传热学第二章稳态热传导
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工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念
t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则
工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
《传热学》第二章热传导
第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。
（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学
等温线
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第2章-1
t f (x, y, z)
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
28/41
传热学 Heat Transfer 第5版
4/41
传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
28/41
传热学 Heat Transfer 第5版
4/41
传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
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n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
二、导热微分方程的简化
1. 如 = constant 则
2 2 2 t t t t c 2 2 Φ 2 x y z
t c 2 t Φ
令
a
c
t Φ 2 a t c
a 称为热扩散率，导温系数( thermal diffusivity)
年代）
<0.14W/(mK)（GB84） <0.12W/(mK)（GB84）
是随温度变化的物性
工程处理： （1）取平均值 （2）采用线性关系近似
0 (1 bt)
2.2 导热微分方程式及定解条件
一、导热微分方程的推导
qz dz
qx
z
y
q y dy
dz q x dx
qy
2.1 导热基本定律
一、几个基本概念
1、温度场：各个时刻物体中各点温度所组成的集合；是坐标
和时间的函数，即t=f (x, y, z, t)。
2、等温线：对于二维温度场，某瞬时时刻，温度场中相同
温度各点连成的线。 3、等温面：某瞬时时刻，温度场中相同温度各点连成的面。 金属部件内的等温线 温度不同的等温面或等 温线彼此不能相交； 等温面上没有温差，不 会有热传递； 不同的等温面之间，有 温差，有导热。
以热流密度表示的导热微分方程，在推导过程中没 有做任何假设，它是通用的，即可以认为：
( x, y, z, )
c c( x, y, z, )
( x, y, z, )
dt q dx
t t t t c [ ( )] [ ( )] [ ( )] Φ x x y y z z
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值） 0 tw f ( )
第二类边界条件：规定了边界上的热流密度（变量梯度）
0
t ( ) w f ( ) n
第三类边界条件：规定了温度与温度梯度在边界上的线 性组合 t ht w tf
q (t1 t4 )
t1 t2
t3
t4
t1
t2
t3
t4
1 2 3 + + 1 2 3
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法可求出n层平壁热流密度：
x0 t t1 n 1 R1 , , Rn 热阻： 边界条件： n 1 n x i t tn 1 i 1 t1 tn 1 t1 tn 1 q n n i R i
x
dx qz
dy
微元体导热热平衡 理论基础：能量守恒定律和傅里叶定律
x方向导入热量 导出热量
x qx dydz
xdx qxdx dydz
q x dx
qx dx
用Taylor级数展开
qx x x dx qx dydz q dx dydz x x qx dxdydz x qy 同理y, z方向热量差 dxdydz y y dy y qz z z dz dxdydz z
四、导热问题的完整数学描述
t Φ 2 a t c
初始条件t 0 f x, y, z
边界条件 问题不能确定，需有定解条件： （1）初始条件（ initial condition）： = 0 时的温度分布 t
=0
=f (x,y,z)
（2）边界条件（boundary condition）：边界上的温度分布或 换热条件。
A
t x
λ：热导率（导热系数） 单位：W/mK
t q - grad t =- n [ W m2 ] x
注：负号表示热量传递的方向和温度梯度的方向相反
三、热导率（导热系数）
q grad t
各向同性
x = y = z
1、物理意义：热导率的数值是物体中单位温度梯度、单位 时间、通过单位面积的热量。是热物性参数，表示物质导 热能力大小，由实验测定。 2、影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、
表示，单位J/s 或 W。
6、热流密度：单位时间内，通过单位面积的热流量称为 热流密度，用q表示，单位J/(m2s) 或 W/m2。
二、导热基本定律
大量实践经验表明，单位时间内通过单位横截面所传导的热量，
正比于当地垂直于截面方向上的温度变化率，即
t A x
引入比例常数λ可得：
t q 热流密度： x x
—— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
金属的导热系数
（b） 非金属的热导率 依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m K )
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350℃时热导率小于 0.12W/(m· K) 的材料（绝热材料）
0 稳态 1. 问题 const Φ
t1
q
t2
2. 模型 即
2t 2t 2t Φ t a 2 2 2 x y z c
x
d 2t 0 2 dx
控制 方程
3. 边界条件： x 0
t t1 ;
x
t t2
2、球坐标: (sphere coordinate)
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 (r t ) t 1 t 1 2 t a 2 sin 2 2 2 2 r sin r sin c r r
密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
（1）气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m K)
0 C : 空气 0.0244W (m K ) ; 20 C : 空气 0.026W (m K)
气体的导热：分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
（3）液体的热导率
液体 0.07~0.7 W (m K )
20 C : 水 0.6 W (m K)
大多数液体（分子量M不变）：
T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
液体的热导率随压力p的升高而增大
x方向导入导出热量之差
q x qx dx x
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生
的热量：
dxdydz Φ
t c d x d yd z
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
代入能量平衡方程：
qy qx qz [ dxdydz dxdydz dxdydz ] x y z t dxdydz c dxdydz
求：q = ? 和 t2 = ?
t2<1300℃，在安全使用温度范围内。
教材中例题2-2（点评）：
（1）例题2-2的传热过程与前一例题相同，不同的是例题 2-2中的导热系数不是常数，而是温度的函数； （2）例题2-2应用了迭代计算法，也称为“试算法”，是
传热学中极为重要的方法。
例题2-1、2-3、2-4（自学）
q
A B rc A B
t1 t3
三、通过圆筒壁的导热 Cylinder
const 1. 问题: 无限长、
0 Φ
稳态
2 t 1 t 1 2 t 2 t t 2. 模型： a 2 2 2 2 r r r z c r
提示：接触面存在接触热阻时。。。 实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界 面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面
接触 —— 给导热带来额外的热阻
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
二、导热微分方程的简化
1. 如 = constant 则
2 2 2 t t t t c 2 2 Φ 2 x y z
t c 2 t Φ
令
a
c
t Φ 2 a t c
a 称为热扩散率，导温系数( thermal diffusivity)
年代）
<0.14W/(mK)（GB84） <0.12W/(mK)（GB84）
是随温度变化的物性
工程处理： （1）取平均值 （2）采用线性关系近似
0 (1 bt)
2.2 导热微分方程式及定解条件
一、导热微分方程的推导
qz dz
qx
z
y
q y dy
dz q x dx
qy
2.1 导热基本定律
一、几个基本概念
1、温度场：各个时刻物体中各点温度所组成的集合；是坐标
和时间的函数，即t=f (x, y, z, t)。
2、等温线：对于二维温度场，某瞬时时刻，温度场中相同
温度各点连成的线。 3、等温面：某瞬时时刻，温度场中相同温度各点连成的面。 金属部件内的等温线 温度不同的等温面或等 温线彼此不能相交； 等温面上没有温差，不 会有热传递； 不同的等温面之间，有 温差，有导热。
以热流密度表示的导热微分方程，在推导过程中没 有做任何假设，它是通用的，即可以认为：
( x, y, z, )
c c( x, y, z, )
( x, y, z, )
dt q dx
t t t t c [ ( )] [ ( )] [ ( )] Φ x x y y z z
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值） 0 tw f ( )
第二类边界条件：规定了边界上的热流密度（变量梯度）
0
t ( ) w f ( ) n
第三类边界条件：规定了温度与温度梯度在边界上的线 性组合 t ht w tf
q (t1 t4 )
t1 t2
t3
t4
t1
t2
t3
t4
1 2 3 + + 1 2 3
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法可求出n层平壁热流密度：
x0 t t1 n 1 R1 , , Rn 热阻： 边界条件： n 1 n x i t tn 1 i 1 t1 tn 1 t1 tn 1 q n n i R i
x
dx qz
dy
微元体导热热平衡 理论基础：能量守恒定律和傅里叶定律
x方向导入热量 导出热量
x qx dydz
xdx qxdx dydz
q x dx
qx dx
用Taylor级数展开
qx x x dx qx dydz q dx dydz x x qx dxdydz x qy 同理y, z方向热量差 dxdydz y y dy y qz z z dz dxdydz z
四、导热问题的完整数学描述
t Φ 2 a t c
初始条件t 0 f x, y, z
边界条件 问题不能确定，需有定解条件： （1）初始条件（ initial condition）： = 0 时的温度分布 t
=0
=f (x,y,z)
（2）边界条件（boundary condition）：边界上的温度分布或 换热条件。
A
t x
λ：热导率（导热系数） 单位：W/mK
t q - grad t =- n [ W m2 ] x
注：负号表示热量传递的方向和温度梯度的方向相反
三、热导率（导热系数）
q grad t
各向同性
x = y = z
1、物理意义：热导率的数值是物体中单位温度梯度、单位 时间、通过单位面积的热量。是热物性参数，表示物质导 热能力大小，由实验测定。 2、影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、
表示，单位J/s 或 W。
6、热流密度：单位时间内，通过单位面积的热流量称为 热流密度，用q表示，单位J/(m2s) 或 W/m2。
二、导热基本定律
大量实践经验表明，单位时间内通过单位横截面所传导的热量，
正比于当地垂直于截面方向上的温度变化率，即
t A x
引入比例常数λ可得：
t q 热流密度： x x
—— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
金属的导热系数
（b） 非金属的热导率 依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m K )
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350℃时热导率小于 0.12W/(m· K) 的材料（绝热材料）
0 稳态 1. 问题 const Φ
t1
q
t2
2. 模型 即
2t 2t 2t Φ t a 2 2 2 x y z c
x
d 2t 0 2 dx
控制 方程
3. 边界条件： x 0
t t1 ;
x
t t2
2、球坐标: (sphere coordinate)
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 (r t ) t 1 t 1 2 t a 2 sin 2 2 2 2 r sin r sin c r r
密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
（1）气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m K)
0 C : 空气 0.0244W (m K ) ; 20 C : 空气 0.026W (m K)
气体的导热：分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
（3）液体的热导率
液体 0.07~0.7 W (m K )
20 C : 水 0.6 W (m K)
大多数液体（分子量M不变）：
T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
液体的热导率随压力p的升高而增大
x方向导入导出热量之差
q x qx dx x
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生
的热量：
dxdydz Φ
t c d x d yd z
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
代入能量平衡方程：
qy qx qz [ dxdydz dxdydz dxdydz ] x y z t dxdydz c dxdydz
求：q = ? 和 t2 = ?
t2<1300℃，在安全使用温度范围内。
教材中例题2-2（点评）：
（1）例题2-2的传热过程与前一例题相同，不同的是例题 2-2中的导热系数不是常数，而是温度的函数； （2）例题2-2应用了迭代计算法，也称为“试算法”，是
传热学中极为重要的方法。
例题2-1、2-3、2-4（自学）
q
A B rc A B
t1 t3
三、通过圆筒壁的导热 Cylinder
const 1. 问题: 无限长、
0 Φ
稳态
2 t 1 t 1 2 t 2 t t 2. 模型： a 2 2 2 2 r r r z c r
提示：接触面存在接触热阻时。。。 实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界 面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面
接触 —— 给导热带来额外的热阻