6-1一维波动方程的达朗贝尔公式
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学的一个分支，研究的是只依赖于一维自变量的函数和它们的导数。
常微分方程是各个领域中最重要的数学工具之一，广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域。
在解常微分方程时，达朗贝尔公式和Green公式是两个非常重要的公式。
本文将对它们的定义、性质和应用进行详细介绍。
达朗贝尔公式达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）是解一维波动方程（Wave Equation）的经典公式。
一维波动方程是描述一维波动传播的方程，形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$是波函数，$c$是波速，$x$和$t$分别表示空间和时间。
由于常微分方程只有一个自变量，因此我们需要对时间或空间变量进行临时的剖分才能解决这类方程。
达朗贝尔公式给出了波函数在任意时刻和任意位置的解析表达式，形式为：$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y)dy$$其中，$f(x)$是初始波形（Initial Waveform），$g(x)$是初始速度（Initial Velocity），$c$是波速。
这个公式的第一项表示波源在$t=0$时刻释放的波形在$x$处的振幅随时间的变化，第二项表示波源在$t=0$时刻释放的波速在$x$处的振幅随时间的变化。
达朗贝尔公式的一个重要性质是线性叠加性。
如果有多个波源在不同位置、不同时刻释放波形和波速，那么它们的叠加波形可以通过将它们对应的达朗贝尔公式相加而得到。
这样，我们就可以用达朗贝尔公式求解复杂的波动问题。
Green公式Green公式（Green's formula）是解各种常微分方程的一个通用技巧。
第十章波动方程的达朗贝尔解
第十章波动方程的达朗贝尔解(9)一、内容摘要1．行波法达朗贝尔公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。
一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：()()()()()()()20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=； 且解为a α=±。
原方程的通解可以表示为:()()()12,u x t f x at f x at =++-．原方程满足初始条件的特解可以表示为:()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx aϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。
2．行波法要点行波法始原于研究行进波，其解题要领为：（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。
二、习题1．求解初值问题（1）()()()()()2,,,0,;,0cos ,,0 2.,.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==∈-∞∞⎪⎩．（2）()()()()(),0,,,.tt xx u u x t u x x x u x x x ϕψ=-∞<<∞>⎧⎪⎨-==⎪⎩．（3）()()()()22,,,0,;1,00,,0.1+tt xx t u a u x t u x u x x ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==⎪⎩． （4）()()()()()()2,,,0,;,0,,0'.tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=∈-∞∞∈∞⎪⎨==-⎪⎩．2．验证()()(),3u x y x y x y ϕψ=-++是偏微分方程230xx xy yy u u u +-=的解，其中,ϕψ是充分光滑的任意函数。
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
波动方程的达朗贝尔解
简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。
波动方程的达朗贝尔公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是 方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始 函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列 的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是 首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念 的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述 的物理现象更为广泛.
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z +n θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ
数理方程期末试题14~15A(另一版本)
u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解 设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u
∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题
∂u = B ∂x x=0
u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −
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x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
dS 是 是球面 S r 上点的坐标， 积元素。
在球坐标系中，d 显然有
__
M
S rM
d 是单位球面上的面 上的面积元素。
sin d d
dS r 2 d
下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。
2 2u u 2 a t 2 x 2 u t 0 ( x),
u ( x) t t 0
（9.1.8） （9.1.9）
（9.1.7）
将式（9.1.6）中的函数代入式（9.1.7）中，得：
——无限长弦自由振动的D’Alembert（达朗贝尔）公式。6
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
D’Alembert解的物理意义：
（9.1.11）
先讨论初始条件只有初始位移情况下D’Alembert解的物理意义。 此时式（9.1.11）给出
(9.1.3)
(9.1.4)
3
2 2u 2 u a 2 t x 2
(9.1.1)
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 (9.1.3) 2 x x x 2 2 2 2u u u u 2 (9.1.4) a 2 2 2 2 t
其中
f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数。
4
u ( x, t ) f ( ) d f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) （9.1.6）
式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。 在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 f1 与 f 2 的具体形式。 为此，必须考虑定解条件。
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 2 u 1 u 1 2u 1 2u 2 2 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin a t
ut ( x, t ) |t 0 e 1.
解： 本题中
( x) cos x,
( x) e1 ,
直接应用D’Alembert 公式，有：
1 1 x at 1 u ( x, t ) cos( x at ) cos( x at ) e d 2 2a x at cos(at ) cos x t . e
2u u u u u 2u 2u 2u 2 2 2 2 x x x
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 2 t
___
___
16
__
(r at ) 0 (r at ) (at r ) 0 (at r ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d r at 2r 2ar
令
___
___
r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则得到：
2 2
__
__
这是一个关于
r u (r , t ) 的一维波动方程，它的通解为：
r u (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
__
__
其中
f1 , f 2 是两个二次连续可微的任意函数。
由初始条件定得：
1 ___ 1 a ___ f1 (r ) r 0 (r ) 1 ( )d C 2 a 0
对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而 是考虑u在以M(x,y,z)为球心、以r为半径的球面上的平均 值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。
这个平均值可以写成：
__
1 u (r , t ) 4 r 2
1 u( , , , t )dS 4 SM
将 u ( r , t ) 拓广到r<0的范围内，并且使 u (r , t ) u (r , t ) 。
即 u ( r , t ) 是偶函数。
__ __
__ __
___
___
0 ( r ) 与 1 ( r ) 也是偶函数。 同理，
因此，可将上式写成：
__
___
___
(r at ) 0 (r at ) (at r ) 0 (at r ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d 2r 2ar r at
1 ___ 1 a ___ f 2 (r ) r 0 (r ) 1 ( )d C 2 a 0
15
于是
__
(r at ) 0 (r at ) (r at ) 0 (r at ) 1 r at ___ u (r , t ) 1 ( )d r at 2r 2ar
2 (ru ) 1 2 (ru ) 2 2 r a t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1 (r at ) f 2 (r at )
或
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
§ 6.2.2 三维波动方程的Possion公式
f1 ( x) f2 ( x) ( x)
a f1 ( x) a f 2 ( x) ( x)
5
f1 ( x) f2 ( x) ( x)
（9.1.8） （9.1.9）
a f1 ( x) a f 2 ( x) ( x)
式（9.1.9）两端对
1 x f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
就一维波动方程建立通解公式
2 2u 2 u a 2 t x 2
一维波动方程： 作如下的变换：
(6.1.1)
x at (6.1.2) x at u u u u u 利用复合函数微分法则有： x x x
9
*§9.2 三维波动方程的Poisson公式
三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：
2 2 2 2u u u u 2 a ( 2 2 2 ) x, y, z , t 0, 2 t x y z u u t 0 ( x, y, z ), 1 ( x, y, z ). t t 0
第九章 行波法与积分变换 法
李莉 lili66@
1
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示） 行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无 界区域，但对有界区域也能应用
当u不依赖于
,
时，这个方程可简化为：
1 2 u 1 2u r 2 2 2 r r r a t
或写成
2u u r 2u r 2 2 2 2 r r a t
11
2u u r 2u r 2 2 2 2 r r a t 2u u 1 2 (ru ) r 2 2 2 r r a t 2
把确定出来的 f1 ( x), f 2 ( x) 代回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在 条件（9.1.7）下的解：
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
（9.1.11）
1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为：
( x at ) (c a 0) (c)
若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看 到的波形为：
由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的 叠加（相减）给出弦的位移。
综上所述，D’Alembert解表示正行波和反行波的叠加。
8
例1 求解下列初值问题
2 u a uxx 0 tt u ( x, t ) |t 0 cos x,
x , t 0
___ ___ ___
( x at ) (c at at ) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
7
所以 ( x at ) 代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行 波。而第一项 ( x at ) 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波， 称为反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
（9.1.1)化为：
2u 0
（9.1.5）
将式（9.1.5）对
再将此式对 积分，得：
u f ( ) 积分，得：
u ( x, t ) f ( ) d f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) （9.1.6）