扩散方程的三种导出方法
1. 引言
扩散方程是物理中描述液体流动，气流渗透的模型。它和布朗运动有着密切的关系，它的推导对理 解布朗运动这样一个起源于生物学的问题有着重要的意义。推导扩散方程的方法很多，比如大家可以参 考文献[1] [2]，以下我们主要分别从物理学，随机过程以及泛函分析的角度来推导扩散方程。
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DOI: 10.12677/pm.2018.84054 410 理论数学
参考文献
[1] [2] [3] [4] [5] 黄新, 李俊锋. 布朗运动的扩散方程[J]. 湖南城市学院学报, 2010, 19(1): 45-46. 焦潍苹, 李宏亮. 随机行走的扩散方程[J]. 浙江外国语学院学报, 2011(1): 96-99. Brzezniak, Z. and Zastawniak, T. (2005) Basic Stochastic Processes. Springer-Verlag London Limited, London. Rogers, L.C.G. and Williams, D. (2000) Diffusions, Markov Processes and Martingales: Volume 1 (Cambridge Mathematical Library). 2nd Edition, Cambridge University Press, Cambridge. Karlin, S. and Taylor, H.M. (1975) A First Course in Stochastic Processes. 2nd Edition, Academic Press, New York.
Байду номын сангаас
ukξ
( ( m + 1) ∆ ) − ukξ ( m∆ )
(3)
∆ 1 u m∆ ) − 2ukξ ( m∆ ) + u( k −1)ξ ( m∆ ) ( k +1)ξ ( = 2 ∆
式形式变成了(1)式。
现在令 Δ 和 ξ 趋于 0，并且同时让 m 和 k 趋于∞使得 kξ → x 而 m∆ → t 。则 ukξ ( n∆ ) → u ( t , x ) ，那么(3)
∂ u ( t , x ) dx = − ∫∂V F ( t , x ) ⋅ dn = − ∫V ∇ ⋅ F ( t , x ) dx, ∂t ∫V
最后一步用到了散度定理。因为 V 是任意的，我们就导出了扩散方程
∂u 1 ( t , x )= ∇ ⋅ ( a∇u )( t , x ) . ∂t 2
当 a = 1 且 x 为二维向量时，我们得到柯尔莫格洛夫向前方程
摘
要
布朗运动在金融工程、生物医药、物理以及管理科学中都有着重要的应用，而布朗运动又和数学物理中 的扩散方程紧密相关。本文将详细的介绍扩散方程的三种导出方式，也就是从物理、随机以及泛函的角 度导出扩散方程，为大家深入研究布朗运动提供参考。
文章引用: 庄元颖, 李瑞阁, 宋晓. 扩散方程的三种导出方法[J]. 理论数学, 2018, 8(4): 407-410. DOI: 10.12677/pm.2018.84054
Pure Mathematics 理论数学, 2018, 8(4), 407-410 Published Online July 2018 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2018.84054
Three Derivation Methods of Diffusion Equation
Yuanying Zhuang1, Ruige Li1, Xiao Song2
1 2
School of Mathematics and Statistics, Nanyang Institute of Technology, Nanyang Henan School of Computer and Information Engineering, Nanyang Normal University, Nanyang Henan
1 F (t, x ) = − a∇u ( t , x ) 2
这里 F ( t , x ) 反映出染料净流的方向和强度，a 为扩散系数， ∇ 为梯度算子。这样，垂直于扩散方向的单 位向量 n 的流量就为 F ( t , x ) ⋅ n 。 现在我们考虑环绕点 x 的任意体积 V，那么在体积 V 中的染料粒子 数为 ∫ u ( t , x ) dx 。在体积 V 中染 V 料粒子数的变化率
对上式分部积分，我们得到(1)式。
5. 结论
本文介绍了三种从不同角度推导扩散过程的方法，利用物理学，随机过程及泛函分析的方法揭示了 布朗运动和扩散方法的关系，为随机方程理论在金融工程、生物医药等方面的应用奠定了坚实的理论基 础。
基金项目
国 家 自 然 科 学 基 金 — — 河 南 省 联 合 基 金 资 助 (U1504605) 。 南 阳 理 工 学 院 引 进 人 才 基 金 资 助 (030/510037)。
庄元颖 等
关键词
布朗运动，扩散方程，泛函
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
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= Γ lim
s →0
1 ( us − I ) s 1 ( ut f − f ) t
是 ( ut )t ≥0 的生成元，其中 I 是单位算子。对于合适的 f，我们定义 Γf 为
= Γf lim
t →0
实际上，如果 f ∈ Cb2 ( R ) ，也就是 f 的二阶导数有界，那么
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2. 物理上的推导
考虑某种物质在一种介质中的扩散现象，比如染料在水或者水晶中的扩散。我们还假设介质初始状 态是各向同性的，也就是说，介质具有没有特定方向且在空间里面是均匀的。现在考虑与染料分子运动 方向垂直的一个平面，该平面被染料分子从平面的一面到另一面持续的穿过。如果平面左边的浓度高于 右边，将会有更多的染料粒子，也就是有染料粒子净流从左边流向右边。两边的浓度差越高，就会有更 多的染料粒子从左边流向右边。反向亦然。 不妨将 u ( t , x ) 记作染料在时间 t 的所处位置 x = ( x1 , x2 , x3 ) 的浓度， 根据菲克定律， 单位时间粒子流通 过与粒子流运动方向垂直平面的单位截面积的向量场为
1 ∂ ut ( x, y ) = ∆ y ut ( x, y ) . 2 ∂t
其中， ut ( x, y ) =
1 2 πt e
−
(1)
( x − y )2
2t
为布朗运动的转移密度方程。
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理论数学
庄元颖 等
3. 随机过程上的推导
以下的推导我们需要用到切普曼–柯尔莫格洛夫方程和离散性的随机行走的知识，见参考文献[3]。 第 k 步的概率。由切普曼–柯尔莫格洛夫方程，我们得到 我们现在考虑整点的一维对称随机行走。令 uk ( m ) 表示随机行走从原点出发在时刻 m 到达原点右边
4. 泛函分析上的推导
以下用到泛函分析和马氏过程的知识大家见参考文献[4] [5]。 我们先通过上面提到的布朗运动的转移密度方程构造转移密度半群 ( ut )t ≥0 定义如下
x ∫− x ut ( x, y ) f ( y ) dy, ( t > 0 ) ut f ( x ) = (t = 0) f ( x),
Keywords
Brownian Motion, Diffusion Equation, Functional
扩散方程的三种导出方法
庄元颖1，李瑞阁1，宋
1 2
晓2
南阳理工学院数学与统计学院，河南 南阳 南阳师范学院计算机与信息工程学院，河南 南阳
收稿日期：2018年6月25日；录用日期：2018年7月10日；发布日期：2018年7月17日
uk ( = m + 1)
由此得到
1 1 uk +1 ( m ) + uk −1 ( m ) 2 2 1 uk +1 ( m ) − 2uk ( m ) + uk −1 ( m ) 2
uk ( m + 1) −= uk ( m )
(2)
上式左边是时间导数的离散化，而右边是空间二阶导数的离散化的一半。通过两边取极限，把两次 位移间的时间缩短到 0，同时位移步数也缩短到 0，我们就可以从(2)式过渡到(1)式，也就是说，假设两 次位移间的时长为 Δ，并且每步的长度为 ξ，那么(2)变为
∞
(
)
− 2 dy e 2π
y2
(
t
)
上式中我们用到了泰勒公式。由上式我们得到布朗运动的生成元是
Γ= 1 d2 , 2 dx 2
至少在 Cb2 ( R ) 的意义下。从(5)我们发现，对于 f ∈ Cb2 ( R ) ，
∂ 1 Γt f ′′ ( x ) , ut f ( x ) = ut Γf ( x ) = ∂t 2
我们可以验证 ( ut )t ≥0 是一个半群：
扩散系数方程
扩散系数方程摘要：一、扩散系数的定义与性质1.扩散系数的含义2.扩散系数的性质二、扩散系数的计算方法1.菲克定律2.莫根堡公式3.斯托克斯公式三、扩散系数在实际应用中的意义1.在生物学中的应用2.在物理学中的应用3.在化学中的应用四、扩散系数与相关概念的区分1.扩散系数与扩散速度2.扩散系数与扩散常数3.扩散系数与浓度梯度正文：扩散系数是一个描述物质在介质中扩散过程的物理量，它在不同学科中有广泛的应用。
本文将对扩散系数的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的意义进行详细阐述。
一、扩散系数的定义与性质1.扩散系数的含义扩散系数是指单位时间内，物质通过扩散过程在单位面积上的物质的量。
扩散系数是一个无量纲的量，它反映了物质在介质中扩散的快慢程度。
2.扩散系数的性质扩散系数的值取决于物质的性质、温度、压力以及介质的几何形状等因素。
在不同的条件下，扩散系数的值会有所不同。
二、扩散系数的计算方法1.菲克定律菲克定律是一种常用的计算扩散系数的方法，它表示物质的扩散量与扩散系数成正比，与扩散面积成反比。
菲克定律的数学表达式为：J = D * (C)。
其中，J 是扩散量，D 是扩散系数，C 是浓度梯度。
2.莫根堡公式莫根堡公式是另一种计算扩散系数的方法，它主要用于计算在球对称条件下的扩散系数。
莫根堡公式的数学表达式为：D = k * (1 / r^2)。
其中，k 是扩散系数，r 是距离。
3.斯托克斯公式斯托克斯公式是计算扩散系数的一种更一般的方法，它可以用于计算任意形状的介质中的扩散系数。
斯托克斯公式的数学表达式为：D = (k * C) / (1 -(C)^2)。
其中，k 是扩散系数，C 是浓度梯度的二阶梯度算子。
三、扩散系数在实际应用中的意义1.在生物学中的应用在生物学中，扩散系数被用来研究生物分子在细胞内的扩散过程，这对于理解生命现象有着重要的意义。
2.在物理学中的应用在物理学中，扩散系数被用来研究气体和液体的扩散现象，这对于理解热传导和质量传输等过程有着重要的作用。
对流扩散方程的数值方法
对流扩散方程的数值方法流扩散方程是描述物质在流动中同时进行的扩散过程的方程。
在很多科学和工程领域，如物理、化学、生物学等，流扩散方程都具有重要的应用。
为了解决流扩散方程，在数值计算中可以采用不同的数值方法。
本文将介绍几种常用的数值方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限差分法是一种常用且简单的数值方法，可用于解决流扩散方程。
它将空间和时间离散化，并采用中心差分近似来计算偏导数。
通过将方程离散化为代数方程组，可以使用迭代方法（如雅可比方法、高斯-赛德尔方法等）求解。
有限差分法的主要优点是简单易行，且可以方便地处理复杂的边界条件。
然而，它在处理不规则边界和复杂的时间变化时可能会出现精度问题。
有限元法是一种更加灵活和通用的数值方法，可用于解决流扩散方程。
它将连续的空间和时间域划分为离散的小单元，并利用有限元近似来计算解。
有限元法的优点是适用于各种不规则边界和复杂的几何结构，且能够提供更高的精度。
它通常使用高阶基函数来提高数值解的精确度，但计算复杂度较高，并且需要额外的后处理步骤来获得所需的物理量。
谱方法是一种基于傅里叶级数和函数的展开来计算数值解的方法，也适用于解决流扩散方程。
它使用特殊类的基函数（如傅里叶基函数或Chebyshev基函数）来表示解，并利用傅里叶级数的收敛性和高精度的性质来求解偏微分方程。
谱方法的优点是能够提供非常高的精度，并且适用于各种边界条件和几何结构。
但是，谱方法通常对于非线性问题的数值求解比较困难，且需要合适的扩展性来处理大规模问题。
对于流扩散方程的数值方法，除了上述几种常见的方法外，还有其他一些方法如交替方向隐式方法（ADI方法）和双曲正切方法（双曲正切线性增量法）等。
这些方法在特定情况下可能更适用于一些问题，但在一般情况下，有限差分法、有限元法和谱方法是流扩散方程数值计算的主要选择。
在选择数值方法时，需要综合考虑问题的特点和要求。
有限差分法适用于简单的几何结构和边界条件，有限元法适用于复杂的几何结构和边界条件，谱方法适用于需要高精度和快速收敛的问题。
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解
《流体力学中的湍流扩散方程解析解》
一、什么是湍流扩散方程？
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程，是一种常用的偏微分方程。
它是一种描述在空间中湍流的扩散过程的数学方程，其目的是描述物质和能量在湍流中的传播。
二、湍流扩散方程的公式：
湍流扩散方程的公式为：
∂C/∂t = D∇2C
左侧的第一项是物质的局部变化率，t 代表时间；右侧的第一项用来描述物质在空间中的传播，D 为扩散系数，∇2C 为Laplace 算子。
三、湍流扩散方程的解析解：
1.快速波动方法：即快速 Fourier 过程，是一种快速处理湍流扩散方程的方法，其大致操作是用离散傅立叶变换把扩散方程转化为一个秩为 0
的傅立叶方程，然后使用傅立叶级数解决得出结果；
2.有限差分方法：给定的湍流扩散方程先采用有限的体积分解，即在时间及空间的二维平面上将扩散方程的计算区域划分成均匀的小单元，然后在每个区间内建立一个线性的有限差分矩阵，把扩散方程就变为简单的线性方程组；
3.格式方法：即 Finite Element 方法，用此方法可以把湍流扩散方程从不同的坐标方程中任意变换到球形坐标系，然后用有限元计算机程序解决；
4.积分方法：则是用数值积分的方法解决湍流扩散方程，包括 Runge-Kutta 方法、Adams 方法及其它积分的方法。
四、总结
湍流扩散方程是描述物理流体扩散过程的数学模型，是由流体力学中的湍流动力学概念推导出来的一种方程。
解决该方程有几种方法，即快速波动方法、有限差分方法、格式方法及积分方法。
以上是关于湍流扩散方程解析解的相关介绍，希望能够帮助到大家。
分数阶扩散方程的几种数值解法
分数阶扩散方程的几种数值解法分数阶扩散方程是一类常见的偏微分方程，它在多个科学领域都有广泛的应用。
为了求解分数阶扩散方程，我们需要借助数值解法。
本文将介绍几种常用的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法。
1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值解法，通过离散化分数阶导数，将分数阶扩散方程转化为常微分方程组。
在有限差分法中，我们将空间区域划分为若干个网格点，将时间区域划分为若干个时间步长。
通过近似计算分数阶导数，可以得到离散的差分方程，进而求解分数阶扩散方程的数值解。
2. 有限元法有限元法是一种广泛应用的数值解法，它将分数阶扩散方程离散为一组代数方程。
在有限元法中，我们将空间区域划分为若干个小区域，称为单元。
通过构建适当的试验函数空间，将分数阶扩散方程变换为一组线性代数方程。
通过求解这组方程，可以得到分数阶扩散方程的数值解。
3. 谱方法谱方法是一种基于特殊函数的数值解法，适用于求解高精度的分数阶扩散方程。
在谱方法中，我们选择一组适当的正交基函数，如Legendre多项式或Chebyshev多项式作为试验函数。
通过投影法将分数阶扩散方程投影到这组基函数上，得到一组代数方程。
通过求解这组方程，可以得到分数阶扩散方程的数值解。
这几种数值解法各有特点，适用于不同类型的分数阶扩散方程。
有限差分法简单易实现，适用于一般的分数阶扩散方程。
有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于复杂的分数阶扩散方程。
谱方法具有极高的精度和收敛速度，适用于求解高精度要求的分数阶扩散方程。
除了这几种数值解法外，还有其他一些方法，如拉格朗日插值法、变分法等。
不同的数值解法适用于不同的问题和求解精度要求。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值解法。
此外，还需要注意数值方法的稳定性和收敛性，以确保数值解的准确性和可靠性。
分数阶扩散方程的数值解法有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值解法各有特点，适用于不同类型和精度要求的分数阶扩散方程。
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
扩散问题的偏微分方程
随着经济发展和城市化进程的加速，污染成为了一个不可忽视的问题，而土壤重金属污染更是主要污染之一，城市土壤作为城市生态系统的有机组成之一，和人类的健康、生活息息相关。
1953年首先在日本九州熊本县水俣镇发生水俣病以及发生在日本富山县神通川流域部分镉污染地区的骨痛病便是由重金属汞与镉污染所引发的。
目前我国工业仍在高速发展中，因此，对重金属污染的防治不可忽视，而当今国际社会上所通用的治理重金属污染的方法（工程治理、生物治理、化学治理、农业治理）均治标不治本，因此确定污染源，从源头上预防解决污染问题方为上策。
考虑到土壤中重金属污染的存在形式是重金属离子，会溶解在水中转移，并且重金属离子存在与土壤胶体存在吸附和转化作用以及溶解和沉淀作用，因此，我们引进了扩散问题的偏微分方程模型，如下：抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种重金属的浓度，任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 时刻到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )t t tSx x uM a a b c dSdt x y zβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰ 由高斯公式得2222221222()t ttu u u M a b c dxdydz x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰ （1） 其中，2a ，2b ，2c 分别是沿x ，y ，z 方向的扩散系数。
由于衰减（例如吸附、代谢等），Ω内的质量减少为22t t tM k udxdydzdt +∆Ω=⎰⎰⎰⎰ （2） 其中2k 为衰减系数。
由于无知不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -换一种角度看，Ω内由于浓度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]t ttM u x y z t t u x y z t dxdydzudxdydzdt t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）显然312M M M =-，即2222222222()t ttt ttudxdydzdt t u u u a b c k u dxdydzdt x y z+∆Ω=∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于t ∆，t ，Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（4）是常数系数抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型。
湍流扩散理论
or
SMOKE
PAVE
/ asmdnerl/models3/
扩散统计理论导出的正态分布假设下的扩散模式：
（1）坐标系
坐标系取排放点（无界源、地面源或高架源排放点）在地面的 投影点为原点，主风向为x轴，y轴在水平面内垂直于x轴，正方 向在x轴的左侧，z轴垂直于水平面，向上为正，即右手坐标系。
中尺度（特征尺度100－103公里） 受流体动力学效应及地表能量收支非均匀性 ，局地－区域尺 度的大气扩散由中尺度大气过程控制
小尺度 （特征尺度小于100公里） 流场非常复杂 ，局地尺度的大气扩散受小尺度大气过程的支 配。
空气质量模式的概念
以数学方法定量描述大气中污染物从源到
接受点所经历的全过程的一种手段或工具
城市空气质量模式的发展
第一代模式
Gaussian Dispersion Model Photochemical Box Model
ISC3, CALPUFF, AERMOD
(for primary pollutants)
OZIP/EKMA
(for ozone)
/scram001/tt22.htm
湍流扩散理论
大气污染物的扩散主要依赖湍流
若只有风而无湍流，从烟囱里排出的废气像一条
“烟管” 保持着同样粗细，吹向下方，很少扩散
不同尺度湍流对烟团扩散的影响
湍流强度的表示方法
描述湍流运动的两种方法
如Hale Waihona Puke CMAQ模式如：hysplit 后向轨迹模式
三种湍流扩散理论——1）梯度输送理论
三种湍流扩散理论——2）湍流统计理论
空气质量模式的发展历程
第二代：加入了较复杂的气象模式和非线性反应机制、 干湿沉降；
扩散方程是一类
扩散方程是一类偏微分方程, 用来描述扩散现象中的物质密度的变化. 通常也用来和扩散类似的现象, 例如在群体遗传学中等位基因在群体中的扩散.扩散方程通常写作:其中是扩散中的物质在时刻,位于处的密度; 是密度在处的扩散系数.如果滤波系数依赖于密度那么方程是非线性的, 否则是线性的. 如果是常数, 那么方程退化为下面的线性方程(热传导方程):更一般的, 当D是对称正定矩阵时, 方程描述的是各向异性扩散。
此时方程的三维形式是:方程的导出[编辑]扩散方程可以直接由连续性方程导出. 连续性方程系统中任何部分的密度变化取决于流入和流出该部分的物质. 也就是说, 没有物质被创造, 也没有物质被消灭:,其中是流出的扩散物质. 结合菲克第一定律扩散方程可以轻易的导出,菲克第一定律假定系统中任何部分流出的扩散物质与局部的密度梯度成比例:.早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。
这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： (1)式（1）中, D称为扩散系数(m²/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m³或kg/m³)，dC/dx为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。
扩散通量J的单位是kg / m^2·s。
扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。
对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10m^2/s数量级。
菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散菲克第一定律只适应于和J不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见下图）。
扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u uM a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰，（2） 其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4） 方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-， 其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8） 2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11） ()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)n f x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14） 7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--=F （16） [()] 1.x δ=F （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （18） 9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--==F F （19） 11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+-F F F （20）从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==F ， 由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂F F F 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---=F F F F 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-F，由于212214[]a xa e λ---=F ，211021240[]()i x e aa ex x λλ----=-F ， 故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t ux x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭F2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24） 如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m 取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++ 2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25） 令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++， （26）而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n = 的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++， （27） 其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+-， （28） 由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+-. （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30） 又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k w w t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31） 对（31）关于t 从０到+∞积分得t t t k vw wh+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z =(,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=， （33） 其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=， （34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-， （35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则 222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭， 于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪⎨⎪⎩ ，（36）（36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参 考 文 献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。
时滞反应扩散方程与上下解方法
时滞反应扩散方程与上下解方法内容简介在生物学、物理学、化学、经济学及各种工程问题中提出的大量的时滞反应扩散问题，近二十年来，日益受到广大科技工作者的重视。
本书在作者多年研究的基础上,详细地阐述与这些问题相关的最新研究成果。
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本书论证严谨，深入浅出，有一定的自封性，能把读者较快地带到时滞反应扩散方程的各种问题的研究前沿。
[1]图书目录前言第1章上下解方法的理论基础1.1时滞反应扩散方程概述1.2 Ascoli—Arzela定理1.3几个不动点定理1.3.1 Banach压缩映像原理1.3.2 Brouwer不动点定理1.3.3 Schauder不动点定理1.4上下解方法基础1.4.1锥理论与半序方法1.4.2增算子与上下解方法1.4.3抛物型方程的最大值原理第2章行波解的存在唯一性2.1引言2.2扩散时滞模型波前解的存在性2.2.1 Cui—Lawson扩散时滞模型2.2.2时滞竞争Lotka—Voiterra扩散模型2.3时滞反应扩散方程组的行波解2.3.1预备知识2.3.2主要结果及证明2.3.3应用举例第3章平衡解的存在稳定性3.1具连续时滞的三种群互助模型3.1.1 引言3.1.2预备知识3.1.3主要结果及证明3.2具连续及离散时滞的三种群互助模型3.2.1模型介绍3.2.2预备知识3.2.3正平衡解的渐近稳定性第4章周期解与概周期解的存在唯一性及稳定性4.1时滞反应扩散方程组的周期解的存在唯一性4.1.1引言及预备知识4.1.2主要结果4.1.3应用举例4.2非单调时滞反应扩散方程的周期解和概周期解4.2.1引言4.2.2基本准备4.2.3方程情形解的存在唯一性定理4.2.4方程组情形解的存在唯一性定理4.2.5应用举例第5章平衡解的振动性及解的动力学行为5.1时滞反应扩散方程平衡解的振动性5.1.1引言5.1.2 预备知识5.1.3主要结果5.1.4应用举例5.2具有阶段结构及时滞的捕食与被捕食模型的动力学行为5.2.1引言及预备知识5.2.2解的存在唯一性5.2.3平衡解的局部稳定性5.2.4平衡解的全局稳定性5.3具有阶段结构及时滞的三种群食物链模型的动力学行为5.3.1预备知识5.3.2解的存在唯一性5.3.3解的渐近行为第6章具放牧率的多种群反应扩散模型的概周期解6.1具放牧率的多种群竞争扩散模型的概周期6.1.1引言6.1.2模型描述与预备知识6.1.3主要结果及证明6.1.4n种群竞争系统描述及预备知识6.1.5N种群竞争系统的主要结果及证明6.2具放牧率的三种群捕食一被捕食扩散模型的概周期解6.2.1引言6.2.2具有放牧率及扩散的捕食模型描述6.2.3预备知识6.2.4三种群捕食模型的主要结果及证明第7章奇异摄动问题的渐近性态7.1三种群食物链模型的奇异摄动7.1.1引言7.1.2预备知识7.1.3主要结果7.2非线性扩散系统的奇摄动问题7.2.1引言及预备知识7.2.2主要结果及证明7.3非线性奇摄动方程组的渐近性态7.3.1引言及预备知识7.3.2主要结果及证明参考文献索引。