高维波动方程的初值问题
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7 高维波动方程求解法2
u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取 就可得到定解问题(iv)的解
T0
d
D
M
3
2016/3/27
1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.
3.2 三维波动方程初值问题
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
科学与工程计算第3章-4
高维一阶双曲型方程组
u u u 设方程： A B 0 t x y T 其中u u1 ,, u p ，A, B为实的 p * p矩阵
如果对所有的 , , 1，有非奇异的矩阵 S 使 S A B S 1为实对角矩阵。
1 若b a，则条件为a r 2
(2) Lax-Wendroff格式：
u u u 设u x , y, t 是 方 程 a b 0的 解 ， 那 么 ： t x y
2u u u a b 2 t x y t
u 维问题
1. 一阶双曲型方程
u u u b 0 a x y 初值问题： t u x, y,0 u x, y , x, y 0 其解为： ux, y, t u0 x at, y bt
一般设 x y h，有：
(3) 分数步长法：
为 放 宽 稳 定 性 条 件 而入 引的 技 巧 。 方法是：
第一步由x方向的差分把 t k 推进到t k ； 2 第二步由y方向的差分把 tk 2 推进到t k＋1。
一般形式： k1 k k 2 u u D u j ,m j ,m 1 j ,m 1 1 k k u k 1 u 2 D u 2 j ,m 2 j ,m j ,m
故有： k 1 k u j ,m Lhu j ,m
1 1 2 2 x x x y [ I r A 0 B 0 r A B 2 y y 2 2 1 2 x y k r AB BA 0 0 ]u j ,m 2
0 0 a B 0 0 0 a 0 0
第二章波动方程资料
注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
数学物理方法三维偏微分方程的初值问题
二、热传导方程初值问题
P159
设L是关于x, y, z的常系数线性偏微分称为齐次,否则为非齐次.它的解为
式中U为基本解:
例3求三维热传导方程Cauchy问题的基本解，即解定解问题
基本解:
定理6三维热传导方程Cauchy问题
的解为
三维偏微分方程的初值问题
一、三维波动方程的初值问题
P92
4.3高维波动方程Cauchy问题
的泊松公式为:
用M'表示以M为球心，at为半径的动点
这就是Poisson公式，它给出三维无界空间齐次波动方程的初值问题的解。公式表明，
t时刻M点的波函数u(M, t)由以M为球心，at为半径的球面 上u的初值决定。同时也显示了初值对M点的影响是以速度a从球面 向M点传播的。
P159
设L是关于x, y, z的常系数线性偏微分称为齐次,否则为非齐次.它的解为
式中U为基本解:
例3求三维热传导方程Cauchy问题的基本解，即解定解问题
基本解:
定理6三维热传导方程Cauchy问题
的解为
三维偏微分方程的初值问题
一、三维波动方程的初值问题
P92
4.3高维波动方程Cauchy问题
的泊松公式为:
用M'表示以M为球心，at为半径的动点
这就是Poisson公式，它给出三维无界空间齐次波动方程的初值问题的解。公式表明，
t时刻M点的波函数u(M, t)由以M为球心，at为半径的球面 上u的初值决定。同时也显示了初值对M点的影响是以速度a从球面 向M点传播的。
第七章 7.2节 球面平均法和泊松公式
1 x at ' 由达朗贝尔公式 ( x, t ', ) x at ' f ( , )d 2a 1 x a (t ) 作代换 ( x, t , ) x a (t ) f ( , )d 2a
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
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u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
ru = f ( r + at ) + g (r − at ),
上式两端分别对 t, r 求导得
(ru ) t = ru t = af ′(r + at ) − ag ′(r − at ),
11
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
∂ r 2 f ′(r ) = ∂r 4πr 2 r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ), u tt dVrM = 4πa 2 r 2 ∂u . ∫∫∫ ∂r VrM
(28)
另一方面， 另一方面，利用
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
u tt dVrM = a 2 ∫∫∫ ∆udVrM = a 2 ∫∫∫ div ∇udVrM ∫∫∫
VrM
2
Ω
Γ
VrM
2
VrM
∂ ∂u =a r u ( M + rω , t )dω = 4πa 2 r 2 . ∫∫ ∂r S M ∂r 1
7
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
M r
(28)
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
u ( M , t ) = 2 f ′(at )
r →0
(29)(30)式中取 在(29)(30)式中取 t = 0 得
(ru ) t |t =0 = af ′(r ) − ag ′(r ),
(ru ) r |t =0 = f ′(r ) + g ′(r ),
10
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 一维波动方程的初值问题 得到了达朗贝尔公式 对于三维波动方程 达朗贝尔公式。 三维波动方程， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 球面平均法形式地推出解的表达式 这表达 形式地推出解的表达式。 用球面平均法形式地推出解的表达式。 式通常被称为基尔霍夫公式 基尔霍夫公式。 式通常被称为基尔霍夫公式。 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在， 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
lim u (r , t ) =
r→0
S1M
1 4π
则在VrM 上的体积分用球坐标可表示为
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
0 M r1 S rM 1
0 S1M
r
r
3
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
dS rM = r 2 sin θdθdϕ ,
dω = sin θdθdϕ ,
dS rM = r 2 dω.
2
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
可写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
Ω Γ
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。
4
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
1
为已知函数。 其中ϕ ( x, y, z ) 与ψ ( x, y, z ) 为已知函数。
≡ ( x, y, z ),
为球心， S rM 表示以 M 为球心，
r 为半径的球面。 球坐标，则球面上的点 为半径的球面。 利用球坐标 利用球坐标，
P ≡ (ξ ,η , ζ ) = ( x + r sin θ cos ϕ , y + r sin θ sin ϕ , z + r cos θ ).
用 ω = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) 表示球面 S rM 的单位 外法向， 外法向，则球面 S rM 上的点可简单记作 M + rω. 也可被看成单位球面上的点。因此， 同时 ω 也可被看成单位球面上的点。因此，我们 也记球面上的微元
(ru ) tt = a 2 (2u r + ru rr )
(ru ) tt = a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为
ru = f (r + at ) + g (r − at ),
为二阶可微函数。 其中 f , g 为二阶可微函数。 + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(ru ) r = u + ru r = f ′(r + at ) + g ′( r − at ),
(29) (30)
上面的两式中， 上面的两式中，令 r → 0, 得
f ′(at ) = g ′(−at ),
u ( M , t ) = lim u (r , t ) = f ′(at ) + g ′(−at )= 2 f ′(at ).
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
(28)
现在引进 u的球面平均数 dS rM = r 2 dω.
1 u (r , t ) ≡ 4πr 2 u ( P, t )dS rM = 1 ∫∫ 4π S rM
∫∫ u (M + rω , t )dω.
S1M
对上式两边对 r 取极限 r → 0, 得
∫∫ u( M , t )dω = u (M , t ). r 此外， 为球心， 为半径的球体， 此外，记 VrM 表示以 M 为球心， 为半径的球体，
0 M r1
S rM 1
0 S1M
r
r
则有
∫∫∫ utt dV
VrM
M r
∂2 = 2 ∂t
∂2 udVrM = 2 ∫∫∫ ∂t VM
r
∫
r
0
dr1 ∫∫ u ( M + r1ω )r12 dω
S1M
∂2 = 4π 2 ∂t
∫
r
0
r12 u (r1 , t )dr1 .
8
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
∫∫ u
S rM
t
|t =0
dS
M r
∂ r = ∂r 4πr 2
r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
M r
在上式中取 r = at 并代入 u ( M , t ) = 2 f ′(at ) 可得
(28)
ru = f ( r + at ) + g (r − at ),
上式两端分别对 t, r 求导得
(ru ) t = ru t = af ′(r + at ) − ag ′(r − at ),
11
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
∂ r 2 f ′(r ) = ∂r 4πr 2 r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ), u tt dVrM = 4πa 2 r 2 ∂u . ∫∫∫ ∂r VrM
(28)
另一方面， 另一方面，利用
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
u tt dVrM = a 2 ∫∫∫ ∆udVrM = a 2 ∫∫∫ div ∇udVrM ∫∫∫
VrM
2
Ω
Γ
VrM
2
VrM
∂ ∂u =a r u ( M + rω , t )dω = 4πa 2 r 2 . ∫∫ ∂r S M ∂r 1
7
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
M r
(28)
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
u ( M , t ) = 2 f ′(at )
r →0
(29)(30)式中取 在(29)(30)式中取 t = 0 得
(ru ) t |t =0 = af ′(r ) − ag ′(r ),
(ru ) r |t =0 = f ′(r ) + g ′(r ),
10
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 一维波动方程的初值问题 得到了达朗贝尔公式 对于三维波动方程 达朗贝尔公式。 三维波动方程， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 球面平均法形式地推出解的表达式 这表达 形式地推出解的表达式。 用球面平均法形式地推出解的表达式。 式通常被称为基尔霍夫公式 基尔霍夫公式。 式通常被称为基尔霍夫公式。 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在， 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
lim u (r , t ) =
r→0
S1M
1 4π
则在VrM 上的体积分用球坐标可表示为
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
0 M r1 S rM 1
0 S1M
r
r
3
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
dS rM = r 2 sin θdθdϕ ,
dω = sin θdθdϕ ,
dS rM = r 2 dω.
2
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
可写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
Ω Γ
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。
4
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
1
为已知函数。 其中ϕ ( x, y, z ) 与ψ ( x, y, z ) 为已知函数。
≡ ( x, y, z ),
为球心， S rM 表示以 M 为球心，
r 为半径的球面。 球坐标，则球面上的点 为半径的球面。 利用球坐标 利用球坐标，
P ≡ (ξ ,η , ζ ) = ( x + r sin θ cos ϕ , y + r sin θ sin ϕ , z + r cos θ ).
用 ω = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) 表示球面 S rM 的单位 外法向， 外法向，则球面 S rM 上的点可简单记作 M + rω. 也可被看成单位球面上的点。因此， 同时 ω 也可被看成单位球面上的点。因此，我们 也记球面上的微元
(ru ) tt = a 2 (2u r + ru rr )
(ru ) tt = a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为
ru = f (r + at ) + g (r − at ),
为二阶可微函数。 其中 f , g 为二阶可微函数。 + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(ru ) r = u + ru r = f ′(r + at ) + g ′( r − at ),
(29) (30)
上面的两式中， 上面的两式中，令 r → 0, 得
f ′(at ) = g ′(−at ),
u ( M , t ) = lim u (r , t ) = f ′(at ) + g ′(−at )= 2 f ′(at ).
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
(28)
现在引进 u的球面平均数 dS rM = r 2 dω.
1 u (r , t ) ≡ 4πr 2 u ( P, t )dS rM = 1 ∫∫ 4π S rM
∫∫ u (M + rω , t )dω.
S1M
对上式两边对 r 取极限 r → 0, 得
∫∫ u( M , t )dω = u (M , t ). r 此外， 为球心， 为半径的球体， 此外，记 VrM 表示以 M 为球心， 为半径的球体，
0 M r1
S rM 1
0 S1M
r
r
则有
∫∫∫ utt dV
VrM
M r
∂2 = 2 ∂t
∂2 udVrM = 2 ∫∫∫ ∂t VM
r
∫
r
0
dr1 ∫∫ u ( M + r1ω )r12 dω
S1M
∂2 = 4π 2 ∂t
∫
r
0
r12 u (r1 , t )dr1 .
8
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
∫∫ u
S rM
t
|t =0
dS
M r
∂ r = ∂r 4πr 2
r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
M r
在上式中取 r = at 并代入 u ( M , t ) = 2 f ′(at ) 可得