形式：
t = c1x2 + c2
其中C1、C2 和平板的导热系数为常
数，计算在通过 x = 0 截面处的
热流密度为多少？
0
x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
5. 导热微分方程的基本形式
ρc ∂t ∂τ
=
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)
+
Φ&
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量 内热源项
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
二、一些具体情况下的简化
1.若导热系数也为常数
∂t
∂τ
=
a
∂2t ∂x2
+
∂2t ∂y 2
二、导热基本定律(傅立叶定律)
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验 研究基础上，发现导热基本规律 —— 傅里叶定律.
法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官 员。曾于1798-1801追随 拿破仑去埃及。后期致力 于传热理论，1807年提交 了234页的论文，但直到 1822年才出版。
传热学 Heat Transfer
复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
华北电力大学
泡沫石棉
耐火材料
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
2-2 导热微分方程式及定解条件
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t = f (x, y, z,τ )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
dx
= Φx
+
∂∂Φx& - λ
∂t ∂x
dxdydz
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx
− Φx+dx
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
dxdydz
t = f (x, y, z)
t = f (x, y, z,τ )
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、温度分布的图示法
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、温度分布的图示法
等温线
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
4. 已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2， 导热系数λ为常量，无内热源，内、外壁面维持均 匀恒定的温度tw1，tw2 。
tw1
tw2
r1 r2
r
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
2-3 一维稳态导热
稳态导热 ∂t ∂τ = 0 温度不随时间而变化。
国标（92年）规定：凡平均温度不高于350℃时 导热系数不大于0.12 W/（m·K）的材料可作为保温 材料。
常用的保温材料： 复合硅酸盐制品、硅酸铝制品、硅酸镁（绝热
涂料）、岩棉、玻璃棉、聚氨酯泡沫、聚乙烯泡沫 等。
应注意的是：以上这些材料的导热系数随温度 、含水率、密度而变化的。
华北电力大学
刘彦丰
三、导热系数
1、导热系数的定义
λ
=
−
q grad
t
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单 位时间内单位面积的热量。导热系数是物性参数， 它与物质结构和状态密切相关，例如物质的种类、 材料成分、温度、 湿度、压力、密度等，与物质几 何形状无关。它反映了物质微观粒子传递热量的特
性。
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2、导热系数的相对大小和典型数据
一、温度分布的描述和表示
像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布 称为温度场。
1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直
角坐标系中 稳态温度场
t = f (x)
一维温度场 t = f (x,τ )
t = f (x, y, z)
非稳态温度场
t = f (x, y, z,τ )
二维温度场 三维温度场
t = f (x, y)
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz
− Φz+dz
=
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 导入与导出净热量:
Φc
=
[
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)]dxdydz
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV = Φ& dxdydz
使得微分方程获得某一特定问题的解的附加条 件，称为定界条件。对于非稳态导热问题，需要描 述初始时刻温度分布的初始条件，以及给出物体边 界上温度或换热的边界条件。稳态导热问题仅有边 界条件。
导热问题的完整数学描述：
导热微分方程 + 定解条件
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 常见的边界条件有三类
+
∂ 2t ∂z 2
=
0
4. 一维稳态含内热源导热：
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
Φ&
=
0
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, Φ, z）
x = r cosφ; y = r sinφ; z = z
ρc ∂t ∂τ
=
1 r
∂ ∂r
(λr
传热学 Heat Transfer
第二章 导热基本定律及稳态导热
工程应用的两个基本目的：
• 能准确地预测所研究系统中的温度分布； • 能准确地计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：
温度分布如何描述和表示？ 温度分布和导热的热流存在什么关系？ 如何得到导热体内部的温度分布？
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
=
t2 − t1
δ
t2
将两个积分常数代入原通解，可 0 δ x
得平壁内的温度分布如下
t
=
t1
−
t1
− t2
δ
x
线性分布
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
利用傅立叶导热定律可得通过平壁的热流量
q
=
−λ
dt dx
=
λ
t1
− t2
δ
W/m 2
Φ
=
−λA
dt dx
=
λA t1 − t2 δ
本章内容简介
2-1 导热基本定律
回答问题1和2
2-2 导热微分方程式及定解条件 回答问题3
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体
的导热（一维稳态导热）
2-4 通过肋片的导热分析
具体的稳 态导热问
2-5 具有内热源的导热及多维导热 题
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
2-1 导热基本定律
牛顿冷却定律：
qw = h(tw − t f )
qw
傅里叶定律：
qw = −λ(∂t / ∂n)
例：右图中
0
x =δ,
−
λ
∂t ∂x
x=δ
= h(tw
−tf )
h tf
δx
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 课上作业：列出下列问题的的数学描述：
1. 一块厚度为δ 的平板，两侧的温度分别为tw1和
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析，
依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间
的关系式。
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
一、导热微分方程的推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热
以外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
在常温（20℃）条件下
纯铜：λ = 399 W (m ⋅ K)
碳钢：λ = 36.7 W/(m ⋅ K) 水：λ = 0.599 W (m ⋅ K)
空气：λ = 0.0259 W (m ⋅ K)
华北电力大学
刘彦丰
3、保温材料
传热学 Heat Transfer
2.假设条件
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3) 内热源均匀分布，强度为 Φ& [W/m3]；
(4)导热体与外界没有功的交换。
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
3、意义
传热学 Heat Transfer
已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各 点的热流密度或热流量。
例1：已知右图平板中的温度分布可以表示成如下
的形式：
t = c1x2 + c2
其中C1、C2 和平板的导热系数为常
数，计算在通过 x = 0 截面处的
热流密度为多少？
0
x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
5. 导热微分方程的基本形式
ρc ∂t ∂τ
=
∂ ∂x
(λ
∂t ∂x
)
+
∂ ∂y
(λ
∂t ∂y
)
+
∂ ∂z
(λ
∂t ∂z
)
+
Φ&
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量 内热源项
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
二、一些具体情况下的简化
1.若导热系数也为常数
∂t
∂τ
=
a
∂2t ∂x2
+
∂2t ∂y 2
二、导热基本定律(傅立叶定律)
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验 研究基础上，发现导热基本规律 —— 傅里叶定律.
法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官 员。曾于1798-1801追随 拿破仑去埃及。后期致力 于传热理论，1807年提交 了234页的论文，但直到 1822年才出版。
传热学 Heat Transfer
复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
华北电力大学
泡沫石棉
耐火材料
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
2-2 导热微分方程式及定解条件
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t = f (x, y, z,τ )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
dx
= Φx
+
∂∂Φx& - λ
∂t ∂x
dxdydz
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx
− Φx+dx
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
dxdydz