波动方程
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(完整版)波动方程
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处 前进波 x 0处 后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点
第四章分离变量法-波动方程
2 l nπ an = ∫ ϕ ( x ) sin xdx = 0 0 l l 2 l nπ bn = ∫0ψ ( x) sin l xdx nπ a
l l 2 2 nπ nπ = xdx + ∫ l (l − x) sin xdx ∫0 x sin nπ a l l 2
2l 2l 2 nπ = sin 2 2 nπ a n π 2 2
A+ B = 0 Ae
−λl
X ''( x) + λ X ( x) = 0
X (0) = 0,
X (l ) = 0
A=B=0
−λl
X =0
+ Be −
=0
2）λ = 0 3）λ > 0
A=0
X ( x) = Ax + B
A= B=0
X =0
方程通解为
X ( x) = A cos λ x + B sin λ x
∂ 2u ∂ 2u = a2 2 , 0 < x < l, t > 0 ∂t 2 ∂x t >0 u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) u ( x,0) = ϕ ( x), = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l ∂t u ( x, t ) = X ( x )T (t ) X ′′ + λX = 0 ▪分离变量
而振幅依赖于点x的位置.
ml , m = 0,1,2,⋯ 弦上位于 x = 处的点在振动过程中保持 n
不动称为节点。这种形态的振动称为驻波。
t=t0时：
nπ un ( x, t0 ) = An cos(ωnt0 − θ n ) sin x l
第六章_波动方程
一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
第三章波动方程
拉普拉斯算子： 拉普拉斯算子： 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂u ∂u ) + (sin α ∇ 2u = 2 ( r 2 r ∂r r ∂α ∂r r ⋅ sin α ∂α ∂u ∂ u ↓← = =0 ∂ α ∂β
2 1 ∂u ∂ 2 u 2 ∂u 2 ∂ u )= 2 + = 2 ( 2r +r 2 r ∂r r ∂r ∂r ∂r
13
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解 、
已知球面纵波传播波动方程如下： 已知球面纵波传播波动方程如下： ∂ 2ϕ − VP2 ∇ 2ϕ = 0 ∂t 2 此式是直角坐标系中的波动方程， 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中， 坐标系中，即
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 为了定量地描述微观粒子的状态， 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 波函数， 表示。一般来讲， 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 的函数，并且是复函数，
7
无限大、 3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
如果使 t −
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t 播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
16
因此，上式又可写为： 因此，上式又可写为：
ϕ=
ϕ
1 r ) = c1 ( t − r r VP
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解： 第一组解：当 V = V p = ( λ + 2 µ ) / ρ 时，
第2章波动方程
引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
第一章_波动方程
u ( 3) 2 x 0 y x 2u 2u 2u ( 4) 2 2 2 sin x xy y x
( 5)
2u x
2
2
3u x y
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
u T x
x a
k u x a
或
u u 0 x xa
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.2 定解条件
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边
界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即
个性。 初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束 情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
y
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
数学物理方程
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
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波速为u =120m/s ,波长为60m ,以原点处质点在y =A/2处并向y 轴正方向运动作为计时零点。试写出波
动方程。
解：
u =120 由：l =uT
l =60
A= 5
υ =T1 =2
T
=
l
u
=
1 2
（s）
ω =2πυ =4π
由标准方程：
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
对照后除了 j ，其它的特征量都知道了，所以关键
x (m)
π
4
0
Ay
∴
j 0
=＋π4
A
oπ －2
y
j P
=-
π 2
2π
l
（=－
π2 ）12
π 4
l =32 m
(本题结束)
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
负方向传播，已知：A点的振动方程为：
y = 3 cos 4π t （SI）
（1）以A点为坐标原点，写出波动方程
（2）若以距离A点负方向5m处的B点为坐标 原点，再写出波动方程。
（A）均为零
（B）均为
π
2
（C）均为－π2
（D）π2 与－π2 （E）－π2 与π2
例题：如图所示简谐
波以余弦函数表示， 求：Q、a、b、c 各点 振动相位。
y
t =0 A
u
·b
t=T/4
a
0·
c·
x
-A ·Q
Q点
A
j o
=π
0·
y
按照 上坡下行
下坡上行
b点
j b
=0
0· A y
的原则
a点 A ja =π2
B为原点的波动方程:
y B
=5
cos
πt
－
x2π0 －π4
=5cosπ（t － 2x0)－π4 （m）
因为是右行波，0点的振动相位超
前A点的振动相位，而且相距10m
∴ 0为原点的波动方程:
结论
y A
=5
cosπ
t
－
x－10 20
=5cos
πt －
x－10π 20
=5cos
πt
－
xπ 20
+
π 2
B点的振动相位
y ＝y（x、t）
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质 点平衡位置
★ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 振动时，其振动状态在介质中传播过程中所形成的波。
★平面简谐波：波面为平面的简谐波。
各种不同 的简谐波
y
简谐波1 0
y
简谐波2 0
y
合成 复杂波 0
合成 分解
复杂波 简谐波 的波形图
x
∴ j0＝0 从图（b）中可知T =2.0(s)
由
w＝
2π T
（1） A点的振动方程：
＝π
对照振动方程标准像：
y =Acos（ω t ＋j）
y A
=5cos（πt
+
0
)
=5cosπt （m）
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
由波函数的标准方程（标准像）
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
分析：解这类题目时要用波函数中的第三个标准方程（标准像）
y = A cos
w(t -
x - xo u
) +j
u＝20 m/s
y(m) 5
10m
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
从图（b）中可知t =0时，质点在正 的最大位移处并向y 轴的负方向运动
u＝20 m/s
.B A.
x
5m
（练习册P30填充题9·版书）
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
正方向传播，如（a）所示。如果波线上A点的振动曲线
如图（b）所示。求：（1）A点的振动方程（2）分别以A、
B、0为原点的波动方程。
（练习册P14计算题2）
u＝20 m/s
y(m)
5
10m
Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
平面简谐波的波函数 波动方程
Equation of wave
定量地描述前进中的波动（也称行波） ，用数学 形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化 的规律。这样的函数式称为行波的波动方程。
§6-2 平面简谐波的波函数
一 . 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 （坐标为 y）随时间t 的变化关系，称为波函数。
x
在此时间t 是隐函数，
不在波形图上。
已知振源（波源）
的振动方程为： y =A cos(ω t +j ) 0
1.时间推迟方法
1.时间推迟方法
y
u
o
· A P
x
已知振源（波源） 的振动方程为：
x y =A cos(ω t +j ) 0
振源的振动状态从0点以传播速度
u传送到P 点，显然时间要落后：t´＝
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
可理解为将Q点 作为计时原点。
y =A cos(ω t +j )
x
u
y =A cosω ( t－t´) +j P
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位 置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
2.相位比较方法
y
已知振源（波源）
u
的振动方程为：
o
· A P
x y =A cos(ω t +j )
0
x
P点的相位比 0点的相位落后: △j =jP - j
3
u =120
l =60
A= 5
得波动方程： y =5 cos 4π ( t＋12x0 )－π3 （m）
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为： u = 600m/s 。试写出波动方程。
y(m)
0
u
5 .12
解： 上坡下行
下坡上行
x (m)
0点在t 稍＞0 时
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
0.45 m
例题：一平面简谐波，振幅A＝5m ,向x 轴负方向传播，
C点
0·
y 求出初相位是
解题的关键。
0·
y
A
jc =－π2
例题：如图所示，为t=0时刻的简谐波形，试求
（1）0点的振动方程 （2）波动方程 （3）标出a 、b 两点的运动方向（4）x ＝0.2m 质点的振动方程。
（练习册P16计算题1·版书）
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
波速
u＝
B C
周期T
＝ω2π
＝
2π
B
初相位 j ＝0
l＝uT
＝B C
2π
B
＝ 2π
C
与波源相距为d 处的振动表达式为：
y =A cos（Bt－Cx ) =A cos（Bt－Cd )
波传播方向上相距为d 的两点间的相位差:
△j
＝
2lπ△x
＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。
动方程。
解：
u =120 由：l =uT
l =60
A= 5
υ =T1 =2
T
=
l
u
=
1 2
（s）
ω =2πυ =4π
由标准方程：
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
对照后除了 j ，其它的特征量都知道了，所以关键
x (m)
π
4
0
Ay
∴
j 0
=＋π4
A
oπ －2
y
j P
=-
π 2
2π
l
（=－
π2 ）12
π 4
l =32 m
(本题结束)
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
负方向传播，已知：A点的振动方程为：
y = 3 cos 4π t （SI）
（1）以A点为坐标原点，写出波动方程
（2）若以距离A点负方向5m处的B点为坐标 原点，再写出波动方程。
（A）均为零
（B）均为
π
2
（C）均为－π2
（D）π2 与－π2 （E）－π2 与π2
例题：如图所示简谐
波以余弦函数表示， 求：Q、a、b、c 各点 振动相位。
y
t =0 A
u
·b
t=T/4
a
0·
c·
x
-A ·Q
Q点
A
j o
=π
0·
y
按照 上坡下行
下坡上行
b点
j b
=0
0· A y
的原则
a点 A ja =π2
B为原点的波动方程:
y B
=5
cos
πt
－
x2π0 －π4
=5cosπ（t － 2x0)－π4 （m）
因为是右行波，0点的振动相位超
前A点的振动相位，而且相距10m
∴ 0为原点的波动方程:
结论
y A
=5
cosπ
t
－
x－10 20
=5cos
πt －
x－10π 20
=5cos
πt
－
xπ 20
+
π 2
B点的振动相位
y ＝y（x、t）
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质 点平衡位置
★ 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 振动时，其振动状态在介质中传播过程中所形成的波。
★平面简谐波：波面为平面的简谐波。
各种不同 的简谐波
y
简谐波1 0
y
简谐波2 0
y
合成 复杂波 0
合成 分解
复杂波 简谐波 的波形图
x
∴ j0＝0 从图（b）中可知T =2.0(s)
由
w＝
2π T
（1） A点的振动方程：
＝π
对照振动方程标准像：
y =Acos（ω t ＋j）
y A
=5cos（πt
+
0
)
=5cosπt （m）
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
（2）分别以A、B、0为原点的波动方程:
由波函数的标准方程（标准像）
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
分析：解这类题目时要用波函数中的第三个标准方程（标准像）
y = A cos
w(t -
x - xo u
) +j
u＝20 m/s
y(m) 5
10m
5m
· · · 0
AB
x
· · 0.5
o
1.5
t (s)
（a）
－5
（b）
从图（b）中可知t =0时，质点在正 的最大位移处并向y 轴的负方向运动
u＝20 m/s
.B A.
x
5m
（练习册P30填充题9·版书）
例题：平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿x 轴
正方向传播，如（a）所示。如果波线上A点的振动曲线
如图（b）所示。求：（1）A点的振动方程（2）分别以A、
B、0为原点的波动方程。
（练习册P14计算题2）
u＝20 m/s
y(m)
5
10m
Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
平面简谐波的波函数 波动方程
Equation of wave
定量地描述前进中的波动（也称行波） ，用数学 形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化 的规律。这样的函数式称为行波的波动方程。
§6-2 平面简谐波的波函数
一 . 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移 （坐标为 y）随时间t 的变化关系，称为波函数。
x
在此时间t 是隐函数，
不在波形图上。
已知振源（波源）
的振动方程为： y =A cos(ω t +j ) 0
1.时间推迟方法
1.时间推迟方法
y
u
o
· A P
x
已知振源（波源） 的振动方程为：
x y =A cos(ω t +j ) 0
振源的振动状态从0点以传播速度
u传送到P 点，显然时间要落后：t´＝
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
可理解为将Q点 作为计时原点。
y =A cos(ω t +j )
x
u
y =A cosω ( t－t´) +j P
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位 置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
2.相位比较方法
y
已知振源（波源）
u
的振动方程为：
o
· A P
x y =A cos(ω t +j )
0
x
P点的相位比 0点的相位落后: △j =jP - j
3
u =120
l =60
A= 5
得波动方程： y =5 cos 4π ( t＋12x0 )－π3 （m）
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为： u = 600m/s 。试写出波动方程。
y(m)
0
u
5 .12
解： 上坡下行
下坡上行
x (m)
0点在t 稍＞0 时
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
0.45 m
例题：一平面简谐波，振幅A＝5m ,向x 轴负方向传播，
C点
0·
y 求出初相位是
解题的关键。
0·
y
A
jc =－π2
例题：如图所示，为t=0时刻的简谐波形，试求
（1）0点的振动方程 （2）波动方程 （3）标出a 、b 两点的运动方向（4）x ＝0.2m 质点的振动方程。
（练习册P16计算题1·版书）
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
波速
u＝
B C
周期T
＝ω2π
＝
2π
B
初相位 j ＝0
l＝uT
＝B C
2π
B
＝ 2π
C
与波源相距为d 处的振动表达式为：
y =A cos（Bt－Cx ) =A cos（Bt－Cd )
波传播方向上相距为d 的两点间的相位差:
△j
＝
2lπ△x
＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。