第三章一维扩散方程讲义
材料化学动力学 扩散
c
9.431019
11019 (m3 )
4107 7 107
对二定律的评价：
(1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数， 但没有给出D与结构的明确关系；
(2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以 外的一切影响扩散的因素都包括在扩散系 数之中，而未赋予其明确的物理意义；
(3)研究的是一种质点的扩散(自扩散)；
A、 无规则行走扩散 模型： 1、 不论浓度或浓度梯度怎样，在单位时间内，每个原子向左边或
向右边跃迁的几率相等；
2、 原子的跃迁是独立的，互不相关的；
D 2 / 6 1 f r2
6
在固体介质中，作无规则布朗运动的大量质点的扩散系数决定于 质点的有效跃迁频率和迁移自由程平方的乘积。
扩散的布朗运动理论确定了菲克定律中扩散系数的物理含义, 为从微观角度研究扩散系数奠定了物理基础。
1.恒定源扩散 以一维扩散为例，讨论两种边界条件，扩散动力
学方程的解，如图：
初始条件：t=0， x ≥0，c(x,o)= 0
边界条件：t＞0，x=0， c(x,0)= C0
用菲克第二定律： C 2C 引入新变量： u x
则有：
D t x2
t
C t
C . u u t
C u
x . 2t 32
dc . u du 2t
对于理想混合体系，活度系数
D* i
自扩散系数
i 1 ；
Di
D* i
RTBi
Di组分i的分扩散系数，或本征扩散系数
1
Ln i
LnN i
0此时Di
0，即从高浓度
低浓度扩散，属正扩散，
结果：使溶质趋于均化。
1
Ln i
爱恩斯坦一维扩散公式
f ( )d
e2Dt cos cosx sin sin xd
2
1
f ( )d
e 2Dt cos( x)d
2
(11)
1
f ( )d
e2Dt cos( x)d
0
• 利用下列公式改写式（11）
e 2 2 cos d e 2 / 4 2
0
2
得
c(x,t)
f ( )
d f ( ) cos( x)d
2
(9)
1
2
c osx
f ( ) cosd sin x
f
(
)
s
in
d
d
• 比较 (8) 和 (9) 式，得
A() 1
f ( ) cosd
2
(10)
B() 1
f ( ) sin d
2
• 将 (10) 代入 (7) ，得
c(x,t) 1
2
1
Dt
exp
( x)2
4Dt
d
(12)
• δ 函数有如下性质
g(x) (x)dx g(0)
(13)
• 又因为 f (x) = m δ (x)，由此可将式（12）改写成如下形式
c(x, t)
m (x)
2
1
Dt
exp
( x)2
4Dt
d
m
x2
c
2(Dt)1/ 2
exp
4Dt
(14)
爱恩斯坦一维扩散公式的推导
• 扩散方程
x 2C t D x2
1
若 t=0 ( 刚进样瞬间 )时，柱内组分浓度分布为初始条件：
• 初始条件 c to f x
一维扩散方程 自相似解
一维扩散方程自相似解一维扩散方程是描述物质在空间中扩散传播的方程。
它在许多物理和工程领域中都有广泛的应用，例如热传导、扩散过程中的物质浓度变化等。
一维扩散方程的自相似解是指在特定的条件下，方程的解在空间和时间上具有相似性。
先来看一维扩散方程的一般形式：∂u/∂t = D ∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示扩散物质在时刻t、位置x处的浓度或温度；D 是扩散系数，反映了传导介质的特性。
对于自相似解，我们希望找到一种特殊的解形式，使得在空间和时间上，解在不同位置和不同时刻具有相似的形态。
为了得到自相似解，我们将引入相似变换。
假设我们有一个自变量变换：x' = x/√(Dt)，t' = t/√(Dt)，其中D是扩散系数。
通过这个变换，我们可以将原方程变为：∂u/∂t' = ∂²u/∂x'²接下来，我们将应用这个相似变换，来找到一维扩散方程的自相似解。
首先，我们将把扩散方程作为自变量进行变换：u(x,t) = U(x',t')将自变量变换带入一维扩散方程：∂U/∂t' = ∂²U/∂x'²接下来，我们对新的变量x'和t'进行求导，以确定新的依赖关系：∂u/∂x = ∂U/∂x' * ∂x'/∂x + ∂U/∂t' * ∂t'/∂x∂u/∂t = ∂U/∂x' * ∂x'/∂t + ∂U/∂t' * ∂t'/∂t在相似变换中，∂x'/∂x = 1/√(Dt)，∂t'/∂x = 0，∂x'/∂t = 0，∂t'/∂t = 1/√(Dt)，将这些值带入方程，可得：∂u/∂x = (1/√(Dt)) * ∂U/∂x'∂u/∂t = (1/√(Dt)) * ∂U/∂t'将这些结果代入一维扩散方程，有：(1/√(Dt)) * ∂U/∂t' = (1/√(Dt)) * ∂²U/∂x'²可以发现，新的方程中√(Dt)这一项在两边都能够相互抵消。
第三章 扩散
22
2. 结深 如果扩散杂质与硅衬底原有杂质的导电类型不同，在两 种杂质浓度相等处会形成p-n结。 若CB为硅衬底原有的背景杂质浓度，根据C(xj, t)=CB，得 到结的位置xj：
CB x j = 2 Dt erfc = A Dt Cs
−1
其中A是仅与CS/CB有关的常数，二者的关系如下图所示。 xj与扩散系数D和扩散时间t的平方根成正比； D与温度T是指数关系，所以在扩散过程中，温度对扩散深 度和杂质分布的影响较大。
C (0, t ) = Cs
假定杂质在硅内的扩散深度远小于硅片的厚度，则另一个边界 条件为：
19
C (∞, t ) = 0
在扩散开始时，初始条件应为：
C ( x,0) = 0,
x>0
根据上述的边界条件和初始条件，可求出恒定表面源扩散的杂 质分布情况：
x x C ( x, t ) = Cs 1 − erfc = Cs erfc 2 Dt 2 Dt
16
假设在小体积元∆v=∆x∆s内的杂质分布是均匀的。 在t时刻，体积元内的杂质浓度为C(x, t)，在t+∆t时刻杂质浓 度为C(x, t+∆t) 。经过∆t时间，该体积元内杂质变化量为
C ( x, t )∆s∆x − C ( x, t + ∆t )∆s∆x = −[C ( x, t + ∆t ) − C ( x, t )]∆s∆x
∂C ( x, t ) J = −D ∂x
扩散流密度 J 定义为单位时间通过单位面积的杂质(粒子)数。 11
D是扩散系数，D的单位为cm2/s。 杂质的扩散方向是使杂质浓度梯度变小。如果扩散时间足 够长，则杂质分布逐渐变得均匀。 当浓度梯度变小时，扩散减缓。 D依赖于扩散温度、杂质的类型以及杂质浓度等。
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算一维扩散方程是描述物质在一维空间中扩散过程的方程。
数值计算是一种近似求解微分方程的方法，可以通过离散化空间和时间来求解一维扩散方程。
本文将介绍一维扩散方程差分格式的数值计算方法，并给出一个具体的数值计算实例。
∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
差分格式的基本思想是将连续的时间和空间变量离散化为一系列有限的点，然后用离散化后的点代替原方程中的连续变量，从而得到一个差分方程。
一维扩散方程的差分格式数值计算方法有很多种，下面介绍两种基本的差分格式：显式差分格式和隐式差分格式。
1.显式差分格式：显式差分格式的基本思路是使用当前时间步的解来计算下一个时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：(u_i)_(n+1)=(u_i)_n+D*(∆t/∆x²)*((u_(i-1))_n-2(u_i)_n+(u_(i+1))_n)其中，(u_i)_(n+1)表示时间步n+1时刻、位置i处的扩散物质浓度。
该公式使用当前时间步n的解来逐点计算下一个时间步n+1的解。
2.隐式差分格式：隐式差分格式的基本思路是使用下一个时间步的解来计算当前时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：((u_i)_(n+1)-(u_i)_n)/∆t=D*(∆x²)*((u_(i-1))_(n+1)-2(u_i)_(n+1)+(u_(i+1))_(n+1))这是一个关于时间步n+1的隐式方程，需要使用迭代方法求解。
数值计算的实例：假设在一根长为L的杆上有一种扩散物质，杆的两端固定浓度为0，即u(0, t) = u(L, t) = 0；初始时刻杆上的浓度分布为一个正弦函数，即u(x, 0) = sin(πx/L)；扩散系数为D。
我们需要计算杆上扩散物质的浓度随时间的变化情况。
首先，选择合适的网格间距∆x和时间步长∆t。
然后将杆上的空间坐标和时间离散化为一系列点，得到网格。
一维扩散偏微分方程
一维扩散偏微分方程一维扩散偏微分方程（PDE）是一类常见的微分方程，它表达了某种物理现象的变化。
举个例子，它可以用来描述热的传导、浓度的变化、电场的强度以及气体的压力等等。
PDES 的形式可以用更抽象的方法表达，可以为应用程序设计者提供更多的自由度。
一维扩散偏微分方程的形式可以用通用的微积分方式来描述，其基本形式可以表述为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
该方程描述了当变量因扩散作用而随时间发生变化时，随着空间单位变化量的变化率，变量会发生变化。
一维扩散偏微分方程有几个典型的形式，具体可以分为以下几类：一、静态扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
它描述了由于变量的扩散作用而发生变化的系统，而不考虑任何外部影响因素。
二、动态扩散型方程：它的形式为：u_t=k(u_xx)+f(u,x,t)，其中f(u,x,t)表示变量受外部影响因素的作用，由外部影响决定变量的波动。
三、热扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=a(u_xx)+b(u_xxxx)，其中a和b分别表示传热系数和热容系数。
当变量受到外部热源的影响时，可以使用这种方程来描述。
四、声学扩散型方程：它的形式为：u_t=c(u_xx)+v(u_xxxx)，其中c和v分别表示声学场的传播速度和声学场的波动速度。
它通常用来描述声音在空间上的传播。
五、湍流扩散型方程：它的形式为：u_t=p(u_xxx)+q(u_xxxx)，其中p和q分别表示湍流的传播速度和湍流的波动速度。
它通常用来描述边界层的湍流场的变化。
一维扩散偏微分方程在物理上反映了某些物理现象的变化，是一类经典的微分方程，广泛应用于物理，工程和数学领域，如工程热力学、传热学、流体动力学等。
值得一提的是，一维扩散偏微分方程也可以用一般的微分方法来求解，求解过程相对简单，求解结果可靠，值得我们学习和应用。
一维扩散方程解析解
一维扩散方程解析解
一维扩散方程是用来描述一维物质在空间上传播特性的、有均匀源并带有时间项的常微分
方程. 它是科学研究的重要基础，常用来研究传播过程中的浓度变化特性.
一维扩散方程的基本形式为，扩散方程的右端带有一个包含时间项的源项，即σ
(t)=γ(t)，γ(t)表示源项，σ(t)为时间t时扩散量，它反映扩散系统中物质水平变化，Δx表示x方向上的瞬间变化尺度，D被称为扩散系数，它反映系统物质的扩散能力，
d/dt则是描述系统物质变化的时间项. 简而言之，一维扩散方程的核心思想就是随着时间的推移，物质随着一定的扩散系数D和一次空间上梯度即dx/dt在均匀源的作用下，按照
波动的规律传播消散.
一维扩散方程的解析解是采用特殊的变换法来解决的，比如通过Laplace变换解二阶方程，等待变换系数空间上梯度消失，然后通过其变换反归纳解出原函数形式即为所求解. 在科
学研究中，应用到一维扩散方程的问题比较多，比如用于研究流体在均匀源条件下流动波
动性，以及反应扩散等.
一维扩散方程是研究和探究扩散现象的重要工具，它的解析解有助于人们把握和理解扩散
系统中的重要过程，当然我们也可以通过对比实验和数值模拟的方法来研究一维扩散方程
的具体应用，总之，一维扩散方程的解析解为物理学研究奠定了坚实的基石.。
一维扩散模型半无限边界条件
一维扩散模型半无限边界条件1.引言1.1 概述在物理学、化学、生物学和工程学等领域中，扩散是一种普遍存在的现象。
它是指物质从高浓度区域自发地向低浓度区域传播的过程。
一维扩散模型是研究扩散现象的基本数学工具之一，适用于只在一个方向上发生扩散的情况。
本文将重点探讨一维扩散模型的半无限边界条件。
传统上，对于扩散问题的数学建模，通常假设系统在两端是封闭的，并且扩散物质在两端都不会有输入或输出。
然而，在实际应用中，我们常常会遇到一些特殊情况，例如某一端是开放的，即扩散物质可以自由逸出，而另一端仍然保持封闭。
这种情况下的扩散问题被称为半无限边界条件的一维扩散模型。
半无限边界条件的一维扩散模型具有较广泛的应用。
例如，在土壤科学中，研究土壤中污染物的迁移过程时，常常将土壤视为一个无限长的媒介，并且假设污染物从某一位置输入到土壤中，而在另一位置处则允许污染物自由地逸出。
此外，半无限边界条件的一维扩散模型还可用于研究材料中的溶质扩散、电离物在电化学系统中的传输以及生物体内物质的扩散等领域。
本文的目的是对半无限边界条件的一维扩散模型进行深入研究和讨论。
我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述，然后详细探讨半无限边界条件的物理意义和数学表达形式。
通过对该模型的分析和研究，我们希望能够深入理解半无限边界条件下扩散过程的特点和规律，并为相关领域的实际问题提供理论支持和解决方案。
进入正文的下一节，我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述一维扩散模型半无限边界条件的相关内容:第一部分为引言，介绍文中要讨论的主题并给出本文的目的。
在引言部分中，将对一维扩散模型和半无限边界条件进行简要说明，为后续的内容提供背景和理论基础。
第二部分为正文，该部分将较为详细地介绍一维扩散模型和半无限边界条件的理论基础。
其中，2.1节将详细介绍一维扩散模型的基本概念、方程表达形式以及解析解的求解方法。
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矛盾。
（2）在矩形顶部，则 ，仍矛盾。所以定理结论成立。
【end】
利用上述极值原理，可得到Dirichlet问题的唯一性和稳定性。
定理如果扩散方程 解存在，则解必定唯一。
证如果 和 都是解，则 是方程
的解。由最大值原理，在矩形内 ，即 。
【end】
利用该原理还可得到方程解的稳定性。
定理如果扩散方程
对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程
首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在 时间内位移转移概率为均值为0，方差为 的正态分布。在时刻 处于 的概率密度记为 。则
，
或
因此，
。
可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：
。
所以，有如下定理。
定理扩散方程 的解为
。
证由
，
易知初始条件成立：
。
且对函数 ，直接计算，有
，
，
，
所以，
。
即但 与 只差常数倍，故
。
【end】
对具有源的扩散方程
，
可用常微分方程的结果类比得到。
常微分方程
的解为 。可以把 理解为一个算子：把初始函数 变换为一个新的函数。
§3.2一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性
若函数 满足齐次扩散方程，那么有下面结论。
定理（最大值原理）如果 ，则在矩形时空区域（ ）内，函数 的最大值只能在 ，在边界 或 上取得。
（最小值原理也类似成立）
证这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。
而齐次方程的解也可这样理解：
，
定义了算子 。只不过常微分方程中 ，直接可用一个函数给出该算子。
非齐次常微分方程
的解为
，
这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论
定理直线上的非齐次扩散方程的解为
。
证直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即
，
而后一项，
即
所以， 满足方程。
初始条件显然也满足：
第三章一维扩散方程
本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型
（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：
；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）
；（算子方法，与常微分方程类比）
（2）半直线上的扩散方程 ；（其它非齐次边界等）
，
可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，
其中， 。该方程的解
，
因此，原方程的解，
【end】
对Neumann问题（边界是齐次的）
，
为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统
，
其中， 。该方程的解，
，
因此，原方程的解为
【end】
对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，
10.利用延拓方法求非齐次扩散方程 的解。
。
因此，定理成立。
【end】
该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程
的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到 是下面波动方程
，
的解，故定义算子
，
那么原来齐次波动方程的解为
，
则非齐次的波动方程的解为
。
注意到
，
即得结论。
§3.3半直线上的扩散方程
类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的）
2.求扩散方程的解 的解，其中 。（用积分形式表示）
3.求扩散方程的解 的解，其中 。
4.求具有耗散的扩散方程 的解， 。（提示：作函数变换 ）。
5.求具有耗散的扩散方程 的解， 。
6.求方程 的解， 。（提示：作变量代换 ）。
7.求扩散方程 的解。
8.求扩散方程 的解。
9.求扩散方程的Neumann问题 的解。
，
仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。
对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，
，
则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。
作函数变换： ，则
问题成为其次边界问题。
对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题
，
则可作变换： ，变为齐次边界的Neumann问题，
，
然后再用偶延拓方法求解。
和
的解分别为 和 ，则 。
证对 直接利用极值原理。
【end】
第三章习题
1.对满足扩散方程 的函数 ，在矩形区域 找出取到最大值和最小值的点和相应的值。
解在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
所以，最大值为 ，在 处；最小值为 ，在 处。
用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若 在矩形内取到极值，则
， 。
此时，如果 ，则产生矛盾： 。故只要证 时，仍会产生矛盾。
记边界上函数的最大值是 。构造 。
下证： （如果证得此结论，则令 即得定理的结果）。
由于在边界上， ，所以只要证 不能在
（1）矩形内部；（2）矩形顶部：
取得最大值。
（1）若在内部有最大值，则 。但