第二章稳态热传导上海交大
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No.04 1012 2 稳态热传导
24
5、厚δ=100mm的水平平板，λ=10W/m℃，放在温度为 tf=20℃的空气中。其上表面接收350W/m2的辐射热，下表面 散给环境200W/m2的热量。平板上表面与空气对流换热的表 面传热系数为h=10 W/m2.℃,求平板上、下表面温度。
2015-5-29
25
2015-5-29
o
x
4
§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
d 2t dx
2
控制 方程
0
边界 条件 求解 方法
x 0, t t w1 第一类边界：
直接积分，得：
x , t t w2
ti 1 ti q
ti ti 11
i i
i i
t1
t2
t3
t4
8
§2-3 通过平壁，圆筒壁和其它变截面物体的导热（续）
多层、第三类边界
tf1 h1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
t2
t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
2015-5-29
W
长度为 l 的圆筒壁 的导热热阻
12
4 n层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热
流量可按总温差和总热阻计算
t w1 t w( n1) Φ n 1 ri1 ln ri i 1 2i L t w1 t w( n1) ql n 1 ri1 ln ri i 1 2i
tf1 tf 2 n i 1 1 h1dL i 1 i dL h2 dL
上海交通大学《传热学》考试复习重点笔记
专业课复习资料（最新版）
封
面
第一章 绪论
本章要求： 1 掌握内容： ① 热量传递的三种基本方式的概念、特点及基本定律； ② 传热过程、 传热系数及热阻的概 念。 2 了解内容：了解传热学的发展史、现状及发展动态。
§1 — 1 概述 一、基本概念 1 、传热学：传热学是研究热量传递规律的学科。 1)物体内只要存在温差，就有热量从物体的高温部分传向低温部 分； 2)物体之间存在温差时，热量就会自发的从高温物体传向低温物 体。 由于自然界和生产技术中几乎均有温差存在，所以热量传递已成 为自然界和生产技术中一种普遍现象。 2 、热量传递过程： 根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类： （ 1 ）稳态传热 过程； （ 2 ）非稳态传热过程。 ：凡是物体中各点温度不随时间而变的热传 1）稳态传热过程（定常过程） 递过程均称稳态传热过程。 ：凡是物体中各点温度随时间的变化而 2）非稳态传热过程（非定常过程） 变化的热传递过程均称非稳态传热过程。 各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传 热过程；而在启动、停机、、传热学的重要性及必要性 三、传热学的特点、研究对象及研究方法 1 、特点
1 ）理论性、应用性强 2) 有利于创造性思维能力的培养 3 ）教育思想发生了本质性的变化 3 、研究方法 研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用 经验的方法寻求热量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温 度、密度、速度是坐标的连续函数，即将微观粒子的微观物理过程作为宏 观现象处理。 由前可知，热力学的研究方法仍是如此，但是热力学虽然能确定 传热量（稳定流能量方程） ，但不能确定物体内温度分布。 §1 — 2 热量传递的三种基本方式 一、导热（热传导） 1 、定义：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电 子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称导热。 如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。 从微观角度分析气体、 液体、 导电固体与非金属固体的导热机理。 （ 1 ）气体中：导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，温度升 高，动能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使热能从高温传到低温处。 （ 2 ）导电固体：其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样 运动。自由电子的运动在导电固体的导热中起主导作用。 （ 3 ） 非导电固体： 导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的， 即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。 （ 4 ）液体的导热机理：存在两种不同的观点：第一种观点类似于气体， 只是复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气 体大；第二种观点类似于非导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原 子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）的作用。 说明：只研究导热现象的宏观规律。 2 、导热现象的基本规律 1 ）傅立叶定律（ 1822 年，法国物理学家） 如图 1-1 所示，一维导热问题，两个表面均维持均匀温度的平板导热。 根据傅立叶定律，对于 x 方向上任意一个厚度为 dx 的微元层，单位 时间内通过该层的导热量与当地的温度变化率及平板面积 A 成正比， 即
封
面
第一章 绪论
本章要求： 1 掌握内容： ① 热量传递的三种基本方式的概念、特点及基本定律； ② 传热过程、 传热系数及热阻的概 念。 2 了解内容：了解传热学的发展史、现状及发展动态。
§1 — 1 概述 一、基本概念 1 、传热学：传热学是研究热量传递规律的学科。 1)物体内只要存在温差，就有热量从物体的高温部分传向低温部 分； 2)物体之间存在温差时，热量就会自发的从高温物体传向低温物 体。 由于自然界和生产技术中几乎均有温差存在，所以热量传递已成 为自然界和生产技术中一种普遍现象。 2 、热量传递过程： 根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类： （ 1 ）稳态传热 过程； （ 2 ）非稳态传热过程。 ：凡是物体中各点温度不随时间而变的热传 1）稳态传热过程（定常过程） 递过程均称稳态传热过程。 ：凡是物体中各点温度随时间的变化而 2）非稳态传热过程（非定常过程） 变化的热传递过程均称非稳态传热过程。 各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传 热过程；而在启动、停机、、传热学的重要性及必要性 三、传热学的特点、研究对象及研究方法 1 、特点
1 ）理论性、应用性强 2) 有利于创造性思维能力的培养 3 ）教育思想发生了本质性的变化 3 、研究方法 研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用 经验的方法寻求热量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温 度、密度、速度是坐标的连续函数，即将微观粒子的微观物理过程作为宏 观现象处理。 由前可知，热力学的研究方法仍是如此，但是热力学虽然能确定 传热量（稳定流能量方程） ，但不能确定物体内温度分布。 §1 — 2 热量传递的三种基本方式 一、导热（热传导） 1 、定义：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电 子等微观粒子的热运动而产生的热量传递称导热。 如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。 从微观角度分析气体、 液体、 导电固体与非金属固体的导热机理。 （ 1 ）气体中：导热是气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，温度升 高，动能增大，不同能量水平的分子相互碰撞，使热能从高温传到低温处。 （ 2 ）导电固体：其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样 运动。自由电子的运动在导电固体的导热中起主导作用。 （ 3 ） 非导电固体： 导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的， 即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的。 （ 4 ）液体的导热机理：存在两种不同的观点：第一种观点类似于气体， 只是复杂些，因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气 体大；第二种观点类似于非导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原 子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）的作用。 说明：只研究导热现象的宏观规律。 2 、导热现象的基本规律 1 ）傅立叶定律（ 1822 年，法国物理学家） 如图 1-1 所示，一维导热问题，两个表面均维持均匀温度的平板导热。 根据傅立叶定律，对于 x 方向上任意一个厚度为 dx 的微元层，单位 时间内通过该层的导热量与当地的温度变化率及平板面积 A 成正比， 即
传热学第二章稳态热传导
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
第二章 稳态热传导(导热理论基础)
h=f1（）
tf=f2（）
如上图当肋片顶端与周围流体的对流换热量不能忽略
时，此边界条件即为第三类边界条件，可写成：
-（t/x）|x=l=h（t|x=l-tf） 第三类边界条件与第一、二类边界条件区别是： t/n|s、t|s均未知，精选但完整知pp道t课件其两者间的函数关系式1。5
导热理论基础
五、导热微分方程的单值性条件
-t/x|x=精l=选0完整ppt课件
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导热理论基础
五、导热微分方程的单值性条件
2.边界条件：
③第三类边界条件：已知物体边界处与周围流体的换热
系数h以及流体的温度tf。即：
-（t/n）|s=h（t|s-tf）
其中，对于稳态导热时，h、tf将不随时间变化；对于 非稳态导热时，h、tf可以是时间的函数，即：
精选完整ppt课件
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
b.等温线：不同的等温面与同一平 面相交，在此平面上构成的一簇曲 线。
c.特点：①不同的等温面（线）不 可能相交；②它们或者是完全封闭
［导入微元体的热量-导出微元体的热量］+［内热源发热量］
A
+B
=［热力学能增量］
A部：
=C
①沿x轴方向：x截面： x=qx·dydz x+dx截面：x+dx=qx+dx·dydz
因qx是x的函数，且在x至x+dx区间内连续可微，据泰勒级数有：
q x d x q x q x xd x 2 x q 2 xd 2 ! 2 x 3 x q 3 xd 3 ! 3x
第2章 稳态热传导(与杨世铭 陶文栓第四版传热学配套答案)
第2章 稳态热传导课堂讲解【2-5】对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？【解】两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件。
【2-12】在某一产品的制造过程中，厚为1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚度为0.2mm 。
薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为20℃，对流换热表面传热系数为40 W/(m 2•K)。
同时，有一股辐射能透过薄膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。
基板的另一面维持在温度t 1=30℃。
生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度t 0应为60℃，试确定辐射热流密度q 应为多大？薄膜的导热系数λf =0.02W /(m∙K)，基板的导热系数λf =0.06W /(m∙K)。
投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。
薄膜对60℃的热辐射是不透明的。
【解】由薄膜与基板结合面向基板另一面的稳态导热的热流密度为：()211m W 0081001.0306006.0Δ=-⨯==t q δλ 由于薄膜对60℃的热辐射是不透明的，则从薄膜与基板的结合面通过薄膜向冷却气流传热，无辐射换热23222m W 1142.8640102.0102.020601Δ=+⨯-=+=-h t q λδ辐射热流密度q 应为221m W 2942.8686.11421800=+=+=q q q课后作业【2-4】一烘箱的炉门由两种保温材料A 及B 组成，且δA =2δB （见附图）。
已知λA =0.1W /(m∙K)，λB =0.06W /(m∙K)，烘箱内空气温度t f1=400℃，内壁面的总表面传热系数h 1=50W/(m 2•K)。
为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于50℃。
设可把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。
2稳态热传导资料
国家标准规定，温度低于350℃时导热系数小于0.12W/(m⋅K)的材料 称为保温材料。
多孔材料
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结 构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈 大，热导率愈大。
（1）导热系数为常数
t a( 2t 2t 2t )
x2 y2 z2 c
（式2）
a
c
称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温
度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热能
力（ c ）之间的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，
13
2.2 导热问题的数学描述
1.导热微分方程
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设： 1）物体由各向同性的连续介质组成； 2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位 为W/m3。
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；
t 0
t f (x, y, z, )
b)随空间划分 一维稳态温度场：
t f (x)
三维稳态温度场： t f (x, y, z)
4
2.1 导热的基本概念与基本定律
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是等温线。如果 用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一 组等温线。温度场可以用一组等温面或等温 线表示。
多孔材料
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结 构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈 大，热导率愈大。
（1）导热系数为常数
t a( 2t 2t 2t )
x2 y2 z2 c
（式2）
a
c
称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温
度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与沿途物质储热能
力（ c ）之间的关系.
a值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，
13
2.2 导热问题的数学描述
1.导热微分方程
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设： 1）物体由各向同性的连续介质组成； 2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位 为W/m3。
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；
t 0
t f (x, y, z, )
b)随空间划分 一维稳态温度场：
t f (x)
三维稳态温度场： t f (x, y, z)
4
2.1 导热的基本概念与基本定律
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是等温线。如果 用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一 组等温线。温度场可以用一组等温面或等温 线表示。
上海交大工程热力学(第四版)课件 第2章 热力学第一定律
q u w t p 2 v 2 p1v1
wt w p 2 v 2 p1v1
(D )
δ wt δ w d pv
可逆过程
δ wt p d v d pv v d p
17
3)第一定律第二解析式
q h2 h1 1 2
2 2
w t ws
1 2
c f 1 gz1 p1v1
2
内增： 0
c f 2 gz 2 p 2 v 2
2
1 2 p u c f gz 0 2
23
例A4312661 例A4322661 例A4332771 例A4333771
24
归纳： 1）开口系问题也可用闭口系方法求解。 2）注意闭口系边界面上热、功交换；尤其是边界面 变形时需考虑功的交换。 3）例A4333771中若有无摩擦及充分导热的活塞，结果如何？ ——解法三即可认为是这种情况，故无影响。 4）若A4333771活塞为绝热材料制造， 若活塞下有弹簧， 若· · · · · ·
第二章 热力学第一定律
First law of thermodynamics
2–1 热力学第一定律的实质 2-2 热力学能（内能）和总能 2–3 热力学第一定律基本表达式 2–4 闭口系基本能量方程式 2–5 开口系能量方程
1
2–1 热力学第一定律的实质
一、第一定律的实质
能量守恒与转换定律在热现象中的应用。
二、第一定律的表述
热是能的一种，机械能变热能，或热能变机械能的 时候，他们之间的比值是一定的。 或： 热可以变为功，功也可以变为热；一定量的热消失 时必定产生相应量的功；消耗一定量的功时，必出现 与之相应量的热。
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
2024/11/6
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2024/11/6
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
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稳态导热： tw const
非稳态导热 ：
第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。
稳态导热：
非稳态导热 ：
特例：绝热边界
qw const
qw n t w0 n t w0
第三类边界条件（Robin条件）：给定边界上物体与流体间的表面换热系数 h 和流体温度 tf 。
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述 球坐标系下三维非稳态导热微分方程：
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程是描述温度分布的通用表达式，没有涉及具体、特定的导热过程。
定解条件：使得导热微分方程获得某一特定问题的解的附加条件。
grad tt t
n
n
gradtti t jtk x y z
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-1 导热的基本定律
傅立叶定律：单位时间通过一定截面的导热量，正比于垂直于截面的温度梯度和截面面积
。
热流量
Ag r A a td tA tn [W] n
热流密度
第二章稳态热传导上海交大
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-1 导热的基本定律 （基本概念）
温度场：某一时刻导热物体内各点温度分布的总称。
稳态温度场 非稳态温度场
tf(x,y,z)
t 0
tf(x,y,z,) t 0
温度场的表示方式
二维：等温线 三维：等温面
等温线（面）
金属
20℃时， 纯铜 λ＝399 [W/(m·K)] 碳钢 λ＝35～40 [W/(m·K)] 水 λ＝0.599 [W/(m·K)] 空气 λ＝0.0259 [W/(m·K)]
导热系数随温 度的线性近似
非金属 液体 气体
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述
物体被加热或冷却均适用
n 为壁面外法线方向
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程的适用范围：傅立叶导热过程。
不适用的情况：非傅立叶导热过程 ✓ 极短时间(如10-8～10-10s)产生极大的热流密度的热量传递现象， 如激光加工过程。 ✓ 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。 ✓ 微纳米尺度的导热问题。
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述 直角坐标系下三维非稳态导热微分方程 ：
内能的增量 （非稳态项）
导入导出净热流量 （扩散项）
内热源 （源项）
导热微分方程的简化形式： ✓ 导热系数为常数 ✓ 导热系数为常数、且无内热源 ✓ 导热系数为常数、稳态（定常） ✓ 导热系数为常数、稳态（定常）、无内热源
熟练掌握
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描述
热扩散率（导温系数）： a c
[m2/s)]
也是物性参数，表征物体导热能力与储热能力的比值，即物体被加热或冷却 时，物体内部各部分间温度趋于一致的能力。
热扩散率 a 越大，说明物体一旦获得热量后，该热量即在物体中很快扩散。
q gr a d tt tn
n
[W/m2]
热流密度是矢量，方向与温度梯度相反，即指向温度减小的方向。
直角坐标系
qqxiqyjqzkxtiytjztk
各向同性
t
t
t
q x x x q y y x q z z x
x y z
团结 信赖 创造 挑战
传热学 Heat Transfer
导热微分方程
温度场
tf(x,y,z,)
傅立叶定律
热流量 热流密度
导热微分方程的推导：傅立叶定律 + 能量守恒定律 导入导出微元体的净热流量＋ 微元体内热源生成热＝ 微元体内能的增量
导入热流量
x y z
导出热流量
x dx y dy z dz
内热源生成热 dxdydz
内能增量
c t dxdydz
量或热流密度。
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传热学 Heat Transfer
2-1 导热的基本定律
导热系数λ：单位温度梯度下物体内或物体间所产生的热流密度的模。
导热系数反映物体导热能力的大小。是物性参数，取决于物质的种类及热力状态。
q
[W/(m·K)]
导热系数由实验确定。
t n
x
金 属非 金 属 ; 固 相液 相气 相
稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ；
非稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ 和热扩散率 a。
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2-2 导热问题的数学描述
圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程
：
xrcosyrsin zz
tg y x
r x2 y2
x x r r x x z z y y r r y y z z
2-1 导热的基本定律 热流线：温度场中热流密度矢量的切线构成的曲线，与等温线垂直。 相邻热流线间通过的热流量处处相等，构成热流通道。
傅立叶定律几点说明： 1. 温度梯度是引发物体内部及物体间热量传递的根本原因。 2. 热量传递的方向垂直于等温线，指向温度降低的方向。 3. 热量传递的大小（热流量、热流密度）取决于温度分布（温度梯度）。 4. 傅立叶导热基本定律普遍适用。 5. 传热学研究中通过导热微分方程得到温度分布后，即可由傅立叶定律求解热流
等温线（面）的特点： ✓ 不可能相交 ✓ 完全封闭或仅在边界中断 ✓ 沿等温线（面）无热量传递 ✓ 疏密代表温度梯度的大小
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2-1 导热的基本定律 （基本概念）
温度梯度：沿等温线（面）法线方向温度的增量与法向距离比值的极限。 温度梯度是矢量，方向垂直于等温线，且指向温度增加的方向。
初始条件
0t( x ,y ,z ,0 ) f( x ,y ,z )
定解条件
第一类
边界条件
第二类
导热问题的数学描述＝ 导热微分方程+定解条件
第三类
稳态导热：给定边界条件即可。 非稳态导热：给定初始条件和边界条件。
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2-2 导热问题的数学描述
第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值 。
非稳态导热 ：
第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。
稳态导热：
非稳态导热 ：
特例：绝热边界
qw const
qw n t w0 n t w0
第三类边界条件（Robin条件）：给定边界上物体与流体间的表面换热系数 h 和流体温度 tf 。
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2-2 导热问题的数学描述 球坐标系下三维非稳态导热微分方程：
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2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程是描述温度分布的通用表达式，没有涉及具体、特定的导热过程。
定解条件：使得导热微分方程获得某一特定问题的解的附加条件。
grad tt t
n
n
gradtti t jtk x y z
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2-1 导热的基本定律
傅立叶定律：单位时间通过一定截面的导热量，正比于垂直于截面的温度梯度和截面面积
。
热流量
Ag r A a td tA tn [W] n
热流密度
第二章稳态热传导上海交大
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2-1 导热的基本定律 （基本概念）
温度场：某一时刻导热物体内各点温度分布的总称。
稳态温度场 非稳态温度场
tf(x,y,z)
t 0
tf(x,y,z,) t 0
温度场的表示方式
二维：等温线 三维：等温面
等温线（面）
金属
20℃时， 纯铜 λ＝399 [W/(m·K)] 碳钢 λ＝35～40 [W/(m·K)] 水 λ＝0.599 [W/(m·K)] 空气 λ＝0.0259 [W/(m·K)]
导热系数随温 度的线性近似
非金属 液体 气体
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2-2 导热问题的数学描述
物体被加热或冷却均适用
n 为壁面外法线方向
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2-2 导热问题的数学描述 导热微分方程的适用范围：傅立叶导热过程。
不适用的情况：非傅立叶导热过程 ✓ 极短时间(如10-8～10-10s)产生极大的热流密度的热量传递现象， 如激光加工过程。 ✓ 极低温度(接近于0 K)时的导热问题。 ✓ 微纳米尺度的导热问题。
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2-2 导热问题的数学描述 直角坐标系下三维非稳态导热微分方程 ：
内能的增量 （非稳态项）
导入导出净热流量 （扩散项）
内热源 （源项）
导热微分方程的简化形式： ✓ 导热系数为常数 ✓ 导热系数为常数、且无内热源 ✓ 导热系数为常数、稳态（定常） ✓ 导热系数为常数、稳态（定常）、无内热源
熟练掌握
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2-2 导热问题的数学描述
热扩散率（导温系数）： a c
[m2/s)]
也是物性参数，表征物体导热能力与储热能力的比值，即物体被加热或冷却 时，物体内部各部分间温度趋于一致的能力。
热扩散率 a 越大，说明物体一旦获得热量后，该热量即在物体中很快扩散。
q gr a d tt tn
n
[W/m2]
热流密度是矢量，方向与温度梯度相反，即指向温度减小的方向。
直角坐标系
qqxiqyjqzkxtiytjztk
各向同性
t
t
t
q x x x q y y x q z z x
x y z
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导热微分方程
温度场
tf(x,y,z,)
傅立叶定律
热流量 热流密度
导热微分方程的推导：傅立叶定律 + 能量守恒定律 导入导出微元体的净热流量＋ 微元体内热源生成热＝ 微元体内能的增量
导入热流量
x y z
导出热流量
x dx y dy z dz
内热源生成热 dxdydz
内能增量
c t dxdydz
量或热流密度。
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2-1 导热的基本定律
导热系数λ：单位温度梯度下物体内或物体间所产生的热流密度的模。
导热系数反映物体导热能力的大小。是物性参数，取决于物质的种类及热力状态。
q
[W/(m·K)]
导热系数由实验确定。
t n
x
金 属非 金 属 ; 固 相液 相气 相
稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ；
非稳态导热的温度分布取决于导热系数 λ 和热扩散率 a。
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2-2 导热问题的数学描述
圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程
：
xrcosyrsin zz
tg y x
r x2 y2
x x r r x x z z y y r r y y z z
2-1 导热的基本定律 热流线：温度场中热流密度矢量的切线构成的曲线，与等温线垂直。 相邻热流线间通过的热流量处处相等，构成热流通道。
傅立叶定律几点说明： 1. 温度梯度是引发物体内部及物体间热量传递的根本原因。 2. 热量传递的方向垂直于等温线，指向温度降低的方向。 3. 热量传递的大小（热流量、热流密度）取决于温度分布（温度梯度）。 4. 傅立叶导热基本定律普遍适用。 5. 传热学研究中通过导热微分方程得到温度分布后，即可由傅立叶定律求解热流
等温线（面）的特点： ✓ 不可能相交 ✓ 完全封闭或仅在边界中断 ✓ 沿等温线（面）无热量传递 ✓ 疏密代表温度梯度的大小
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2-1 导热的基本定律 （基本概念）
温度梯度：沿等温线（面）法线方向温度的增量与法向距离比值的极限。 温度梯度是矢量，方向垂直于等温线，且指向温度增加的方向。
初始条件
0t( x ,y ,z ,0 ) f( x ,y ,z )
定解条件
第一类
边界条件
第二类
导热问题的数学描述＝ 导热微分方程+定解条件
第三类
稳态导热：给定边界条件即可。 非稳态导热：给定初始条件和边界条件。
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2-2 导热问题的数学描述
第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值 。