波动方程推导过程
波动方程推导过程
波动方程推导过程波动方程是描述波动现象的一维偏微分方程，常见于物理学、工程学等领域。
本文将详细推导波动方程的推导过程，并附上适当的数学解释。
我们从一维弦的振动出发，假设弦在水平方向上的位移为u(x,t)，其中x为弦上的位置，t为时间。
我们希望找到u(x,t)满足的方程。
首先，我们考虑弦元素。
假设弦元素的质量为m，长度为Δx。
弦元素在x位置的受力可由受力平衡方程得到。
考虑弦元素下方的拉力，可以得到：T(x+Δx, t)cosθ(x+Δx, t) - T(x, t)cosθ(x, t) =mΔx∂²u/∂t²其中，T(x,t)为弦元素在位置x的拉力，θ(x,t)为弦元素在位置x 的与水平方向的夹角。
我们进一步假设弦的线密度为ρ，弦的张力T与弦的位置无关且恒定。
即T(x,t) = T0。
同时，假设弦的振动幅度很小，θ(x,t)的正弦值与斜率成正比。
即：sinθ(x,t) ≈ ∂u/∂x，cosθ(x,t) ≈ 1将这些假设带入上述受力平衡方程中，得到：T0(∂u/∂x+∂u/∂xΔx)-T0∂u/∂x=mΔx∂²u/∂t²化简可得：T0∂²u/∂x²=mΔx∂²u/∂t²考虑到弦元素长度Δx的无穷小极限，我们取Δx→0，并将Δx去掉，得到：T0∂²u/∂x²=m∂²u/∂t²进一步，我们可以将上式中m除以弦的线密度ρ，并将T0除以根号下(ρ/μ)（其中μ为线密度ρ与弦的横波速度v的乘积），得到：∂²u/∂x²=1/v²∂²u/∂t²此即为波动方程。
上式表示了u(x,t)在时空上的二阶偏导数之间的关系。
从推导过程可以看出，波动方程的形式是基于一维弦振动的受力平衡获得的。
它说明了弦元素位移的二阶偏导数与时间的二阶偏导数之间的相关性。
波动方程描述了波动现象的特征，如波速等。
平面简谐波__波动方程
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
波动方程推导过程
波动方程推导过程1.假设波动是在一维空间中发生的，即沿着x轴传播，波的振动方向与x轴垂直。
假设波动是机械波，即需要介质来传播。
同时假设波动是纵波，即介质的波动方向与波的传播方向一致。
2.建立坐标系。
在一维空间中，选择一个坐标系，通常将波的起点设置为坐标原点。
3. 考虑微元上的受力平衡。
取波动方向为y轴，波的纵向位移为y(x,t)。
假设一个很小的区域，长度为dx，在位置x上物质点受到的作用力为F。
由于介质中粒子之间的相互作用，引起的弹力与位移成正比，且反向。
可以使用胡克定律来描述这个弹力关系：F=-k*y(x,t)其中k为弹性系数。
4.考虑微元上的惯性力。
在波的传播过程中，介质中的粒子具有质量，会有惯性力的作用。
由于波的传播方向是沿着x轴，所以x方向上的惯性力对受力平衡没有贡献。
所以只需要考虑y方向上的惯性力。
根据牛顿第二定律，惯性力与加速度成正比。
粒子的加速度可以用纵向速度对时间的导数来表示：F = m * d²y/dt²其中m为单位长度的质量。
5.结合弹力和惯性力。
将弹力和惯性力相加，得到微元受到的总力：F = -k * y(x,t) - m * d²y/dt²6.使用牛顿第二定律来描述微元受到的总力。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
将微元受到的总力代入方程中，得到：-m * d²y/dt² = -k * y(x,t) - m * d²y/dx²7.化简方程。
将方程重写为标准形式：d²y/dx² = (1/v²) * d²y/dt²其中v²=k/m为波速的平方。
8.一维波动方程的描述。
将标准形式的方程扩展为一维波动方程：d²y/dx² - (1/v²) * d²y/dt² = 0这就是波动方程，它描述了波沿着x轴传播的过程。
达朗贝尔波动方程
达朗贝尔波动方程引言达朗贝尔波动方程（D’Alembert’s wave equation）是描述波的传播和振动的一种数学方程。
它在物理学和工程学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将从基本概念、方程的推导、特解以及应用等方面深入探讨达朗贝尔波动方程。
一、基本概念1. 波动波动是指能量在介质或空间中传播的过程。
波可以是机械波、电磁波等不同类型的波动。
波动可以通过振动产生，并以波的形式传递能量。
2. 波动方程波动方程是描述波动过程中物质或场的运动状态的方程。
达朗贝尔波动方程是一维波动方程的一种形式，可用于描述沿一条方向传播的波。
二、方程的推导达朗贝尔波动方程可从牛顿第二定律和胡克定律推导得到。
设在一根弦上的波动，假设弦是均匀的、细长的、不可延伸的，并忽略重力效应。
则在弦元上的受力可表示为：dF=T⋅∂2y ∂x2dx其中，y表示弦元的垂直偏移量，x表示弦元所在位置，T表示弦的张力。
根据牛顿第二定律，弦元的加速度与受力之间存在关系：∂2y ∂t2=Tμ⋅∂2y∂x2其中，t表示时间，μ表示弦的线密度。
由于波沿弦方向传播，假设波的传播速度为v，即：v=dx dt将上述关系带入方程中，得到达朗贝尔波动方程：∂2y ∂t2=v2⋅∂2y∂x2三、特解1. 没有边界当弦的两端没有固定边界时，方程的特解可表示为：y=f(x±vt)其中，f表示初始的波形，正负号分别表示波向左或向右传播。
2. 有边界当弦的两端有固定边界时，方程的特解可表示为：y(x,t)=R(x−vt)+S(x+vt)其中，R和S分别表示左右边界处波的反射情况。
四、应用达朗贝尔波动方程在各个领域都有广泛的应用，如声学、电磁学等。
下面以声学为例，介绍其应用。
1. 空气中的声波传播空气中的声波传播可以用达朗贝尔波动方程进行描述。
如果在一个封闭空间中有声源产生声波，声波将通过空气传播，并在封闭空间的各个位置上引起压强的变化。
通过解达朗贝尔波动方程，可以得到声波在空气中的传播速度、频率和波长等参数。
电动力学中的波动方程及其应用
电动力学中的波动方程及其应用电动力学是物理学中的一个重要分支，主要研究电磁场的产生及其相互作用。
其中，波动方程是电磁场中最基本、最重要的方程之一。
本文将从波动方程的定义、推导及其应用三个方面来详细探讨这一问题。
一、波动方程的定义波动方程描述了电磁波在空间中向各个方向传播的规律。
它是电动力学中最常见、最基本的方程之一。
其一般形式为：$$\nabla^2E=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2E}{\partial t^2}$$其中，$E$表示电场强度，$c$表示光速，$\nabla^2$表示拉普拉斯算子，$\frac{\partial^2E}{\partial t^2}$表示电场强度随时间的二阶导数。
这个方程的物理意义在于，它描述了电磁波在空间中的传播过程中，电场强度随时间和空间的变化规律。
它告诉我们，电磁波在空间中的传播速度是恒定的，即光速$c$。
此外，可以从波动方程中推导出很多与电磁波有关的重要物理现象，如光的反射、折射、干涉、衍射等。
二、波动方程的推导波动方程的推导需要用到麦克斯韦方程组（包括高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律）和洛伦兹力公式等知识。
这里不进行详细介绍，只给出波动方程的简要推导步骤。
首先，根据麦克斯韦方程组，可以得到电场强度与磁场强度之间的关系：$$\nabla\times H = \frac{1}{c}\frac{\partial E}{\partial t}$$其中，$H$表示磁场强度。
将这个式子带入安培环路定理式中，可以得到：$$\nabla\times\nabla\times E = \nabla(\nabla\cdot E) - \nabla^2 E = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$于是，波动方程就可以表示为：$$\nabla^2E=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2E}{\partial t^2}$$三、波动方程的应用波动方程是电磁学中最重要的方程之一，它具有广泛的应用领域。
数理方程-波动方程的导出
地震波传播规律的研究中，波动方程发挥了重要作用 。
电磁波传播
在研究电磁波传播时，波动方程用于描述电磁场的变 化规律。
波动方程的数学表达形式
01
一维波动方程
一维波动方程是描述一维空间中波动现象的基本方程，形 式为 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。
03
CATALOGUE
波动方程的物理意义
波动方程的物理背景
波动现象
波动方程是描述波动现象的基本数学工具，如声波、光波、水波等。
波动方程的导出
基于物理定律和数学推导，将实际问题抽象为数学模型，进而得到波动方程。
波动方程的物理应用
声学研究
波动方程在声学研究中用于描述声波传播规律，如声 速、声压等。
从而模拟声波的传播过程。
水波传播的模拟
要点一
总结词
波动方程也可以用来描述水波的传播规律，通过求解波动 方程可以得到水波的传播速度、振幅和相位等信息。
要点二
详细描述
水波是一种常见的波动现象，其传播规律可以用波动方程 来描述。在水波传播的模拟中，我们需要考虑水的密度、 弹性模量、阻尼系数等参数，以及水波的频率、振幅、波 长等特征。通过求解波动方程，我们可以得到水波在介质 中的传播速度、振幅和相位等信息，从而模拟水波的传播 过程。
波动方程的应用实例
声波传播的模拟
总结词
波动方程可以用来描述声波在介质中的传播 规律，通过求解波动方程可以得到声波的传 播速度、振幅和相位等信息。
详细描述
声波是一种波动现象，其传播规律可以用波 动方程来描述。在声波传播的模拟中，我们 需要考虑介质的密度、弹性模量、阻尼系数 等参数，以及声波的频率、振幅、波长等特 征。通过求解波动方程，我们可以得到声波 在介质中的传播速度、振幅和相位等信息，
平面简谐波的波动方程
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
波动方程
波动方程或波动方程是重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种波动现象，包括横波和纵波，如声波，光波，无线电波和水波。
波动方程是从声学，物理光学，电磁学，电动力学，流体力学和其他领域中抽象出来的。
历史上许多科学家，例如D'Alembert，Euler，daniel bernoulli和Lagrange，在研究乐器和其他物体中的弦振动时对波动方程理论做出了重要贡献。
1746年，达朗伯（D'Alembert）发现了一维波动方程，而欧拉（Euler）在接下来的10年中发现了三维波动方程。
一维波动方程可以推导如下：一系列质量为m的小颗粒，相邻颗粒通过长度为h的弹簧连接。
弹簧的弹性系数（也称为“顽固系数”）为k：
从上面的形式可以看出，如果F和G是任意函数，则它们以以下形式组合必须满足原始方程式。
上述两项分别对应于两行行波（“线”和“动作”中的谐音器）-F表示通过该点（点X）的右行波，G表示通过该点的左行波。
为了完全确定f和g的最终形式，应考虑以下初始条件：波动方程的著名D'Alembert行波解，也称为D'Alembert 公式，是通过进行以下运算获得的：在古典意义上，如果然后。
但是，行波函数f和g也可以是广义函数，例如Diracδ函数。
在这种情况下，行波解应视为左行或右行中的脉冲。
基本波方程是线性微分方程，也就是说，同时受到两个波的点的振幅是两个波的振幅之和。
这意味着可以通过将一系列波动分解为其解决方案来有效地解决该问题。
另外，可以通过分离每个分量来分析波，例如，傅立叶变换可以将波分解为正弦分量。
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由 d'Alembert 公式有 1 1 v( x, t) = [(h − x + at)φ( x − at) + (h − x − at)φ( x + at)] + 2 2a 再由 (1) 知此定解问题的解. 注：此问题也可由 (1) 并利用初始条件决定 F 和 G. 例 2.2 问初始条件 φ( x) 与 ψ( x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播 波组成? 解: 由题意知 1 1 G ( x ) = φ( x ) + 2 2a 故 G ′ ( x) = 0, 即 ∫
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E ( x)u x | x , E ( x)u x | x+∆ x . B 段的运动方程为 S ρ( x)∆ x ∂2 u ( x, t) = E ( x)S u x | x+∆ x − E ( x)S u x | x ∂t 2
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆ x → 0, 有 ( ) ( ) ∂u ∂ ∂u ∂ ρ( x) = E ( x) . ∂t ∂t ∂x ∂x 例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件. 解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0; u ∂u (2) 端点自由, 即端点处无外力作用. 在左端点 S E (0) ∂ ∂ x (0, t) = 0, 即 ∂ x (0, t) = 0. 同理右端 u 点∂ ∂ x (l, t ) = 0 . (3)端点固定在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性 系数设为 k, 则 ∂u S E (0) (0, t) = ku(0, t), ∂x 同理右端: ( ( ∂u − + hu ∂x ) = 0.
第一章
波动方程
齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院 Email: htqisdu@ September 28, 2011
目录
1 方程的导出、定解条件 2 达朗贝尔公式、波的传播 3 初边值问题的分离变量法 4 高维波动方程的柯西问题 5 波的传播与衰减 6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 2 4 7 10 13 14
1
1
方程的导出、定解条件
例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u( x, t) 表示静止时在 x 点处的点在 时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证明 u( x, t) 满足 方程 ( ) ( ) ∂ ∂u ∂ ∂u ρ( x) = E , ∂t ∂t ∂x ∂x 其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量. 解: 由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 ( x, x + ∆ x) 上的小段 B 为代表加以研 究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u( x, t) 和 u( x + ∆ x, t) = u( x, t) + ∆u, B 段的伸长为 u( x + ∆ x, t) − u( x, t) = ∆u, 相对伸长则为 u( x + ∆ x , t ) − u( x , t ) ∆u ∂u = = ( x, t), ∆x ∆x ∂x ∆ x → 0.
例 1.6 若 F (ξ), G(ξ) 均为其变元的二次连续可导函数, 验证 F ( x − at), G( x + at) 均满足弦振 动方程 (1.11). √ 例 1.7 验证 u( x, y, t) = 1/ t2 − x2 − y2 在锥 t2 − x2 − y2 > 0 中满足波动方程 utt = u xx + uyy . 3
1 − ka C1 G ( x) − , 1 + ka 1 + ka C1 1 − ka G(at − x) − . F ( x − at) = F (−(at − x)) = 1 + ka 1 + ka 1 1 − ka ka ⇒ u( x, t) = φ( x + at) + φ(at − x) + φ(0). 2 1 + ka 2(1 + ka) 例 2.6 求解初边值问题 utt − u xx = 0, 0 < t < kx, k > 1, u|t=0 = φ0 ( x), x ≥ 0, ut |t=0 = φ1 ( x), x ≥ 0, u|t=kx = ψ( x),
其中 k 为正常数. 解: 波动方程的通解为 u = F ( x − at) + G( x + at), 由初始条件得 F ( x) + G( x) = φ( x), −aF ′ ( x) + aG′ ( x) = 0
1 C 1 C F ( x) − G( x) = C, F ( x) = φ( x) + , G( x) = φ( x) − , 2 2 2 2
x=l) =0xFra bibliotek0h=
k . E ( x)S
∂u + hu ∂x
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为 [ ] ( ∂ ( x )2 ∂u x )2 ∂2 u E 1− =ρ 1− , ∂x h ∂x h ∂t2 其中 h 为圆锥的高. 2
解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径) ρV ( x) 其中 ∂2 u ∂u ∂u ( x, t) = ES ( x + ∆ x) ( x + ∆ x, t) − ES ( x) ( x, t) 2 ∂x ∂x ∂t ( x )2 S ( x ) = πR2 1 − . h
O .
∂u sin α1 ≈ tan α1 = ( x, t). ∂x 由 (2) 知 [ ] ∂u( x) ∂ ∂2 u T ( x) =ρ 2 ∂x ∂x ∂t [ ] ∂2 u ∂u ∂ (l − x) . ⇒ 2 =g ∂x ∂x ∂t
T
例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质 中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题. 解: k, σ 为正常数 utt − a2 u xx + kut = 0, 0 < x < l, t > 0, u|t=0 = φ( x), ut |t=0 = ψ( x), u| x=0 = 0, (u x + σu)| x=l = 0.
C 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G( x + at) = 1 2 φ( x + at) − 2 . 当 x − at ≥ 0 时, 1 C 1 F ( x − at) = 2 φ( x − at) + 2 . 此时 u( x, t) = 2 [φ( x + at) + φ( x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条 件知
x x0
(h − ξ)ψ(ξ)dξ.
ψ(ξ)dξ −
C ≡ const. 2a
aφ′ ( x) + ψ( x) = 0.
例 2.3 利用传播波法, 求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t 2 ∂ x2 u| x−at=0 = φ( x), u| x+at=0 = ψ( x), (φ(0) = ψ(0)). 解: 设 u( x, t) 具有行波解 u = F ( x − at) + G( x + at), 由边界条件得 F (0) + G(2 x) = φ( x), F ( x) = ψ( x/2) − G(0), F (2 x) + G(0) = ψ( x).
其中 φ0 (0) = ψ(0). 解: 当 x − t ≥ 0 时, 由 d'Alembert 公式有 1 1 u( x, t) = [φ0 ( x − t) + φ0 ( x + t)] + 2 2 ∫
x +t x −t
φ1 (ξ)dξ.
x − t < 0 时, 取 u = F ( x − t) + G( x + t). 当 t = x 时, 它应与上式的解相同. 当 t = kx 时, 利用边 界条件有 ∫ 1 1 2x F (0) + G(2 x) = [φ0 (0) + φ0 (2 x)] + φ1 (ξ)dξ, 2 2 0 5
G( x) = φ( x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ(0). ( x − at ) ( x + at ) ⇒ u( x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2 4
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f ( x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [ x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [ x1 , x2 ] 的影响区 域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [ x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域中解的数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 u xx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ( x), ut |t=0 = 0, u − ku | x t x=0 = 0,
(h > 0 常数)的通解可以写成
解: (1) 令 v( x, t) = (h − x)u( x, t) 并代入方程得 vtt = a2 v xx , 进而 u= (2) { F ( x − at) + G( x + at) v = . h−x h−x