第七章-一维波动方程的解题方法及习题答案
数学物理方法课件第七章-----行波法
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
第七章 一维波动方程的傅氏解分析
椭圆型
第七章 一维波动方程的傅氏解
（One dimension wave equation and its Fourier solution）
Ⅰ. 学习要求 1、理解弦振动方程的建立方法 2、理解边值条件的意义 3、理解初值条件的意义 4、理解齐次方程混合问题的傅里叶解的解法 5、理解傅氏解的意义 6、了解其它波动方程的建立 7、理解强迫振动方程的解法
高数知识回顾：
哈密尔顿算子，读作del
gradu u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
iˆ ˆj kˆ x y z
divA A
拉普拉斯算子
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2 x 2
2 y 2
2 x 2
2u 2u 2u x2 y 2
rotA A
绪论
• 常微分方程只能描述质点唯一随时 间的变化而发生改变的规律。
数学物理方程 绪论
知之者，不如好知者， 好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程定义 用数学方程来描述一定的物理现象。
☆ 课程的内容 四种方法、三个方程、二个特殊函数 波动方程、热传导、拉普拉斯方程 分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法 贝赛尔函数、勒让德函数
数学物理方程的三个类型
二阶线性偏微分方程的一般形式
m
2u m
u
i, j1 aij (x) xixj i bi (x) xi c(x)u f (x)
波动方程 输运方程
2u t 2
a2u
f
(x,
y, z,t)
u a2u f (x, y, z,t) t
一维波动方程
a a u 0 x t x t
ut au x v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程 7
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
《偏微分方程教程》
第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
方程(2.1)的特征方程是
dx a dt 0
2 2 2
由此求得特征曲线为
c 其中 1 c2为任意常数. 为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
满足初始条件 u ( x 0) ( x)
ut ( x 0) ( x)
x x ,
(2.2)
其中a 是一个正常数，函数 ( x) C 2 ( x) C1 是定义在区 间
( ) 上的已知函数.
§2 一维波动方程 2
§2 一维波动方程
9
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 u ( ) ( )d 1 ( ) 写成 其中1 ( )是 的任意函数. 若令 2 ( ) ( )d , 上式可
u( ) 1 ( ) 2 ()
其中 x 和 y 都是其变元的任意连续可微函数. 变回到原来的 变量1 和 2 , 便得到方程(2.10)的通解为
x u ( x y ) 1 ( xy ) xy 2 ( ) y
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数1 和 2.首先,容 易得到下面两个等式： 1 ( x) x2 ( x) ( x) (2.15)
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导一维波动方程是描述一维介质中传播的波动现象的数学模型，它可以应用于声波、水波、电磁波等各种波动现象的研究。
其基本假设是介质中的波动是沿着介质传播的。
在推导一维波动方程时，我们需要先建立波动现象的数学模型。
假设介质中的波动是沿着x轴方向传播的，用u(x,t)表示波动处于x 点时的位移量。
我们需要考虑介质中的质点在时间t和t+Δt之间发生的位移量，即Δu(x,t)=u(x,t+Δt)-u(x,t)。
根据牛顿第二定律，质点在单位时间内所受到的合力等于质点的质量乘以加速度。
因此，介质中的质点在时间t和t+Δt之间的加速度可以表示为：a(x,t) = 1/ρ(x) * F(x,t)其中，ρ(x)是介质在x点处的密度，F(x,t)是介质在x点处的作用力。
根据胡克定律，介质中的质点在受到作用力时会发生弹性形变。
弹性形变的大小与作用力成正比，与介质的弹性系数成反比。
因此，介质在x点处的作用力可以表示为：F(x,t) = E(x) * u(x,t)/x其中，E(x)是介质在x点处的弹性系数，u(x,t)/x是介质在x点处的曲率。
将上述两个式子代入到a(x,t)的表达式中，得到：a(x,t) = 1/ρ(x) * E(x) * u(x,t)/x在介质中传播的波动是一种能量传输的过程。
波动在传播过程中，会带动介质中的质点振动，将能量从一个点传递到另一个点。
因此，介质中传播的波动在时间和空间上都是具有连续性的。
由此，我们可以得到波动方程的基本表达式：u(x,t)/t = c * u(x,t)/x其中，c=E/ρ，表示波动在介质中传播的速度的平方。
这就是一维波动方程的基本表达式。
在具体的应用中，我们需要根据不同的介质和波动特性，选择不同的初始条件和边界条件，来求解波动方程。
一维波动方程
对等式(2.6)积分,
得出 F ( x)
G(x)
1
x
( )d c
其中是c任意常数. 由等式(2.5)和(2a.7)0解出和为
(2.6) (2.7)
F(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
2
2a 0
2
G(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
代入(2.4),我们得到 2
2a 0
2
u(xt) 1 [(x at) (x at)] 1
解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线
xy
c1
x y
c2
作自变量变换
xy x
y
y 1, x 0
§2 一维波动方程
8
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
1
2
u
0
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
(2.11)
则方程(2.11)化为
w u
u() ()d 1( )
其中1(是) 的任意函数. 若令
2(),上式(可)d写 成
其中 和 都u是(其变) 元 的1任(意) 连续可2微(函)数. 变回到原来的变
量 和 , 便得x 到方y程(2.10)的通解为
1 2
u(x y) 1(xy)
xy
2
(
x y
)
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 到下面两个等式：
满足初始条件
uut((xx00))((x(x)2).2)
x x
,
其中a是一个正常数，函数 (x) C2是(x定) 义C在1 区间
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导考虑一根无限长的均匀弦，假设它在初始时刻位于平衡位置，即没有形成波形。
现在我们来考虑在弦的一端施加一个力，使得它开始振动。
假设这个力是沿着弦的方向作用的，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到：$F=ma$其中，$F$表示施加在弦上的力，$m$表示弦的质量，$a$表示弦的加速度。
由于我们假设弦是均匀的，因此它的质量可以表示为： $m=rho L$其中，$rho$表示弦的线密度，$L$表示弦的长度。
因此，上面的方程可以表示为：$F=rho La$接下来，我们考虑弦上的一个微元。
假设长度为$Delta x$，质量为$Delta m=rho Delta x$。
由于弦是弹性的，因此它的两端都有一个弹性系数$k$。
我们可以得到以下方程：$F=k(y_{i+1}-y_i)-k(y_i-y_{i-1})$其中，$y_i$表示弦上第$i$个微元的位移。
由于我们正在考虑一个微元，因此可以认为它的质量是恒定的，因此可以将上面的方程表示为：$frac{F}{Delta x}=kfrac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{Deltax^2}$接下来，我们考虑时间的变化。
假设$t$表示时间，$y_i(t)$表示弦上第$i$个微元在$t$时刻的位移。
我们可以得到以下方程： $frac{partial^2y_i}{partialt^2}=frac{k}{rho}frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{Delta x^2}$ 上面的方程就是一维波动方程。
它表示了弦上任意一点在时间上的变化。
我们可以通过这个方程来描述弦的振动情况，并且可以通过数值模拟等方法来求解它的解析解。
7-6-7波动方程和能量1详解
即
驻波方程
振幅为零的位置：波节，对应于
即
结论：凡是 偶数倍处为波腹，奇数倍处为波节
*
（4）驻波的能量：
(a) 质点处于最大位移时，驻波能量为势能，且分布在波节附近；
(b) 质点在平衡位置时，驻波的能量为动能，且分布在波腹附近；
（d）由于驻波是两列振幅相等，方向相反的两列行波合成的，故两列波的平均能流密度相等，方向相反，所以驻波的能流密度为零，即驻波不传播能量。
*
（2）干涉减弱的条件：
A =A1A2
（3） 若1 = 2，则有
干涉加强
干涉减弱
称为波程差。
*
（4）无论是干涉加强还是干涉减弱，该质点仍然是振动的，只是振幅不同而已。但是如果干涉相消，那么该质点是静止不动的。即：
若 A1＝A2时，
A＝0 干涉相消
（5）干涉现象不改变波的能量，只是改变空间的能量分布。干涉加强处能量增加，干涉减弱处能量减少。
又
(2)
*
小 结
一. 平面简谐波的波函数
注意：1. 如波线与x轴的方向一致，x 前取负号， 否则取正号；
2. 坐标原点的选取与波源的位置无关；
3. 当x 一定时，波函数表示了距原点为x 处的质点在不同时刻的位移。即x 处质点的振动方程；
4.当t 一定时，波函数表示了给定时刻Ox轴上各质点的位移分布情况；
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
传播能量
不传播能量
和 同相变化
最大时、 为0
最大时、 为0
*
复变函数第二部分课后答案
⎧ utt = a 2u xx (1 < x < 2, t > 0) ⎪ ⎪ u (0, t ) = u (l , t ) = 0(t ≥ 0) ⎪ (0 ≤ x ≤ 1) ⎧ hx ⎨ ⎪ u ( x, 0) = ⎨ h(2 − x) (1 ≤ x ≤ 2) ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ut ( x, 0) = 0
1
2
解：其付氏解为：
∞ u (r ,θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + B n sin nθ )r n 2 n =1
，
α sin ϕ An = 1 n ∫02π f (ϕ )cos nϕdϕ = 1 2π A cos nϕ dϕ = nA π −α π ∫0 πl 其中：
= 2 A sin nα nπ
u rr + r u r + r uθθ = 0 。
⎧ + 1u + 1 u =0 ⎪u rr r r r 2 θθ ⎪ ⎨ ⎧ A, θ < α , (− π ≤ θ ≤ π ) ⎪u (1,θ ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0, θ ≥ α ⎪ ⎩ ⎩ 2、 求解狄利克雷问题 ， 其中 A，α 为
已知常数。
∞
0
2 ∞ − a 2 µ 2t e π ∫0
sin x π dx = x 2。 sin µ cos( µ x)d µ µ
u ( x, t ) = u (0, 0) =
2 sin µ e0 cos(0) d µ = 1 ∫ π µ ，
即：
2 ∞ sin µ dµ =1 π ∫0 µ
2 ∞ sin x ∫0 x dx = 1 令 x = µ ，则有： π ∞ sin x π dx = ∫ 0 x 2 得证。 即：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源
I．质点力学：牛顿第二定律Fmr
连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v1()0(Euler eq.).urtaurttvtvvpft弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程：
II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,DDElBsEBBBHljDsHjDEuBAuAddddddd满足波动方程。Lorenz力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理
220;0.TkTtDt热传导方程：
扩 散方程：特别: 稳态（0t）:20 (Laplace equation).
IV. 量子力学的薛定谔方程： 22.2uiuVutm
2. 分类 物理过程 方 程 数学分类 振动与波 波动方程222210uuat 双曲线
输运方程 20ukut能量：热传导质量：扩 散 抛物线 稳态方程 Laplace equation20u 椭圆型 二、数理方程的导出
推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立
（一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(txu，从
而速度为tu，加速度为ttu. （2）立假设：①弦振动是微小的，1，因此，sintan，1cos，又tanux
，1xu；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应
力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(txT始终是沿弦的切向 (等价于弦上相互间有小的弹簧相连) ；③所有外力都垂直于x轴，外力线密度为),(txF；④设弦的线密度（细长）为),(tx，重力不计。 （3）取局部：在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质
量微元：xtxd),(；微弧长：xxxuuxsdd1ddd222（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度tx,不随时间变化，另外根据Hooke定律Fkx可知，张力),(txT也不随时间变化，我们把它们分别记为x和)(xT. （4）找作用：找出弦段所受的力。 外力：xtxFd),(，垂直于x轴方向；
张力变化：dcos|cos|(d)()xxxTTTxxTx,x方向紧绷， ddsin|sin|||dxxxxxxxxxxTTTuTuTux,垂直于x轴方向。
（5）列方程：根据牛顿第二定律 0)()d(xTxxT，因x方向无位移，故TxTxxT)()d(. xTuxtxFxTuxtxFxuxxxxxttdd),(dd),(d)(
即，),(txfuTuxxtt，其中),(),(txFtxf是单位质量所受外力。 如果弦是均匀的，即为常数，则可写Ta为弦振动的传播速度，则),(2txfuauxxtt. 自由振动(0f): 20ttxxuau(齐次方程)。 小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为： 22ttuau（齐次方程）
其中a为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f时，其振动微分方程为： 22ttuauf（非齐次方程） 7.1.2 定解问题 第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。 仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。 求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：
泛定方程& 初始条件边界条件定解条件衔接条件自然条件。
1. 初始条件 00(,)()(,)().tttuxtxuxtx
，即已知初位移)(x和初速度)(x
2. 边界条件 i. 第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。 ii. 第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。 自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或xxutult iii. 第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。 弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：(,)(,)000xuthut Note：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。 例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0x和lx固定，用手将弦上的点 (0)xccl拉开使之与平衡位置的偏离为h（lh），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：(0,)0,(,)0utult 由点cx的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：
(0)(,0)()() ()hx xccuxxhlxcxllc， ，
显然，初速度为零：(,0)0tux 第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解 ——分离变量法 本征值问题 Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。 求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。 7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题 分离变量法：把二元函数(,)uxt表示为两个一元函数相乘(,)()()uxtXxTt；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程20ttxxuau，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。 题型I：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件): 2
0000 0,0; 0,(); ().ttxxxxltttuauxluuuxux
注意这里的边界条件。 第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。 设)()(),(tTxXtxu[取此特解形式，可得驻波解：()Tt是振荡函数，而与x无关，()Xx是幅度函数，与t无关],将此)()(),(tTxXtxu代入泛定方程，即得
2()()()().XxTtaXxTt
等式两端除以)()(2tTxXa，就有)()()()(2xXxXtTatT. 注意在这个等式中，左端只是t的函数，与x无关，而右端只是x的函数，与t无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数。令这个常数
为(参数)，即，)()()()(2xXxXtTatT. 由此得到两个常微分方程： 0)()(2tTatT （7.1）
0)()(xXxX （7.2）
第二步，将(,)uxt原来的边界条件转化为()Xx的边界条件。 将此(,)()()uxtXxTt代入边界条件，得0)()0(tTX，0)()(tTlX，转化为()Xx的边界条件： 0)0(X，0)(lX[因为)(tT不可能恒为0，否则),(txu恒为0] （7.3）
这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解)()(),(tTxXtxu，导出了函数)(xX应该满足的常微分方程和边界条件，以及)(tT所满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。 第三步,求解本征值问题
上面得到的函数)(xX的常微分方程定解问题，称为本征值问题。其特点是：常微分方程0)()(xXxX中含有一个待定常数，而定解条件0)0(X，0)(lX是一对齐次边界条件。这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。下面将看到，并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当