一维波动方程
一维波动方程的解
一维波动方程是描述一维波动现象的偏微分方程，其一般形式为：
∂²u/∂t²= c²∂²u/∂x²
其中，u(x,t)是波动的位移或振幅，c是波速。
解一维波动方程的一般步骤是将其转化为一个简单的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通过求解这个方程得到波动的解析表达式。
这里介绍两种求解方法：
分离变量法
假设u(x,t) 可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)，代入原方程得到：
X''(x)/X(x) = (1/c²) T''(t)/T(t)
由于左边的方程只涉及x，右边的方程只涉及t，因此两边必须都等于一个常数k²，即：X''(x)/X(x) = k²
T''(t)/T(t) = k²c²
分别解上面两个方程，得到：
X(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
T(t) = C sin(ckt) + D cos(ckt)
其中，A、B、C、D 是待定常数，可以根据边界条件和初值条件确定。
将上述两个函数代回原方程，得到波动的解析表达式：
u(x,t) = Σ[An sin(nπx/L) + Bn cos(nπx/L)] sin(ncπt/L)
其中，An、Bn 是待定常数，L 是波动区间的长度，n 为正整数。
波动方程
1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu 。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
即如果函数()t x u ,1和()t x u ,2分别是下述初值问题（I ）()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂2.1.....................,:0t 1.1. (022)222x t u x u x u a t u ψϕ和 （II ）()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂===∂∂-∂∂4.1....................................................................0,0:0t 3.1................................................................,22222t u u t x f x u a t u的解，那么()()t x u t x u u ,,21+=就一定是定解问题（1）的解。
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一维波动方程Cauchy 问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到, 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。
对一维波动方程Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。
以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义定义1]1[ 22222(,)(0,0)u u a f x t x l t t x ∂∂-=<<>∂∂， （1.1）其中20(,),(,)T f x t a f x t ρρ==，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。
一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。
因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件]1[。
定义2]1[ 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻0t =的位移和速度：(,0)()(0),(,0)()(0),t u x x x l u x x x l ϕψ=≤≤=≤≤ （1.2）这里(),()x x ϕψ为已知函数。
定义3]1[ 边界条件 一般来说有三种。
（1）已知端点的位移变化，即12(0,)(),(,)()(0)u t g t u l t g t t ==≥ （1.3）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有固定端。
（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即012|(),|()(0),x x l uTg t xu T g t t x==∂-=∂∂=≥∂ （1.4）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有自由端。
一维波动方程推导教学内容
1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示， 由变阻抗处的连续条件可得：
F1 F1 F2 F2 V1 V1 V2 V2
（35）
将式（20）和（24）代入式（35），可得
F1
Z2 Z1 Z1 Z2
F1
2Z1 Z1 Z2
V g cg' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
（21）
上行波引起的桩身应变为
g g '
x
（22）
（21）、（22） 结论：
V c
FEAEAVZV
C
①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致；
②上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。
（23） （24）
3 通过计算可以分离出桩身各截面 上行波和下行波的值，具体如下：
u f '
x
（17） （18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）
V c
（19）
FEAEAVZV
C
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即ux,t gxct
则上行波引起的质点振动速度
(7)
2tu2 c22u22u222u
(8)
将式（5）～式（8）代入式（4）
2u 0
(9)
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u,fg
（10）
ux,tfx ctgxct
（11）
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
设问题的初始位移和初始速度分别为：
一维波动方程的解题方法及习题答案
第二篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程一偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； 4、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律)1、来源 I .质点力学：牛顿第二定律F =mr 连续体力学 II.麦克斯韦方程弹性体力学<(弹性定律)'弦 杆振动：出血力— a 2V 2 u (r , t ) = 0 (波动方程); 膜 0t 2 流体力学：质量守恒律:皿不V ・(p y ) = 0£ d t热力学物态方程：过+ (y -V )y ="p + f = 0 (Euler eq.).d t p JJ D .d c=fffp d i nV- D = p ; J E -d l =JJB -d s nVx E = B ;力B - d c= 0 nV- B = 0; J H - d l DjJ(j + D ) - d s nVx H = j + D . E = -V u , B = Vx A ,u ,A 满足波动方程。
、Lorenz 力公式n 力学方程;制axwell eqsT 电导定律n 电报方程。
IIL 热力学统计物理 热传导方程:以一 k V 2T = 0；特别：稳态(生= 0): V 23 = 0 (Laplace equation). < 八 01 扩散方程:0P - D V 2 p = 0. 、 01 IV.量子力学的薛定谔方程： i 方迦=—疟 V 2 u + Vu .0 01 2 m二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”--- “无理取闹”（物理趣乐）。
一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一维波动方程Cauchy 问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到, 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。
对一维波动方程Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。
以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义定义1]1[ 22222(,)(0,0)u u a f x t x l t t x ∂∂-=<<>∂∂， （1.1）其中20(,),(,)T f x t a f x t ρρ==，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。
一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。
因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件]1[。
定义2]1[ 初始条件 即必须给出弦上各点在初始时刻0t =的位移和速度：(,0)()(0),(,0)()(0),t u x x x l u x x x l ϕψ=≤≤=≤≤ （1.2）这里(),()x x ϕψ为已知函数。
定义3]1[ 边界条件 一般来说有三种。
（1）已知端点的位移变化，即12(0,)(),(,)()(0)u t g t u l t g t t ==≥ （1.3）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有固定端。
（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即012|(),|()(0),x x l uTg t xu T g t t x==∂-=∂∂=≥∂ （1.4）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有自由端。
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
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对等式(2.6)积分,
得出 F ( x)
G(x)
1
x
( )d c
其中是c任意常数. 由等式(2.5)和(2a.7)0解出和为
(2.6) (2.7)
F(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
2
2a 0
2
G(x) 1 (x) 1
x
(
)d
c
代入(2.4),我们得到 2
2a 0
2
u(xt) 1 [(x at) (x at)] 1
解: 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线
xy
c1
x y
c2
作自变量变换
xy x
y
y 1, x 0
§2 一维波动方程
8
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
1
2
u
0
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
(2.11)
则方程(2.11)化为
w u
u() ()d 1( )
其中1(是) 的任意函数. 若令
2(),上式(可)d写 成
其中 和 都u是(其变) 元 的1任(意) 连续可2微(函)数. 变回到原来的变
量 和 , 便得x 到方y程(2.10)的通解为
1 2
u(x y) 1(xy)
xy
2
(
x y
)
(2.14)
下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 到下面两个等式：
满足初始条件
uut((xx00))((x(x)2).2)
x x
,
其中a是一个正常数，函数 (x) C2是(x定) 义C在1 区间
上的(已知函 数.)
§2 一维波动方程
2
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，
这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知,
w
1
2
w
0
(2.12) (2.13)
若把看作参数, 方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程,
其通解可写为
w ()
其中 (是) 的 任意函数. 将此表达式代入方程(2.12), 得
u ()
§2 一维波动方程
9
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对求积分, 便得方程(2.11)的通解
方程(2.1)的特征方程是
dx2 a2dt2 0
由此求得特征曲线为
其中c1 c为2 任意常数.
x at c1 x at c2
为了将方程(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换
x at x at
即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成
u (20.3)
§2 一维波动方程
3
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
数据
与(x) (满x)足不 (等x)式 (x)
sup (x) (x) sup (x) (x)
xR
xR
时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u(x与t) u满(x足 t)
sup u(xt) u(xt)
xR 0t T
§2 一维波动方程
6
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
§2 一维波动方程
1
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程 §2 一维波动方程
2.1. 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问
题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题
utt a2uxx 0 (2.1x) t 0
证:只要取 即 可. 综上所述，C1auTchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的.
另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式
t
a
x
t
a
x
u
0
且令
t
a
x
,
u则可v 以得到如下一阶线性偏微分方程组
uvtt
av(2x .9)0 aux v
按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得
(2.4)
u(xt) F(x at) G(x at)
§2 一维波动方程
4
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和F , 由G等式(2.4)
有
u(x0) F(x) G(x) (x)
(2.5)
ut (x0) aF(x) G(x) (x)
对初值 加上一定的条件.
定理4.3 若 C2 ( ), 则由C1(D’Ale)mbert公式(2.8)表示的 函数 是Cauchyu问(x题t)(2.1), (2.2)解.
证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问题(2.1), (2.2)解的稳定性.
定理4.4 假设对任意给定 的 , 总0 可找到这样的 , 当初始0
xat
( )d
2
2a xat
这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(D’Alembert)公式.
§2 一维波动方程
5
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的 形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要
和1
.首 2先,容易得
1(x) x2(x(2).15)(x)
§2 一维波动方程
10
《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
x 1(x)
x 2
2
(
x)
x
3 2
2(
x)
(
x)
对 x微分(2.15),得
1(x) 2 1 x 2 (x) x 2(x) (x)
用 x乘以上式再与(2.16)相加,得
2(x)
D’Alembert公式(2.8).
§2 一维波动方程
7
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的
Cauchy问题.
例1 求解Cauchy问题
x2uxx y2uyy 0 x 0
u(x1) (x)uy ((x21.1) 0) (x)
其中(x和) 都(x是) 已知函数.
改写(2.3)为
u
0
u
可以看出 不依u赖 于
变 量, 于是有
f ( )
其中 f是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到
u() f ( )d G()
若令 F( ) ,可f 得( )d
F u(其)中 F和( ) 都G是(任) 意的二阶连G
t 续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程x(2.1) 的通解为
1 2x
( x)
1 2
x
3 2
( x)
由此推得
ห้องสมุดไป่ตู้
2
(
x)
1 2
x ( ) d 1
x0
2
x x0
( )
32
d
c
其中 c 为任意常数. 再将 的2 (x表) 达式代入(2.15), 得