南京大学数学物理方法课件08 分离变数(傅里叶级数)法
合集下载
Chapt_8__分离变数(傅里叶级数)法4
43; Bn = Cn , nπb nπb − An e a + Bn e a = Cn , 1 − e nπb / a e −nπb / 2 a (e nπb / a − e −nπb / a ) An = nπb / a Cn = Cn − nπb / a nπb / a − nπb / a e −e e −e − nπb / 2 a − nπb / 2 a e e = nπb / 2 a Cn = Cn , − nπb / 2 a e +e cosh (nπb / 2a ) e nπb / a − 1 e nπb / 2 a (e nπb / a − e −nπb / a ) Bn = nπb / a Cn = Cn − nπb / a nπb / a − nπb / a e −e −e e e nπb / 2 a e nπb / 2 a = nπb / 2 a Cn = Cn , − nπb / 2 a e +e cosh (nπb / 2a )
ρ 2 ( ρ 2 − ρ02 ) cos 2ϕ
3
例2
∇2u = −2,
（0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b ）
u |x =0 = 0, u |x =a = 0, u |y =0 = 0, u |y =b = 0,
取 v = − x 2 + c1 x + c2 选择
c1 , c2
使v既满足方程，亦满足x方向边界条件，有： 这样
其中： f ( x, t ) = F ( x, t ) / ρ , 冲量定理法 的基本思想
f ( x, t ) = ∫ f ( x,τ )δ (t − τ )dτ ,
0
t
代入定解问题
u( x, t ) = ∫ v ( x, t;τ )dτ ,
ρ 2 ( ρ 2 − ρ02 ) cos 2ϕ
3
例2
∇2u = −2,
（0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b ）
u |x =0 = 0, u |x =a = 0, u |y =0 = 0, u |y =b = 0,
取 v = − x 2 + c1 x + c2 选择
c1 , c2
使v既满足方程，亦满足x方向边界条件，有： 这样
其中： f ( x, t ) = F ( x, t ) / ρ , 冲量定理法 的基本思想
f ( x, t ) = ∫ f ( x,τ )δ (t − τ )dτ ,
0
t
代入定解问题
u( x, t ) = ∫ v ( x, t;τ )dτ ,
数物第八章课件
∑ u ( x, t )
=
∞ n=1
( An
cos
nπ at
l
+
Bn
sin
nπ at ) sin
l
nπ
l
x
(12)
∫ An
=
2 l
l ϕ(ξ ) sin nπξ dξ
0
l
(15)
∫ Bn
=
2
nπ a
lψ (ξ ) sin nπξ dξ
0
l
(16)
系数An, Bn的值由(15)、(16)给出，则式(15)、(16)所给
∑ ϕ ( x)
=
∞ n=1
An
sin
nπ
l
x
由 ut t=0 =ψ (x), 得
∑ ψ
(x)
=
∞ n=1
Bn
nπ
l
a
sin
nπ
l
x
(13) (14)
两等式右边是正弦傅氏级数，左边是定义在(0, l)上的
函数，可将函数ϕ(x)和ψ(x)也展成正弦傅氏级数，然
后比较两边的系数就可确定An和Bn。
14
∑ ϕ ( x)
5
⎧⎪ X ′′ + λ X = 0
(5)
⎨
⎪⎩ X (0) = 0, X (l) = 0 (7)
2、求解
①当λ<0时，式(5)的通解为
X ′′ − ( − λ )2 X = 0
X = c1e −λx + c2e− −λx
由X(0)=0，得
c1 + c2 = 0
⇒ c2 = −c1
——本征值问题
y′′ − a 2 y = 0
齐次方程的分离变量法
及关于T的常微分方程：
X（x）的方程和条件构成 本征值问题，只能得到
无意义
*
时得到常微方程的通解为：
则当
代入常微分方程的初始条件，可得：
除非是
否则还是得到无意义的解
则此时可得：
C2＝0
即：
这里给出本征值，相应的本征函数为：
*
而关于T的方程 此时变为： 此方程的解为： U（x,t）的一般解是： 其中Ck由初始条件确定：
*
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程
把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
另解
令
把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
分离变数令：
问题解出。
求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值
*
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 和X的边界条件：
，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但
边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态
*
随k的增大而急剧减小，此时一般解级数
收敛很快，在t>0.18l2/a2时，可以只保留第一项k＝0，此时误差
例3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他
不超过1%
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
叠加系数An和Bn,满足初始条件:
*
左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数
展开成
傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:
这样,我们就得到了原定解问题的解:
系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由
第一类边界条件确定的!
X（x）的方程和条件构成 本征值问题，只能得到
无意义
*
时得到常微方程的通解为：
则当
代入常微分方程的初始条件，可得：
除非是
否则还是得到无意义的解
则此时可得：
C2＝0
即：
这里给出本征值，相应的本征函数为：
*
而关于T的方程 此时变为： 此方程的解为： U（x,t）的一般解是： 其中Ck由初始条件确定：
*
可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程
把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为
另解
令
把原来的温度U0作为新
的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：
分离变数令：
问题解出。
求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值
*
代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 和X的边界条件：
，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但
边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态
*
随k的增大而急剧减小，此时一般解级数
收敛很快，在t>0.18l2/a2时，可以只保留第一项k＝0，此时误差
例3：
散热片的横截面为矩形，一边y＝b处于较高温度U，其他
不超过1%
解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：
叠加系数An和Bn,满足初始条件:
*
左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数
展开成
傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:
这样,我们就得到了原定解问题的解:
系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由
第一类边界条件确定的!
数学物理方法(傅里叶变换法)
例5 恒定表面浓度扩散 在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体 中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由 于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求 是半无界空间x>0中的定解问题
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令
则化为关于w的定解问题:
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 引用例2结果可得
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
这个方程的解为 再进行傅里叶逆变换
利用5.3例1的结果
应用延迟定理
出现
对 的积分只要在球面
以r为球心(矢径r),半径为at
上进行
为球面 的面积元,此即泊松公式.
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为 球心,以at为半径作球面 然后拿初始扰动
第一个积分中令 第二个积分中令 则有
被积函数是偶函数,故
记做erfx,则w可写为:
所求的解如下:
误差函数
记做erfcx,则有
余误差函数
硅片表面
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
数学物理方法(傅里叶变换法).ppt
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是 连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积 分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令
则化为关于w的定解问题:
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 引用例2结果可得
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
这个方程的解为 再进行傅里叶逆变换
利用5.3例1的结果
应用延迟定理
出现
对 的积分只要在球面
以r为球心(矢径r),半径为at
上进行
为球面 的面积元,此即泊松公式.
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为 球心,以at为半径作球面 然后拿初始扰动
第一个积分中令 第二个积分中令 则有
被积函数是偶函数,故
记做erfx,则w可写为:
所求的解如下:
误差函数
记做erfcx,则有
余误差函数
硅片表面
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
数学物理方法(傅里叶变换法).ppt
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是 连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积 分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
第4章 分离变量(傅里叶级数)法(补充1)
第四章 分离变量法 §4.1 分离变法介绍1．“顾名思义，分离变量法只能求出分离变量形式的解，如果一个定解问题不是分离变量形的，用分离变量法不可能求得这个解。
”试对上述说法加以评论。
解：分离变量法解方程可得到本征解，本征值说是分离变量形式的，但定解问题的一般是本征解的某个叠加，即由本征解组成的级数，这种解已不是分离变量形式的了，事实上，一个解即使不是分离变量形式的也可展为级数，所以由分离变量法得到的解，一般并不一定是分离变量形式的。
2．演奏琵琶是把弦的某一点向旁拨开一个小距离，然后放手任其自由振动。
设弦长为l ，被拨开的点在弦长的00(1n n 为正整数）处，拨开距离为h ，试求解弦的振动。
[注意：在解答中，不存在0n 谐音以及0n 整倍数次谐音。
因此，在不同位置拨弦（0n 不同），发出的声音的音色也就不同。
]图4-1解：定解问题为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤===<<=-====)4(),0(,0)3(,),(,0,|)2(,0)1( ),0(,000000002l x u l x n l x l n l l h n l x x l h n u u u l x u a u t t t l x z zx tt 第一步，分离变量：设)()(),(t T x X t x u =以此代入泛定方程和边界条件：0)()()()(2=''-''x X t T a t T x X ， （5）0)()()()0(==t T l X t T X ， （6）由（5）式得到)()()()(2x X x X t T a t T ''=''， （7）只有上式两端均等于同一常数时才有可能成立，把这个常数记为λ-，代入（7）式成为：λ-=''='')()()()(2x X x X t T a t T ， 即,0)()(2=+''t T a t T λ （8）,0)()(=+''x X x X λ （9）在（6）中，若取)(t T =0，得出0)()(==t T x X u ，显然无意义，只能取0)()0(==l X X第二步，求解本征值问题： 由方程（9）来求解)(x X ，这要分0,0=<λλ和0=λ三种情况。
第八章分离变数(傅里叶级数)法
T" X" 2 a T X
由此得到二个常微分方程：
X "X 0, T "a 2T 0
第二步：边界条件的分离变量 （8.1.4）代入边值条件 u |x0 0,
u |xl 0
X (0) T (t ) 0 , X (l ) T (t ) 0 (t 0) X (0) 0 , X (l ) 0
u( x,t ) 2π 2π sin( x ) cos( at ) X ( x ) T (t ) 2A λ λ
t = T/2
4
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 utt a u xx 0, (0 x l ) (8.1.1) 边界条件 u |x 0 0, u | x l 0 (8.1.2) 初始条件 u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ) (8.1.3)
d cos( nx / l ) dx
x 0
0
d cos( nx / l ) dx
24
x l
0
相应关于 T 的方程
T " 0 ( 0) 及 T " n a T 0 ( 0) l2
2 2 2
解为 T0 A0 B0t
n a n a Tn An cos t Bn sin t l l
2
求解步骤如下：
第一步：泛定方程的分离变量 考虑如下驻波形式的特解： u( x, t ) X ( x) T (t ) (8.1.4) 代入方程（8.1.1）：XT"a 2 X " T 0 两边同除 a XT
2
T" X" 2 a T X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是独立变量，故只有两边为同一常数 (-)。
由此得到二个常微分方程：
X "X 0, T "a 2T 0
第二步：边界条件的分离变量 （8.1.4）代入边值条件 u |x0 0,
u |xl 0
X (0) T (t ) 0 , X (l ) T (t ) 0 (t 0) X (0) 0 , X (l ) 0
u( x,t ) 2π 2π sin( x ) cos( at ) X ( x ) T (t ) 2A λ λ
t = T/2
4
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 utt a u xx 0, (0 x l ) (8.1.1) 边界条件 u |x 0 0, u | x l 0 (8.1.2) 初始条件 u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ) (8.1.3)
d cos( nx / l ) dx
x 0
0
d cos( nx / l ) dx
24
x l
0
相应关于 T 的方程
T " 0 ( 0) 及 T " n a T 0 ( 0) l2
2 2 2
解为 T0 A0 B0t
n a n a Tn An cos t Bn sin t l l
2
求解步骤如下：
第一步：泛定方程的分离变量 考虑如下驻波形式的特解： u( x, t ) X ( x) T (t ) (8.1.4) 代入方程（8.1.1）：XT"a 2 X " T 0 两边同除 a XT
2
T" X" 2 a T X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是独立变量，故只有两边为同一常数 (-)。
数学物理方法傅里叶变换法
2
2a ik
再进行傅里叶逆变换
U (r, t) [ (k) 1 (eikat eikat )
2
(k)
1 2a
1 ik
(eikat
e ik at
)]eikr dk1dk2dk3
1
4a
(r)[
a
4
2
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
utt u |t
0
a23u 0
(r),Ut
|t
0
(r
)
15
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
U k 2a2U 0 U |t0 (k),U |t0 (k)
这个方程的解为
U (t, k) 1 (k)(eikat eikat ) 1 1 (k)(eikat eikat )
进行傅里叶逆变换
u(x,t) 1
2
t 0
f
(
,
)ek 2a2
(t
e) ik
dd
eikxdk
交换积分次序可得：
u(x,t)
t 0
f ( , )
1
2
e
k
2a
2
(t
)eik
(
x
13
第一个积分中令 z (x ) / 2a t , dz d / 2a t
第二个积分中令 z ( x) / 2a t , dz d / 2a t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X ' 'X 0, （8.1.37） X (0) 0, X ' (l ) 0, （8.1.38）
T 'a 2T 0
（8.1.39）
27 南京大学超导电子学研究所
0: X 0 0 : X C1 cos x C2 sin x,
代边值
0,
26 南京大学超导电子学研究所
例2 细杆导热问题 ut a 2uxx 0, (a 2 k/c ) , (8.1.33) u |x 0 0, ux |x l 0, (8.1.34) u |t 0 u0 x / l , (0 x l ) , (8.1.35) 解 u( x, t ) X ( x)T (t ),
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 2 初始条件 utt a uxx 0, (0 x l ) (8.1.1) u |x l 0, (8.1.2) 边界条件 u |x 0 0,
u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ),
(8.1.3)
3 南京大学超导电子学研究所
2
4l
2
， (k 0,1,2,)
28 南京大学超导电子学研究所
(2k 1)x X ( x ) C2 sin (k 0,1,2,) , 2l
( k 1 / 2) 2 2 a 2 T ' T 0 2 l
( k 1 / 2 ) 2 2a 2t － l2
29 南京大学超导电子学研究所
分离变量
常微分方程
1 南京大学超导电子学研究所
弦的振动虽然是一个特殊的问题，但它能比较 直观地显示出波动问题的一般特征，并形象地 说明波动的一些基本概念，如驻波、波节、波 腹、本征频率、波的叠加等。该方法亦因此称 为驻波法。
用分离变数法得到的数学解式特别清楚地反映 了波动的这些基本概念。3
2 南京大学超导电子学研究所
X ( x)T (0) ( x), X ( x)T ' (0) ( x),
即
X ( x) ( x) / T (0),
X ( x) ( x) / T ' (0)
而 (x) 和 (x) 是任意函数，一般不满足 X ( x ) 的方程
南京大学超导电子学研究所
5
第三步：解问题：
if C1 0, then X ( x ) 0; C1 0, sin l 0, so n 2 2 l n (n 1,2,) 2 l
22 南京大学超导电子学研究所
nx X ( x ) C1 cos (n 1,2,) , l
综合
0及 0: 2 2 n 2 , (n 0,1,2,)
u0 ( x, t ) A0 B0t
n=1,2,…
na na n un ( x, t ) An cos t Bn sin t cos x l l l
24 南京大学超导电子学研究所
一般解为
u( x, t ) A0 B0t na na n An cos t Bn sin t cos x l l l n 1
代入初值
n A0 An cos x ( x) l n 1
na n B0 Bn cos x ( x) l n 1 l
25 南京大学超导电子学研究所
1 l 2 l nx A0 ( )d , An ( ) cos d l 0 l 0 l 1 l 2 l nx B0 ( )d , Bn ( ) cos d , l 0 l 0 l
南京大学超导电子学研究所
10
问题：上述特解能否满足初始条件（2）？
n un |t 0 An sin x; l
un na nx |t 0 Bn sin t l l
显然，un(x,t) 是不可能满足初始条件的， 因为(x) 和 (x) 是任意函数。
11 南京大学超导电子学研究所
C1 0, C2 cos l 0.
if C2 0, then X ( x ) 0; C2 0, cos l 0, so
l (k 1 / 2)， (k 0,1,2,)
2 2
k 1 / 2
l
2
2k 1 2 ＝
1、可见 un(x,t) 代表驻波。
Cn sin kn x ：弦上各点的振幅分布
(nt n ) ：相位因子
n ：圆频率 n ：初位相
15 南京大学超导电子学研究所
2、波节：振动中始终不动的点称为：
sin kn x 0
ml x , (m 0,1,2,n) n
波腹：而 |un(x,t)| 极大点
X 0 X C0 D0 x
边值
X C0
21 南京大学超导电子学研究所
0 : X C cos x C sin x, 1 2
代边值
C2 0
(C1 sin l C2 cos l ) 0,
0,
C2 0, C1 sin l 0.
12
南京大学超导电子学研究所
即：
nx u |t 0 An sin ( x) l n 1
na nx ut |t 0 Bn sin ( x) l l n 1
其中
2 n An ( ) sin d l 0 l
l
n Bn ( ) sin d na 0 l 2
第一步：泛定方程的分离变量： 考虑如下形式的特解： u( x, t ) X ( x)T (t ),
(8.1.4)
代入方程（8.1.1）：XT ' 'a X ' ' T 0
2
两边同除 a 2 XT
T'' X '' 2 aT X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是 独立变量，故只有两边为同一常数 (-)。 由此得到二个常微分方程：
X ' 'X 0 (8.1.8) X (0) X (l ) 0
(1) 0 :
X ( x) C1e
由边值
x
C2e
x
C1 C2 0, C1e
l
C1 0
l
C2e
0,
C2 0
南京大学超导电子学研究所
6
(2) 0 :
nx X ( x ) C1 cos , (n 0,1,2,) l l
23 南京大学超导电子学研究所
相应的T之方程
T'' 0
解为
及
n a T ' ' T 0 2 l
2 2 2
T0 A0 B0t
na na Tn An cos t Bn sin t l l
本征解为
X ( x) C1 x C2
由边值
(3)
C2 0, C1l C2 0,
C1 0, C2 0,
0:
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值
C1 0 C2 sin l 0
7 南京大学超导电子学研究所
C2 0 无意义 或 sin l 0 要求 l n
第八章分离变数
§8.1 齐次方程的分离变量法 (一) 分离变数法介绍 驻波法
常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界 条件确定待定常数； 偏微分方程：求通解较困难，求得通解定解亦难， 因通解中含有任意函数。因此直接求满足定 解条件的特解。 分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解 常微的问题 偏微分方程 的定解问题
变量能分离的条件 方程及边界条件 必须为齐次的！
◆本征值问题能否
得到完满解决
本课程所得到的本征值 问题均有解，且本征函数 均构成完备正交系。
19 南京大学超导电子学研究所
（二）例题 例1 两端自由杆的纵振动
utt a uxx 0, (0 x l ) (8.1.17)
2
ux |x 0 0,
n 2 , l
2
2
(n 1,2,3, )
最后得到问题的解为：
nx X ( x ) C2 sin x, l 2 2 n 2 , (n 1,2,3, ) l
南京大学超导电子学研究所
8
的取值不是任意的，只能取某些特定的数 值，方程(8.1.8)才有满足条件的非零解。这 些特定的 值称为本征值，(8.1.8)相应的非 零解称为本征函数。求本征值和相应的本征 函数的问题称为本征值问题。
l
南京大学超导电子学研究所
13
解的物理意义
可把 u(x,t) 改写作：
u( x, t ) Cn sin kn x cos(nt n )
其中：
n 1
Cn A B ,
2 n 2 n
Bn n tg , An
1
na n , l
n kn , l
14 南京大学超导电子学研究所
sin kn x 1 x (m 1 / 2)l , (m 0,1,2,n 1)
n
3、满足定解条件的解由各不同频率、不同位相、不同振 幅的驻波叠加而成。其中振幅和位相与初值有关，而 频率与初值无关，故称本征频率或固有频率。
16 南京大学超导电子学研究所
1 0.8 0.6 0.4 n=1
ux |x l 0,
(8.1.18) (8.1.19)
u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ),
T 'a 2T 0
（8.1.39）
27 南京大学超导电子学研究所
0: X 0 0 : X C1 cos x C2 sin x,
代边值
0,
26 南京大学超导电子学研究所
例2 细杆导热问题 ut a 2uxx 0, (a 2 k/c ) , (8.1.33) u |x 0 0, ux |x l 0, (8.1.34) u |t 0 u0 x / l , (0 x l ) , (8.1.35) 解 u( x, t ) X ( x)T (t ),
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 2 初始条件 utt a uxx 0, (0 x l ) (8.1.1) u |x l 0, (8.1.2) 边界条件 u |x 0 0,
u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ),
(8.1.3)
3 南京大学超导电子学研究所
2
4l
2
， (k 0,1,2,)
28 南京大学超导电子学研究所
(2k 1)x X ( x ) C2 sin (k 0,1,2,) , 2l
( k 1 / 2) 2 2 a 2 T ' T 0 2 l
( k 1 / 2 ) 2 2a 2t － l2
29 南京大学超导电子学研究所
分离变量
常微分方程
1 南京大学超导电子学研究所
弦的振动虽然是一个特殊的问题，但它能比较 直观地显示出波动问题的一般特征，并形象地 说明波动的一些基本概念，如驻波、波节、波 腹、本征频率、波的叠加等。该方法亦因此称 为驻波法。
用分离变数法得到的数学解式特别清楚地反映 了波动的这些基本概念。3
2 南京大学超导电子学研究所
X ( x)T (0) ( x), X ( x)T ' (0) ( x),
即
X ( x) ( x) / T (0),
X ( x) ( x) / T ' (0)
而 (x) 和 (x) 是任意函数，一般不满足 X ( x ) 的方程
南京大学超导电子学研究所
5
第三步：解问题：
if C1 0, then X ( x ) 0; C1 0, sin l 0, so n 2 2 l n (n 1,2,) 2 l
22 南京大学超导电子学研究所
nx X ( x ) C1 cos (n 1,2,) , l
综合
0及 0: 2 2 n 2 , (n 0,1,2,)
u0 ( x, t ) A0 B0t
n=1,2,…
na na n un ( x, t ) An cos t Bn sin t cos x l l l
24 南京大学超导电子学研究所
一般解为
u( x, t ) A0 B0t na na n An cos t Bn sin t cos x l l l n 1
代入初值
n A0 An cos x ( x) l n 1
na n B0 Bn cos x ( x) l n 1 l
25 南京大学超导电子学研究所
1 l 2 l nx A0 ( )d , An ( ) cos d l 0 l 0 l 1 l 2 l nx B0 ( )d , Bn ( ) cos d , l 0 l 0 l
南京大学超导电子学研究所
10
问题：上述特解能否满足初始条件（2）？
n un |t 0 An sin x; l
un na nx |t 0 Bn sin t l l
显然，un(x,t) 是不可能满足初始条件的， 因为(x) 和 (x) 是任意函数。
11 南京大学超导电子学研究所
C1 0, C2 cos l 0.
if C2 0, then X ( x ) 0; C2 0, cos l 0, so
l (k 1 / 2)， (k 0,1,2,)
2 2
k 1 / 2
l
2
2k 1 2 ＝
1、可见 un(x,t) 代表驻波。
Cn sin kn x ：弦上各点的振幅分布
(nt n ) ：相位因子
n ：圆频率 n ：初位相
15 南京大学超导电子学研究所
2、波节：振动中始终不动的点称为：
sin kn x 0
ml x , (m 0,1,2,n) n
波腹：而 |un(x,t)| 极大点
X 0 X C0 D0 x
边值
X C0
21 南京大学超导电子学研究所
0 : X C cos x C sin x, 1 2
代边值
C2 0
(C1 sin l C2 cos l ) 0,
0,
C2 0, C1 sin l 0.
12
南京大学超导电子学研究所
即：
nx u |t 0 An sin ( x) l n 1
na nx ut |t 0 Bn sin ( x) l l n 1
其中
2 n An ( ) sin d l 0 l
l
n Bn ( ) sin d na 0 l 2
第一步：泛定方程的分离变量： 考虑如下形式的特解： u( x, t ) X ( x)T (t ),
(8.1.4)
代入方程（8.1.1）：XT ' 'a X ' ' T 0
2
两边同除 a 2 XT
T'' X '' 2 aT X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是 独立变量，故只有两边为同一常数 (-)。 由此得到二个常微分方程：
X ' 'X 0 (8.1.8) X (0) X (l ) 0
(1) 0 :
X ( x) C1e
由边值
x
C2e
x
C1 C2 0, C1e
l
C1 0
l
C2e
0,
C2 0
南京大学超导电子学研究所
6
(2) 0 :
nx X ( x ) C1 cos , (n 0,1,2,) l l
23 南京大学超导电子学研究所
相应的T之方程
T'' 0
解为
及
n a T ' ' T 0 2 l
2 2 2
T0 A0 B0t
na na Tn An cos t Bn sin t l l
本征解为
X ( x) C1 x C2
由边值
(3)
C2 0, C1l C2 0,
C1 0, C2 0,
0:
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值
C1 0 C2 sin l 0
7 南京大学超导电子学研究所
C2 0 无意义 或 sin l 0 要求 l n
第八章分离变数
§8.1 齐次方程的分离变量法 (一) 分离变数法介绍 驻波法
常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界 条件确定待定常数； 偏微分方程：求通解较困难，求得通解定解亦难， 因通解中含有任意函数。因此直接求满足定 解条件的特解。 分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解 常微的问题 偏微分方程 的定解问题
变量能分离的条件 方程及边界条件 必须为齐次的！
◆本征值问题能否
得到完满解决
本课程所得到的本征值 问题均有解，且本征函数 均构成完备正交系。
19 南京大学超导电子学研究所
（二）例题 例1 两端自由杆的纵振动
utt a uxx 0, (0 x l ) (8.1.17)
2
ux |x 0 0,
n 2 , l
2
2
(n 1,2,3, )
最后得到问题的解为：
nx X ( x ) C2 sin x, l 2 2 n 2 , (n 1,2,3, ) l
南京大学超导电子学研究所
8
的取值不是任意的，只能取某些特定的数 值，方程(8.1.8)才有满足条件的非零解。这 些特定的 值称为本征值，(8.1.8)相应的非 零解称为本征函数。求本征值和相应的本征 函数的问题称为本征值问题。
l
南京大学超导电子学研究所
13
解的物理意义
可把 u(x,t) 改写作：
u( x, t ) Cn sin kn x cos(nt n )
其中：
n 1
Cn A B ,
2 n 2 n
Bn n tg , An
1
na n , l
n kn , l
14 南京大学超导电子学研究所
sin kn x 1 x (m 1 / 2)l , (m 0,1,2,n 1)
n
3、满足定解条件的解由各不同频率、不同位相、不同振 幅的驻波叠加而成。其中振幅和位相与初值有关，而 频率与初值无关，故称本征频率或固有频率。
16 南京大学超导电子学研究所
1 0.8 0.6 0.4 n=1
ux |x l 0,
(8.1.18) (8.1.19)
u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ),