数学物理方法第一章

存在，并且与 z 0 的方式无关，则称函数 w=f(z) 在 z 点可导(或单演)，此(有限的)极限称为函数 f(z) 在 z 的导数
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin

z (cos i sin )
z e
i

指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
*
i
iiii)零点与无限远点 复数“零”的模为零，辐角无意义。 无限远点的模为无限大，辐角没有明确意义。
二、复数的运算
d n z nz n 1 dz d ez ez dz d sin z cos z dz d dz cos z sin z d ln z 1 dz z
2、复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，
实质上确有很大的不同。这是因为实变函数 Δx 只能沿 着实轴逼近零，而复变函数 Δz 却可以沿复平面上的任一 曲线逼近零。因此，复变函数可导的要求要严格得多。
讨论：采用复数的三角式和指数式计算更加方便。
z1 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2
z1 1 i (1 2 ) e z2 2
(5) 乘方
z n n (cos n i sin n ) n ein
(6) 开方
d dw dw ( w1 w2 ) 1 2 dz dz dz dw1 dw2 d dz ( w1w2 ) dz w2 w1 dz w 'w w w ' d w1 ( ) 1 2 2 1 2 w2 dz w2 dw dz 1 dw dz d d F dw dz F ( w) dw dz
价。 2、如果 f(z) 在点 z0 点不解析，则称 z0 为 f(z) 的奇点。
二、性质
1、若函数 f(z) = u + iv 在区域 B上解析，则 u(x, y) = C1,
v(x, y) = C2 (C1, C2 为常数)是 B上的两组正交曲线。
2、若函数 f(z) = u + iv 在区域 B上解析，则u，v 均为B上 的调和函数。 调和函数，若某函数 H(x, y)在区域 B上有二阶连续偏导 数，且满足拉普拉斯方程 2 H 0 ，则称 H(x, y)为区域
区域：宗量 z 在复平面上的取值范 围。它是指满足下列两个条件的点 集： 1) 全由内点组成； 2) 具有连通性，即点集中的任意两 点都可以用一条折线连接起来，且
折线上的点全都属于该点集。
常用 B 来表示区域。
闭区域：区域 B 及其边界线所组成的点集称为闭区域。
以 B 来表示。
开区域：不包括边界线的区域。
za
a 为复常数
m 和 n 均为正整数
根式
初等函数：
指数函数：
e z e x iy e x eiy e x (cos y i sin y)
性质：1、周期性 T i2 2、乘法运算 3、无界性
z1 z2
e
z i 2 k
e
z
e e e
z
z1 z 2
lim e z 不存在
设w=f(z)在z0点的某邻域有定义 对于>0，存在>0,使
z z0
有
f ( z ) w0
z z0
称z --> z0时w0为极限，计为
lim f ( z ) w0
注意：z在全平面，z --> z0须以任意方式
若有
z z0
lim f ( z ) f ( z0 )
(1) 加法
y1 y2 y1
y2
y
z1 z2 x1
z1 z2
x
x2 x1 x2
复数 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的和 z1 z2 的定义为
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
讨论：a、满足加法的交换律和结合律 b、两个复数的和对应两个矢量之和。
4、单值性
双曲函数：
1 z z shz (e e ) 2 1 z z chz (e e ) 2
性质：1、sh z 为奇函数，ch z 为偶函数
2、周期性
3、单值性
T i2
对数函数：
ln z ln( z eiArg z ) ln z iArgz
性质：1、多值性。辐角Argz不能唯一地确定，它可以加 减2π的整数倍。 2、当 z 为负数时，
(2) 减法 复数 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的差 z1 z2 的定义为
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
两个复数的差与矢量之差相对应。
(3) 乘法 复数 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的积 z1 z 2 的定义为
称f(z)在z0点连续
z z0
u ( x, y ) u ( x0 , y0 ) v( x, y ) v( x0 , y0 )
1.3 导
一、定义
数
对于单值函数 w，若在 B 上的某点 z ，极限
w f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z
ln z ln( z ei i2n ) ln z i(2n 1)
复变函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y)
u(x, y) 和 v(x, y) 分别是 函数的实部和虚部。
复变函数可以归结为一对二元实变函数。因此，实变函数论 的许多定义、公式、定理都可以直接移植到复变函数论中。
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y1 x2 y1 )
讨论：a、满足乘法的交换律、结合律与分配律；
b、采用复数的三角式和指数式计算更加方便。
z1 z2 12 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )]
z1 z2 1 2ei (1 2 )
n
z (cos
n
2k
2 k
n
n
i sin
2k
n
)

n
e
i
k 0,1,2,, n 1

1.2 复 变 函 数
一、复变函数的定义
若在复平面上(或球面)上存在一个点集 E (复数的集合)， 对于 E 的每一个点(每一个 z 值)，按照一定的规律，有 一个或多个复数值 w 与之相对应，则称 w 为 z 的函数 —
— 复变函数。z 为 w 的宗量，定义域为 E，
记作：
w f ( z )，z E
z0内点
二、区域的概念
边界点 外点
邻域：以 z0 为圆心，以任意小正实数 ε 为半径做一圆，
则圆内所有点的集合称为 z0 的邻域。
内点：若 z0 及其邻域均属于点集 E，则称 z0 为该点集的
内点。
外点：若 z0 及其邻域均不属于点集 E，则称 z0 为该点集 的外点。 边界点：若在 z0 的每个邻域内，既有属于 E 的点，也有 不属于 E 的点，则称 z0 为该点集的边界点。边界点的全 体称为边界线。
数学物理方法
教材： 数学物理方法(第四版)，梁昆淼 编，刘法， 缪国庆 修订，高等教育出版社，2010.
参考书：数学物理方法，胡嗣柱 编著，高等教育
出版社，2002。 数学物理方法，姚端正，梁家宝 编著，科学出版 社，2010。
物理学中的数学方法，主要强调应用数 学解决物理问题。
学时学分： 56学时(4-17周)，3.5学分 成绩评定： 总评成绩 = 期末考试 *70% + 平时成绩 *30%
第四章 留数定理
第五章 傅里叶变换 第六章 拉普拉斯变换
第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理定解问题
第八章 分离变数法
第九章 二阶常微分方程级数法 本征值问题
第十章 球函数
第十一章 柱函数 第十二章 格林函数法
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算 1.2 复变函数 1.3 导数 1.4 解析函数
如果将 x 和 y 当作平面上点的
坐标，复数z就跟平面上的点一 一对应起来，这个平面称为复

数平面，两个坐标分别称为实
轴和虚轴。