第三章-一维扩散方程
扩散方程的差分解法
（24）
则
， （25）
则误差方程为
（26）
误差放大因子为
（27）
要满足稳定性条件，则要求对所有的k值均有 。从（28）式中可以看出，当 （即 ）时， 恒成立。因此，全隐格式是无条件稳定的。
4.4收敛性
如果差分方程的解为 ，微分方程的解为 ，若当 ， 时，差分方程的解与微分方程的解之差
扩散方程的差分解法
在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。
write(2,*) 'x=',x,'m'
do n=1,nt,200
write(2,*) (n-1)*dt,u(j,n)
enddo
if
enddo
!-----------!
end
5.3.2全隐格式
!----------------------------------------全隐格式求解扩散方程-----------------------------------------------!
由以上对一维扩散问题的分析，可知，求解一维扩散方程需给定初始条件及边界条件。
在本文计算中，取 ， 。
初始条件（ 时）
（29）
边界条件为
（30）
其初始时刻（ ）时的u分布如图1所示，x=0m处u随时间变化情况如图2所示，x=10m处u随时间变化情况如图3所示。
图1初始时刻u分布图
图2 x=0处u随时间变化图
一维、稳态热传导
辐射热阻
Rt,rad
Ts Tsur qrad
1 hr A
K W
（4）热阻的应用：等效热回路
串联
qx
T,1 Ts,1 1 h1A
Ts,1 Ts,2 L kA
Ts,2 T,2 1 h2 A
qx
T,1 T,2 1 L 1
T,1 T,2 Rtot
总温差 总热阻
h1A kA h2 A
qx
k L
Ts,1 Ts,2
热流 热流密度
常数：平壁的特征 热流密度计的基础
• 求解热传导问题的标准方法： 1 先通过求解适当形式的热传导方程得到温度分布。 2 再利用温度分布和傅里叶定律确定传热速率。
热传导方程仅仅是能量守恒方程的一种表达，源自傅里叶定律和能量守恒定律。 故直接使用能量守恒和傅里叶定律也可解决导热问题！
k
dT dr
r
ln
k
r2
/
r1
Ts,1 Ts,2
qr
2 rqr
2 k
ln r2 / r1
Ts,1 Ts,2
qr 2 rLqr
2 Lk
ln r2 / r1
Ts,1 Ts,2
这里为啥空着？
Rt,cond
ln r2 / r1
2 k
Rt,cond
ln r2 / r1
2 Lk
Units m K/W Units K/W
对于一维、稳态、无内热源的圆柱壳，
热扩散方程的形式为
1 r
d dr
kr
dT dr
0
T r r1 Ts,1
T r r2 Ts,2
导热系数为常数时，积分可得
内流和外流，平均系数
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
一维扩散方程 自相似解
一维扩散方程自相似解自相似解是指在一维扩散方程中，存在一种特殊的解形式，该解形式具有自我相似的特点。
也就是说，在时间和空间上发生缩放时，解的形状保持不变。
这种自相似解在物理和数学领域中具有重要的应用价值。
一维扩散方程描述了一维空间中物质扩散的过程。
它可以用数学形式表示为：∂C/∂t = D ∂²C/∂x²其中，C表示物质浓度，t表示时间，x表示空间坐标，D表示扩散系数。
这个方程描述了物质浓度随时间和空间的变化规律。
在一维扩散方程中存在一种特殊的解形式，即自相似解。
自相似解具有以下特点：1. 形状不随时间变化：自相似解的形状在时间的推移中保持不变。
无论时间如何变化，解的形状都具有相似性。
2. 形状不随空间缩放变化：自相似解的形状在空间坐标的缩放下保持不变。
无论空间如何缩放，解的形状都具有相似性。
3. 可以通过尺度变换得到：自相似解可以通过时间和空间的尺度变换得到。
通过适当地缩放时间和空间坐标，可以得到相似的解形状。
自相似解在物理和数学领域中具有广泛的应用。
在物理领域，自相似解可以用于描述各种扩散过程，如热传导、物质扩散等。
在数学领域，自相似解可以用于解决一维扩散方程的特解问题，为求解更一般的扩散方程提供了参考。
自相似解的研究对于深入理解一维扩散过程具有重要意义。
通过研究自相似解的性质和特点，可以揭示一维扩散方程的基本规律和行为。
这对于设计和优化扩散过程的工艺参数具有指导意义。
自相似解是一维扩散方程中具有自我相似性的特殊解形式。
它在物理和数学领域中具有重要的应用价值，可以用于描述各种扩散过程，并为解决一维扩散方程的特解问题提供参考。
通过研究自相似解的性质和特点，可以深入理解一维扩散过程的规律，为扩散过程的优化提供指导。
爱恩斯坦一维扩散公式
f ( )d
e2Dt cos cosx sin sin xd
2
1
f ( )d
e 2Dt cos( x)d
2
(11)
1
f ( )d
e2Dt cos( x)d
0
• 利用下列公式改写式（11）
e 2 2 cos d e 2 / 4 2
0
2
得
c(x,t)
f ( )
d f ( ) cos( x)d
2
(9)
1
2
c osx
f ( ) cosd sin x
f
(
)
s
in
d
d
• 比较 (8) 和 (9) 式，得
A() 1
f ( ) cosd
2
(10)
B() 1
f ( ) sin d
2
• 将 (10) 代入 (7) ，得
c(x,t) 1
2
1
Dt
exp
( x)2
4Dt
d
(12)
• δ 函数有如下性质
g(x) (x)dx g(0)
(13)
• 又因为 f (x) = m δ (x)，由此可将式（12）改写成如下形式
c(x, t)
m (x)
2
1
Dt
exp
( x)2
4Dt
d
m
x2
c
2(Dt)1/ 2
exp
4Dt
(14)
爱恩斯坦一维扩散公式的推导
• 扩散方程
x 2C t D x2
1
若 t=0 ( 刚进样瞬间 )时，柱内组分浓度分布为初始条件：
• 初始条件 c to f x
一维扩散方程 自相似解
一维扩散方程自相似解一维扩散方程是描述物质在空间中扩散传播的方程。
它在许多物理和工程领域中都有广泛的应用，例如热传导、扩散过程中的物质浓度变化等。
一维扩散方程的自相似解是指在特定的条件下，方程的解在空间和时间上具有相似性。
先来看一维扩散方程的一般形式：∂u/∂t = D ∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示扩散物质在时刻t、位置x处的浓度或温度；D 是扩散系数，反映了传导介质的特性。
对于自相似解，我们希望找到一种特殊的解形式，使得在空间和时间上，解在不同位置和不同时刻具有相似的形态。
为了得到自相似解，我们将引入相似变换。
假设我们有一个自变量变换：x' = x/√(Dt)，t' = t/√(Dt)，其中D是扩散系数。
通过这个变换，我们可以将原方程变为：∂u/∂t' = ∂²u/∂x'²接下来，我们将应用这个相似变换，来找到一维扩散方程的自相似解。
首先，我们将把扩散方程作为自变量进行变换：u(x,t) = U(x',t')将自变量变换带入一维扩散方程：∂U/∂t' = ∂²U/∂x'²接下来，我们对新的变量x'和t'进行求导，以确定新的依赖关系：∂u/∂x = ∂U/∂x' * ∂x'/∂x + ∂U/∂t' * ∂t'/∂x∂u/∂t = ∂U/∂x' * ∂x'/∂t + ∂U/∂t' * ∂t'/∂t在相似变换中，∂x'/∂x = 1/√(Dt)，∂t'/∂x = 0，∂x'/∂t = 0，∂t'/∂t = 1/√(Dt)，将这些值带入方程，可得：∂u/∂x = (1/√(Dt)) * ∂U/∂x'∂u/∂t = (1/√(Dt)) * ∂U/∂t'将这些结果代入一维扩散方程，有：(1/√(Dt)) * ∂U/∂t' = (1/√(Dt)) * ∂²U/∂x'²可以发现，新的方程中√(Dt)这一项在两边都能够相互抵消。
扩散工艺知识
第三章 扩散工艺在前面“材料工艺”一章，我们就曾经讲过一种叫“三重扩散”的工艺，那 是对衬底而言相同导电类型杂质扩散。
这样的同质高浓度扩散，在晶体管制造中 还常用来作欧姆接触，如做在基极电极引出处以降低接触电阻。
除了改变杂质浓 度，扩散的另一个也是更主要的一个作用，是在硅平面工艺中用来改变导电类型，扩散是一种普通的自然现象，有浓度梯度就有扩散。
扩散运动是微观粒子原 子或分子热运动的统计结果。
在一定温度下杂质原子具有一定的能量，能够克服 某种阻力进入半导体，并在其中作缓慢的迁移运动。
一．扩散定义在高温条件下，利用物质从高浓度向低浓度运动的特性，将杂质原子以一定 的可控性掺入到半导体中，改变半导体基片或已扩散过的区域的导电类型或表面 杂质浓度的半导体制造技术，称为扩散工艺。
二．扩散机构杂质向半导体扩散主要以两种形式进行：1．替位式扩散一定温度下构成晶体的原子围绕着自己的平衡位置不停地运动。
其中总有一 些原子振动得较厉害，有足够的能量克服周围原子对它的束缚，跑到其它地方， 而在原处留下一个“空位”。
这时如有杂质原子进来，就会沿着这些空位进行扩 散，这叫替位式扩散。
硼（B ）、磷（P ）、砷（As ）等属此种扩散。
2．间隙式扩散构成晶体的原子间往往存在着很大间隙，有些杂质原子进入晶体后，就从这 个原子间隙进入到另一个原子间隙，逐次跳跃前进。
这种扩散称间隙式扩散。
金、 铜、银等属此种扩散。
三．扩散方程扩散运动总是从浓度高处向浓度低处移动。
运动的快慢与温度、浓度梯度等 有关。
其运动规律可用扩散方程表示，具体数学表达式为：a N、 ——=D V 2N（3-1）a t在一维情况下，即为：a N a 2N ---- =D------- a t a x 2 式中：D 为扩散系数，是描述杂质扩散运动快慢的一种物理量；N 为杂质浓度；t 为扩散时间；x 为扩散到硅中的距离。
四．扩散系数杂质原子扩散的速度同扩散杂质的种类和扩散温度有关。
python一维扩散方程
python一维扩散方程一维扩散方程是描述扩散现象的数学模型，在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
本文将从解释一维扩散方程的含义开始，介绍其应用背景和数学推导过程，并探讨一些实际应用案例。
一维扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
在该方程中，扩散物质的浓度随时间和空间的变化而变化。
一维扩散方程的一般形式为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²其中，C表示物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，D为扩散系数。
扩散方程的物理意义是描述了扩散物质在空间和时间上的变化规律。
在一维空间中，扩散物质的浓度随着时间的推移会发生变化，同时也会受到空间位置的影响。
扩散系数D则决定了扩散物质的扩散速率，扩散系数越大，扩散速率越快。
一维扩散方程在自然界和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在环境科学领域，人们可以利用一维扩散方程来研究污染物在土壤中的传输和扩散过程，从而评估土壤污染的风险和影响。
此外，在生物医学领域，一维扩散方程可以用于模拟药物在人体组织中的扩散过程，帮助科学家设计和优化药物的给药方案。
为了解决一维扩散方程，我们需要根据具体问题设定合适的边界条件和初始条件。
常见的边界条件包括固定浓度、固定通量和无流动边界等。
初始条件则描述了系统在初始时刻的浓度分布情况。
通过求解一维扩散方程，我们可以得到物质浓度随时间和空间的变化曲线，进而分析扩散过程的特征。
对于一维扩散方程的求解，常用的方法包括分离变量法、有限差分法和有限元法等。
其中，分离变量法适用于简单的边界条件和初始条件，可以得到解析解。
而有限差分法和有限元法适用于复杂的问题，可以通过数值计算得到近似解。
除了理论分析和数值计算，实际应用中还需要结合实验和观测数据进行验证和调整。
通过与实验结果的比较，可以评估模型的准确性和适用性，并进行参数优化和模型改进。
在实际应用中，一维扩散方程被广泛用于解决各种扩散相关问题。
例如，在工程领域，一维扩散方程可以用于模拟材料中的热传导过程，从而优化热工设备和系统的设计。
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矛盾。
（2）在矩形顶部，则 ，仍矛盾。所以定理结论成立。
【end】
利用上述极值原理，可得到Dirichlet问题的唯一性和稳定性。
定理如果扩散方程 解存在，则解必定唯一。
证如果 和 都是解，则 是方程
的解。由最大值原理，在矩形内 ，即 。
【end】
利用该原理还可得到方程解的稳定性。
定理如果扩散方程
，
可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，
其中， 。该方程的解
，
因此，原方程的解，
【end】
对Neumann问题（边界是齐次的）
，
为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统
，
其中， 。该方程的解，
，
因此，原方程的解为
【end】
对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，
10.利用延拓方法求非齐次扩散方程 的解。
。
因此，定理成立。
【end】
该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程
的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到 是下面波动方程
，
的解Байду номын сангаас故定义算子
，
那么原来齐次波动方程的解为
，
则非齐次的波动方程的解为
。
注意到
，
即得结论。
§3.3半直线上的扩散方程
类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的）
用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若 在矩形内取到极值，则
， 。
此时，如果 ，则产生矛盾： 。故只要证 时，仍会产生矛盾。
记边界上函数的最大值是 。构造 。
下证： （如果证得此结论，则令 即得定理的结果）。
由于在边界上， ，所以只要证 不能在
（1）矩形内部；（2）矩形顶部：
取得最大值。
（1）若在内部有最大值，则 。但
2.求扩散方程的解 的解，其中 。（用积分形式表示）
3.求扩散方程的解 的解，其中 。
4.求具有耗散的扩散方程 的解， 。（提示：作函数变换 ）。
5.求具有耗散的扩散方程 的解， 。
6.求方程 的解， 。（提示：作变量代换 ）。
7.求扩散方程 的解。
8.求扩散方程 的解。
9.求扩散方程的Neumann问题 的解。
第三章一维扩散方程
本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型
（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：
；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）
；（算子方法，与常微分方程类比）
（2）半直线上的扩散方程 ；（其它非齐次边界等）
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：
。
所以，有如下定理。
定理扩散方程 的解为
。
证由
，
易知初始条件成立：
。
且对函数 ，直接计算，有
，
，
，
所以，
。
即但 与 只差常数倍，故
。
【end】
对具有源的扩散方程
，
可用常微分方程的结果类比得到。
常微分方程
的解为 。可以把 理解为一个算子：把初始函数 变换为一个新的函数。
§3.2一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性
若函数 满足齐次扩散方程，那么有下面结论。
定理（最大值原理）如果 ，则在矩形时空区域（ ）内，函数 的最大值只能在 ，在边界 或 上取得。
（最小值原理也类似成立）
证这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。
对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程
首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在 时间内位移转移概率为均值为0，方差为 的正态分布。在时刻 处于 的概率密度记为 。则
，
或
因此，
。
可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。
和
的解分别为 和 ，则 。
证对 直接利用极值原理。
【end】
第三章习题
1.对满足扩散方程 的函数 ，在矩形区域 找出取到最大值和最小值的点和相应的值。
解在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
所以，最大值为 ，在 处；最小值为 ，在 处。
而齐次方程的解也可这样理解：
，
定义了算子 。只不过常微分方程中 ，直接可用一个函数给出该算子。
非齐次常微分方程
的解为
，
这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论
定理直线上的非齐次扩散方程的解为
。
证直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即
，
而后一项，
即
所以， 满足方程。
初始条件显然也满足：
，
仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。
对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，
，
则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。
作函数变换： ，则
问题成为其次边界问题。
对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题
，
则可作变换： ，变为齐次边界的Neumann问题，
，
然后再用偶延拓方法求解。