传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第三讲-动力工程
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传热学(第二章)
(2-32)
热阻
R=
1 1 1 ( 4πλ r r2 1
(2-33)
由球坐标系一般形式的导热微分方程
1 T 1 T 1 T T (λr2 + 2 2 (λ ) + 2 (λ sin θ ) + Φ = ρcp r2 r r) r sin θ r sin θ θ θ τ
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁,圆筒壁,球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁,圆筒壁,
1 T 1 T T T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp τ r r r) r z z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 (2-25)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义,通过整个圆筒壁的导热热阻为 (2-29) 29) 与分析多层平壁—样,运用串联热阻叠加的原则,可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 t4 ) Φ= (2-30) ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数,无内热源的空心球壁.内,外半径为r1,r2,其内外表面均匀 恒定温度为t1,t2,球壁内的温度仅沿半径变化,等温面是同心球面. 由傅立叶定律得: dt 各同心球面上的热流率q不相等,而热流量Φ相等. Φ = 4πr2λ dr dr Φ 2 = 4πλdt r
的热传导微分方程:
T(r,τ ) τ ρc 当 λ = const 时, 2T(r,τ ) + Φ = p T(r,τ ) λ λ τ [λT(r,τ )] + g(r,τ ) = ρcp
2.5 导热基本定律与稳态导热
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当 Bi→∞ 时，意味着表面传热
系数 h →∞ （Bi=hδ/λ ），对流
换热热阻趋于0。平壁的表面温 度几乎从冷却过程一开始，就 立刻降到流体温度 T∞ 。 定向点O’就在平壁表面上
定向点O’: （δ +δ /Bi ，T∞）
当Bi→0时，意味着物体的热导 率很大、导热热阻→ 0
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
t=t0
六、傅里叶准则 Fo 对温度分布的影响
一维非稳定导热无量纲方程：
1 ∂T = ∂2T
a ∂τ ∂x2
引入无量纲参数： θ = T − T∞ ,
Ti − T∞
X=x
δ
FO
=
aτ δ2
∂θ ∂τ
=
a
δ2
∂2θ
∂X 2
∂θ = ∂2θ
∂⎜⎛ ⎝
aτ δ2
⎟⎞ ⎠
传热学
Heat transfer
张靖周
能源与动力学院
第三章
非稳态导热
3-1 非稳态导热的基本概念
一、现象和定义
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ)
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 锅炉、内燃机、燃气轮机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
越大
时间常数的进一步讨论
θ
− hA τ − τ
= e ρCV = e τ r
θ0
d (θ θ 0 ) =
dτ
−
1
τr
−τ
e τr
= − (θ θ 0 )
τr
τ → 0 的冷却速率：
传热学第二章导热基本定律及稳态导热 ppt课件
[1 ] ( q x q y q z)d x d y d zd x y z
[J]
傅里叶定律：
qx x t; t) y( y t) z( z t) d x d y d z d [J ]
2、微元体中内热源的发热量
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:
tf(x, y, z, )
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 一、导热微分方程式
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质
(2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3];
合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，
干扰自由电子的运动
合金
纯金属
如常温下： 纯铜398w/m.0c
黄铜109w/m.0c 黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T
温度升高、晶格振动加强、导热增强
q g ra d t t i r t j1 r t k rsi1 n t
c t r 1 2 r (r 2 r t) r 2 s 1 in (s in t) r 2 s i 1 n 2 ( t) q v
导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运动速度高
传热学-第二章-导热基本定律及稳态导热
dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q
q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
第二章导热基本定律及稳态导热PPT课件
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。 由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
下面用此方法求地下埋管与土壤间的导热量
有一热力管道，外径d=2r，
埋于地平面下h米深处。土 壤为均质且导热系数λ为常
数。管子表面温度及地表面
tf
y0
温度也是均匀的常量，为tW h 和tF，设管道很长，求单位 管道的热损失。
r” x
M
p(x,y)
r’
r
N y
因管道很长，从而可以看作是二维稳定导热
1项
2项
＝控制体内内能的变化
3项
第一项 求沿x、y、z三个方向流入和流出的热量
把1、2、3项代入能量方程式
导温系数的物理意义：a越大，表明λ越大或ρC 越小，λ大，表示在相同的温度梯度下可以传 递更多的热量；ρC小表明温度上升1℃所吸收 的热量越小，从而可使相同的热量传递得更远 ，
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
三、利用“导热形状因子S”计 导热系数为算常数导，热无量内热源稳态导热体
内，两壁温度为定值，即有Q=λS(t1+t2)。
补充内容
稳定热传导的热源法 （虚拟热源法）
定义：如果一个物体有内热源作用时，我们可以通过
导热微分方程式和相应的单值性条件求温度分布。但 如果知道温度分布，我们反过来找导致这种温度分布 的原因—实际存在的热源或假想的热源。这种方法称 虚拟热源法或称映象法。
cw 1 说明热源与管子中心不重合。 由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
下面用此方法求地下埋管与土壤间的导热量
有一热力管道，外径d=2r，
埋于地平面下h米深处。土 壤为均质且导热系数λ为常
数。管子表面温度及地表面
tf
y0
温度也是均匀的常量，为tW h 和tF，设管道很长，求单位 管道的热损失。
r” x
M
p(x,y)
r’
r
N y
因管道很长，从而可以看作是二维稳定导热
1项
2项
＝控制体内内能的变化
3项
第一项 求沿x、y、z三个方向流入和流出的热量
把1、2、3项代入能量方程式
导温系数的物理意义：a越大，表明λ越大或ρC 越小，λ大，表示在相同的温度梯度下可以传 递更多的热量；ρC小表明温度上升1℃所吸收 的热量越小，从而可使相同的热量传递得更远 ，
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
三、利用“导热形状因子S”计 导热系数为算常数导，热无量内热源稳态导热体
内，两壁温度为定值，即有Q=λS(t1+t2)。
补充内容
稳定热传导的热源法 （虚拟热源法）
定义：如果一个物体有内热源作用时，我们可以通过
导热微分方程式和相应的单值性条件求温度分布。但 如果知道温度分布，我们反过来找导致这种温度分布 的原因—实际存在的热源或假想的热源。这种方法称 虚拟热源法或称映象法。
高等传热学_第二章_稳态导热
2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr
x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，
qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx
t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得
t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
2024/11/6
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2024/11/6
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律 及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
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上面介绍的是求解导热问题的 一般方法，即通过求解导热微分方 程确定温度分布，然后根据傅里叶 定律获得热流量。
对于一维导热问题，也可以不 通过求解微分方程而直接应用傅里 叶定律得出导热热流量的计算式， 而且对于变导热系数和变截面的情 形更为有效。
二、示例
x2
x1
x
耐温塞子的直径随 x 变化，D ax
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：
（1） 大、 <<H，认为温度沿厚度变化很小； （2）宽度 l >>，认为肋片温度只沿高度方向变化
简化为一维温度场
方法1：根据导热微分方程
三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微 分方程：
c T
( T ) (
x x y
T ) (
y z
T z
)
qv
T0
T
c、更换套管材料16W/(mK)；
l
d、若气流与套管之间的对流
换热系数10W/(m2K) ；
Tf
Tj
e、若在安装套管的壁面处包以热绝缘层以减小热量的导出，
此时套管根部温度=600℃。
一维稳态有内热源的导热微分方程：
d dx
(
dT dx
) qv
0
d 2T dx 2
qv
0
是否可以构造一个内热源？
微元体：截面积A， 周长P，换热面积
Pdx
qv
C dV
h(T Tf )Pdx Adx
h(T Tf )P A
d 2T dx2
hP (T
A
T ) 0
方法2：根据能量守恒
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
整个肋表面的温度与基础面温度相等，即肋 片效率等于1。
过高地估计了肋化增强传热的作用
引入肋片效率和肋壁效率的概念
• 2、肋壁效率
•A0 — 肋间面积
•Af — 肋片面积
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
• 假设：传热过程处于稳态
h1A1(Tf 1 Tw1) [W] A1(Tw1 Tw2) [W]
第二章
导热基本定律及 稳态导热
Foundation of Heat Conduction &
Steady Conduction
上一讲要点回顾
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
积分解的基本过程
2-6 变截面导热问题
一、问题的引出
A2
A1
q
A1
1
Tf1 Tf 2
1
h1 h2 ( A2 / A1)
q
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
肋化系数越大：传热热阻越小，传热系数越大
肋化系数增大的途径：
(1) 采用薄肋，缩小肋间距， 增加肋数目
(2) 采用长肋，扩大每一肋片 的表面面积
问题：上述结论是在什么前提下得到的？ 有什么不妥之处？
(a为常数)，在小头处温度为T1， 在的大头处温度为T2，材料导热 系数为常数。假设侧表面是理想
绝热的，试求塞子内的温度分布，
及通过塞子的热流量。
利用傅里叶定律：
Φ A(x) dT a2x2 dT
dx
4 dx
分离变量并积分
4Φ
a 2
xx1
1 x2
dx
TT1 dT
得到
T
T1
4Φ
a 2
1 x1
• 二、等截面直肋的稳态导热
已知:
（1）等截面直肋 （2）肋根温度T0，且T0>T∞ （3）肋片与周围流体的对流换热系数h （4）λ，h和截面积Ac不变 求：肋片的温度场和通过肋片的热流量
1、数学模型
严格地说，肋片中的温度 场是三维的。其温度分布取
决于内部x、y、z三个方向的
导热热阻以及表面与流体之 间的对流换热热阻。
加到一定程度，再继续增加 H f
th(mH )
f
mH
m hP
A
mH 的数值较小时， f 较
高。在高度H一定时，较
小的 m 有利于提高 f
肋片应选用热导率较大的材料；当 和 h 都给定时 m
随P/A的降低而增大。P/A取决于肋片几何形状和尺寸
f >80%的肋片经济实用
变截面肋片：保持散热量基本不变并减轻肋片重量、 节省材料
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
1、肋化系数 假设：整个肋表面的温度与基础面温度相等， 即肋片效率等于1。
h1A1(Tf 1 Tw1) [W]
A1(Tw1 Tw2) [W]
h2 A2 (Tw2 Tf 2 ) [W]
Tf1 Tf 2
1 1
h1A1 A1 h2 A2
肋化系数：加肋表面与光侧表面表面积之比
d 2T dx2
hP A
T Tf
0
从物理意义上分析，肋片通过周边表面与周围流
体之间进行的热量交换 （C 相当于肋片吸热或放热） 相当于内热源的作用
qv
C dV
h(T
Tf )Pdx Adx
h(T
Tf A
)P
式中暗示了肋片对流体是放热的。根据内热源的
定义，吸热为正，故负号的出现是有明确的物理概
l
微元体：截面积A， 周长P，换热面积 Pdx
[P 2(l ), A l ]
热平衡方程：
x xdx c
x
A
dT dx
c hPdx (T T )
xdx
x
d x dx
dx
A dT
dx
d dx
(A
dT dx
)dx
导热微分方程：（假设 与A为定值）
d 2T dx2
hP (T
A
T )
0
边界条件： x 0, T T0 x H, - dT 0 dx H
1
2
由边界条件，得到
c1
0
emH emH emH
;
c2
0
emH emH emH
等截面直肋内的温度分布：
e e m(Hx)
m( H x )
ch[m(H x)]
e e 0
mH
mH
0 ch(mH )
ch[m(H x)]
0 ch(mH )
肋端的过余温度：
1
H 0 ch(mH )
肋片散热量的计算方法：
（1）由图线或计算公式得到 f （2）计算出理想情况下的散热量 0=hPH(T0- T) （3）由式 = f 0 计算出实际散热量
设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难 易程度、价格、空间位置的限制等
研究性学习 ☺
对于肋壁，传热方程的表达式推导
T Tf1
Tw1
Q
Aff
Af
f
1
Tf1 Tf 2
1
k1A1 Tf 1 Tf 2
h1A1 A1 h2t A1
k1
1
1
1
— 以光壁面面积为 基准的传热系数
h1 h2t
• 热阻图：
肋片导热在航空发动机中的应用
实心涡轮叶片
叶片端面
叶片根部
例题2-5
用热电偶测量管道内的气流温度。已知热接点温度=650℃，
三、肋片效率 从散热的角度评价加装肋片后换热效果
肋片效率：肋片的实际散热量 与假定整个肋片表 面都处在肋基温度T0时的理想散热量 0 的比值
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
Hale Waihona Puke m 1 0Tm T0时， f 1 — 相当于热导率 的情况
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
m 1 0
m
1 H
H
dx
0
1 H
H
0
0
ch[m(H x)] ch(mH )
dx
0
mH
th(mH )
th(mH )
f
mH
th(mH)的数值随mH的增
加而趋于一定值（mH 3）
hPA0 th(mH)
th(mH )
f
mH
m hP
A
当m数值一定时，随着肋片高度H增加，先迅速增大，
但逐渐增量越来越小，最后趋于一定值。说明：当H增
1
H
ch(mH )
0
肋片表面的散热量：
稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量
Φ
A d
dx
x0
A0m th(mH)
hPA0 th(mH)
ch(mH ) emH emH ; th(mH ) emH emH
2
e e mH
mH
双曲余弦函数
双曲正切函数
几点说明：
（1）上述推导中忽略了 肋端的散热（认为肋端绝 热）。对于一般工程计算， 尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散
1 x
由x=x2的边界条件，确定
温度分布
Φ a2(T1 T2 )
4(1 x1 1 x2 )
T
T1
1 1
x x1
1 1
x1 x2
(T1
T2)
2-8 通过肋壁的导热
一、问题的提出
第三类边界条件下通过平壁的一维 稳态导热---传热过程
Tf1 Tf 2
1 1
W
h1A A h2 A
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
念的
2、微分方程求解
d 2T dx2
hP
A
(T
T )
对于一维导热问题，也可以不 通过求解微分方程而直接应用傅里 叶定律得出导热热流量的计算式， 而且对于变导热系数和变截面的情 形更为有效。
二、示例
x2
x1
x
耐温塞子的直径随 x 变化，D ax
求解三维、二维问题较复杂；将问题进行简化：
（1） 大、 <<H，认为温度沿厚度变化很小； （2）宽度 l >>，认为肋片温度只沿高度方向变化
简化为一维温度场
方法1：根据导热微分方程
三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微 分方程：
c T
( T ) (
x x y
T ) (
y z
T z
)
qv
T0
T
c、更换套管材料16W/(mK)；
l
d、若气流与套管之间的对流
换热系数10W/(m2K) ；
Tf
Tj
e、若在安装套管的壁面处包以热绝缘层以减小热量的导出，
此时套管根部温度=600℃。
一维稳态有内热源的导热微分方程：
d dx
(
dT dx
) qv
0
d 2T dx 2
qv
0
是否可以构造一个内热源？
微元体：截面积A， 周长P，换热面积
Pdx
qv
C dV
h(T Tf )Pdx Adx
h(T Tf )P A
d 2T dx2
hP (T
A
T ) 0
方法2：根据能量守恒
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
整个肋表面的温度与基础面温度相等，即肋 片效率等于1。
过高地估计了肋化增强传热的作用
引入肋片效率和肋壁效率的概念
• 2、肋壁效率
•A0 — 肋间面积
•Af — 肋片面积
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
• 假设：传热过程处于稳态
h1A1(Tf 1 Tw1) [W] A1(Tw1 Tw2) [W]
第二章
导热基本定律及 稳态导热
Foundation of Heat Conduction &
Steady Conduction
上一讲要点回顾
理论解析的基本思路
简化
物理问题
数学模型
求解
热流量
温度场
导热定律
控制方程 定解条件
q -grad T [W m2 ]
积分解的基本过程
2-6 变截面导热问题
一、问题的引出
A2
A1
q
A1
1
Tf1 Tf 2
1
h1 h2 ( A2 / A1)
q
Tf1 Tf 2
1 1
h1 h2
肋化系数越大：传热热阻越小，传热系数越大
肋化系数增大的途径：
(1) 采用薄肋，缩小肋间距， 增加肋数目
(2) 采用长肋，扩大每一肋片 的表面面积
问题：上述结论是在什么前提下得到的？ 有什么不妥之处？
(a为常数)，在小头处温度为T1， 在的大头处温度为T2，材料导热 系数为常数。假设侧表面是理想
绝热的，试求塞子内的温度分布，
及通过塞子的热流量。
利用傅里叶定律：
Φ A(x) dT a2x2 dT
dx
4 dx
分离变量并积分
4Φ
a 2
xx1
1 x2
dx
TT1 dT
得到
T
T1
4Φ
a 2
1 x1
• 二、等截面直肋的稳态导热
已知:
（1）等截面直肋 （2）肋根温度T0，且T0>T∞ （3）肋片与周围流体的对流换热系数h （4）λ，h和截面积Ac不变 求：肋片的温度场和通过肋片的热流量
1、数学模型
严格地说，肋片中的温度 场是三维的。其温度分布取
决于内部x、y、z三个方向的
导热热阻以及表面与流体之 间的对流换热热阻。
加到一定程度，再继续增加 H f
th(mH )
f
mH
m hP
A
mH 的数值较小时， f 较
高。在高度H一定时，较
小的 m 有利于提高 f
肋片应选用热导率较大的材料；当 和 h 都给定时 m
随P/A的降低而增大。P/A取决于肋片几何形状和尺寸
f >80%的肋片经济实用
变截面肋片：保持散热量基本不变并减轻肋片重量、 节省材料
• 平壁右侧总面积：
A2 A0 Af
1、肋化系数 假设：整个肋表面的温度与基础面温度相等， 即肋片效率等于1。
h1A1(Tf 1 Tw1) [W]
A1(Tw1 Tw2) [W]
h2 A2 (Tw2 Tf 2 ) [W]
Tf1 Tf 2
1 1
h1A1 A1 h2 A2
肋化系数：加肋表面与光侧表面表面积之比
d 2T dx2
hP A
T Tf
0
从物理意义上分析，肋片通过周边表面与周围流
体之间进行的热量交换 （C 相当于肋片吸热或放热） 相当于内热源的作用
qv
C dV
h(T
Tf )Pdx Adx
h(T
Tf A
)P
式中暗示了肋片对流体是放热的。根据内热源的
定义，吸热为正，故负号的出现是有明确的物理概
l
微元体：截面积A， 周长P，换热面积 Pdx
[P 2(l ), A l ]
热平衡方程：
x xdx c
x
A
dT dx
c hPdx (T T )
xdx
x
d x dx
dx
A dT
dx
d dx
(A
dT dx
)dx
导热微分方程：（假设 与A为定值）
d 2T dx2
hP (T
A
T )
0
边界条件： x 0, T T0 x H, - dT 0 dx H
1
2
由边界条件，得到
c1
0
emH emH emH
;
c2
0
emH emH emH
等截面直肋内的温度分布：
e e m(Hx)
m( H x )
ch[m(H x)]
e e 0
mH
mH
0 ch(mH )
ch[m(H x)]
0 ch(mH )
肋端的过余温度：
1
H 0 ch(mH )
肋片散热量的计算方法：
（1）由图线或计算公式得到 f （2）计算出理想情况下的散热量 0=hPH(T0- T) （3）由式 = f 0 计算出实际散热量
设计肋片：选择形状、计算；考虑质量、制造的难 易程度、价格、空间位置的限制等
研究性学习 ☺
对于肋壁，传热方程的表达式推导
T Tf1
Tw1
Q
Aff
Af
f
1
Tf1 Tf 2
1
k1A1 Tf 1 Tf 2
h1A1 A1 h2t A1
k1
1
1
1
— 以光壁面面积为 基准的传热系数
h1 h2t
• 热阻图：
肋片导热在航空发动机中的应用
实心涡轮叶片
叶片端面
叶片根部
例题2-5
用热电偶测量管道内的气流温度。已知热接点温度=650℃，
三、肋片效率 从散热的角度评价加装肋片后换热效果
肋片效率：肋片的实际散热量 与假定整个肋片表 面都处在肋基温度T0时的理想散热量 0 的比值
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
Hale Waihona Puke m 1 0Tm T0时， f 1 — 相当于热导率 的情况
f
0
hPH (Tm T ) hPH (T0 T )
m 1 0
m
1 H
H
dx
0
1 H
H
0
0
ch[m(H x)] ch(mH )
dx
0
mH
th(mH )
th(mH )
f
mH
th(mH)的数值随mH的增
加而趋于一定值（mH 3）
hPA0 th(mH)
th(mH )
f
mH
m hP
A
当m数值一定时，随着肋片高度H增加，先迅速增大，
但逐渐增量越来越小，最后趋于一定值。说明：当H增
1
H
ch(mH )
0
肋片表面的散热量：
稳态条件下肋片表面的散热量=通过肋基导入肋片的热量
Φ
A d
dx
x0
A0m th(mH)
hPA0 th(mH)
ch(mH ) emH emH ; th(mH ) emH emH
2
e e mH
mH
双曲余弦函数
双曲正切函数
几点说明：
（1）上述推导中忽略了 肋端的散热（认为肋端绝 热）。对于一般工程计算， 尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散
1 x
由x=x2的边界条件，确定
温度分布
Φ a2(T1 T2 )
4(1 x1 1 x2 )
T
T1
1 1
x x1
1 1
x1 x2
(T1
T2)
2-8 通过肋壁的导热
一、问题的提出
第三类边界条件下通过平壁的一维 稳态导热---传热过程
Tf1 Tf 2
1 1
W
h1A A h2 A
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
念的
2、微分方程求解
d 2T dx2
hP
A
(T
T )