光纤通信_波动方程推导
光纤技术及应用 石顺祥 复习资料
介质内的光场则为
且 或
1.3 程函方程与光线方程
1. 局部平面波 细光束在局部范围内可看作平面波
2. 程函方程
•将前式带入麦克斯韦方程，得
E B t
是光程
化简得到：
对比前面平面波关系
r
k r
E0
0H0
k H0 E0
得到
也就有
程函方程
光纤技术及应用
教材：光纤技术及应用 石顺祥 华中科技大学出版社 2009
第1章 光传输的基本理论
1.1 麦克斯韦方程组和波动方程
1.1.1 麦克斯韦方程组和边界条件
1 麦克斯韦方程
E B t
H D J t
D
B 0
物构方程
D εE B μH
或者说信息量是指从N个相等可能事件中选出一个事件所需 要的信息度量或含量，也就是在辩识N个事件中特定的一个事 件的过程中所需要提问"是或否"的最少次数.
香农（C. E. Shannon）信息论应用概率来描述不确定性。 信息是用不确定性的量度定义的.一个消息的可能性愈小，其 信息愈多；而消息的可能性愈大，则其信息愈少.事件出现的 概率小，不确定性越多，信息量就大，反之则少。
信道
发送机 接收机
将电信号转化为合适的传输形态，并加载到载波上
载波源 信道耦合器
放 大
模拟调制格式
（
，还
）
器件：
模拟信号：放大、滤波 数字信号：放大、滤波、门限判决
任何一个比 特时间内判 断是0、1
受信者为人：
声音，可视图像
受信者为其他设备：电形态信号
模拟光纤通信系统中不同参考点处的信号
特征方程反推
特征方程反推（1）概述光纤中的波动方程推导过程光纤数学模型是学习研究和分析光纤通信，光纤导波结构，非线性光纤光学的基础和核心。
光纤数学模型的起源于也是起源伟大的、美妙的麦克斯韦方程组，有其与以光纤作为一导波结构而延伸出的边界条件而构成。
其推导的过程可概述为：1麦克斯韦方程组+光纤自身物理特性（光纤是一种介质光波导，其不存在自由电荷，无传导电流，近似满足线性各向同性），在此条件可以进一步简化麦克斯韦方程，将方程转化为了一个齐次方程了。
在此基础上，根据电场与磁场对应的本构介质方程，加上矢量论中的常用的几个矢量恒等式，很容易实现麦克斯韦方程的电、磁场的分离，即得到电场和磁场独立的各自方程，也就是光纤中的电场强度E和磁场H的波动矢量方程。
此方程是波动的矢量方程，这是因为改方程没有对其折射率做进一步近似，也就是介电常数是空间分布是有变化的，也就是介电常数的梯度存在，因而该方程是基于电磁波理论光纤模型的精准模型。
计算该模型较为复杂，很难得到有效解。
因而，在此基础上，结合光纤的本身特性进一步简化：光纤中的折射率变化缓慢，再加上其自己结构特别横向尺寸较小，为此可以将其折射率在其空间位置上的变化近似忽略，即数学上表述为其折射率分布的梯度为零。
根据这一假定，上述得到的矢量波动方程进一步转化为标量波动方程。
Noting：标量波动方程一般经常被用于各种电磁波问题的假设场景中；该方程仅为近似方程，仅用于分析光纤系统中的一般问题也可以理解为一些共性问题；对于其系统的精密问题还是需要利用矢量波动方程进行求解；2.得到的标量波动方程进一步分析可知：对于E，H的对应的方程，他们都存在空间坐标和时间因子，即每个方程都是四维，四个变量：xyzt(笛卡尔坐标系下)，也就是他们存在时间坐标和空间坐标柔和；而其波动方程两部分，一个是对时间的二阶导数，一个对空间坐标的拉普拉斯算子，这两个算符是单独作用，独立运算的。
因而可以从数学的角度进行分离变量。
波动方程推导过程
波动方程推导过程1.假设波动是在一维空间中发生的，即沿着x轴传播，波的振动方向与x轴垂直。
假设波动是机械波，即需要介质来传播。
同时假设波动是纵波，即介质的波动方向与波的传播方向一致。
2.建立坐标系。
在一维空间中，选择一个坐标系，通常将波的起点设置为坐标原点。
3. 考虑微元上的受力平衡。
取波动方向为y轴，波的纵向位移为y(x,t)。
假设一个很小的区域，长度为dx，在位置x上物质点受到的作用力为F。
由于介质中粒子之间的相互作用，引起的弹力与位移成正比，且反向。
可以使用胡克定律来描述这个弹力关系：F=-k*y(x,t)其中k为弹性系数。
4.考虑微元上的惯性力。
在波的传播过程中，介质中的粒子具有质量，会有惯性力的作用。
由于波的传播方向是沿着x轴，所以x方向上的惯性力对受力平衡没有贡献。
所以只需要考虑y方向上的惯性力。
根据牛顿第二定律，惯性力与加速度成正比。
粒子的加速度可以用纵向速度对时间的导数来表示：F = m * d²y/dt²其中m为单位长度的质量。
5.结合弹力和惯性力。
将弹力和惯性力相加，得到微元受到的总力：F = -k * y(x,t) - m * d²y/dt²6.使用牛顿第二定律来描述微元受到的总力。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
将微元受到的总力代入方程中，得到：-m * d²y/dt² = -k * y(x,t) - m * d²y/dx²7.化简方程。
将方程重写为标准形式：d²y/dx² = (1/v²) * d²y/dt²其中v²=k/m为波速的平方。
8.一维波动方程的描述。
将标准形式的方程扩展为一维波动方程：d²y/dx² - (1/v²) * d²y/dt² = 0这就是波动方程，它描述了波沿着x轴传播的过程。
光纤通信原理第2章光纤2波导
麦氏方程----波动方程
直角坐标----柱坐标、归一化、通解
边界条件----特征方程 解 唯一
单模光纤分析
线偏振标量模
各个模式的截止曲线 传导模特性
☆波导方程的推导思路
麦克斯韦方程组
H J D t
E B t
• B 0 2.2.0.1
由波动方程求出满足边界条件的纵向场分量EZ、 HZ，再由麦氏方程组求出其它四个横向量
问题：
烦杂，除特例外，一般无解析解
办法(几个假设)
弱导近似，△<<1， —仅能传输单个模式 标量近似(阶跃光纤）—偏振方向不变 WKB近似(梯度光纤）
（振幅缓变，振幅的导数与振幅本身相比的项都忽略）
解决办法
•D
H-磁场强度，E-电场强度 B-磁感应强度，D-电位移矢量 -电荷密度，J-电流密度
电荷守恒定律
• J 0tBiblioteka 2.2.0.2物质方程
J E
2.2.0.3
D 0 E P 0r E B O H M Or H O H
P-媒质极化强度，M-磁化强度
-媒质电导率，o、o-自由空 间的介电常数和磁导率
×
弱导近似
° △<<1,NA=n0sinc≈1， c≈90
√
此时在光纤中传播的电磁波非常
接近于TEM波（横电磁波，比如平面波，只有横 向分量Et、Ht ，纵向分量Ez、Hz均为0） Ez、Hz 均很小，横向分量Et、Ht 很强
标量近似(阶跃光纤）
Et、Ht 的偏振方向在传输过程中保持不变，可 以用一个标量描述。即可以设：横向电场沿y
Ey (z) Ey (0)e j z
2.3.1 麦克斯韦方程及波动方程_光纤通信技术（第3版）_[共2页]
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22㊀光纤通信技术(第3版)2.3 用波动理论分析光纤的导光原理要用波动光学的方法分析光纤的导光原理,则必须从电磁场的基本方程式出发㊂2.3.1㊀麦克斯韦方程及波动方程光波既然是一种电磁波,那么,它必须服从电磁场的基本规律㊂而一切宏观电磁现象应遵循的基本规律又是麦克斯韦方程式,因此,光波在光导纤维中传播一定服从麦克斯韦方程,即电磁场的基本方程式㊂这样,当用波动理论方法来研究光在光纤中传播时,显然应从麦克斯韦方程式出发㊂这也正是为什么在一些 光纤通信 的书中,对光纤分析时出现电场强度E和磁感应强度B 这些电磁场参量的原因㊂1.电磁场的基本方程式由物理的电磁学知识知道,当电磁场随时间做简谐(正弦或余弦)规律变化,并在各向同性①㊁无源的均匀质中传播时,麦克斯韦方程式表示为复数形式,而且电流密度矢量J= 0,电荷密度̇ρ=0,这时复数微分形式的麦克斯韦方程式表示为∇ˑ̇H=jωε̇E(2-3-1a)∇ˑ̇E=-jωμ̇H(2-3-1b)∇㊃̇E=0(2-3-1c)∇㊃̇H=0(2-3-1d)需要说明的是:上述表达式是利用了̇D=ε̇E及̇B=μ̇H的关系而获得的;带 ㊃ 的符号均为复矢量㊂式中,E为电场强度矢量,单位是V/m;H为磁场强度矢量,单位是A/m;B为磁感应强度矢量,单位是W b/m2;D为电位移矢量,单位是C/m2;∇ˑ为旋度;∇㊃为散度㊂显然,光在光导纤维中传播时,光波中的E和H应满足上述这种关系式㊂当然,这种关系是不便于求解的,因为在表达式中既有E又有H,还需进一步推导,这就是下面将要讨论的问题㊂2.电磁波的波动现象由麦克斯韦第一方程式看出,时变电场可以产生时变磁场;由第二个方程式则可看出,时变磁场可以产生时变电场㊂当然,这个新产生的时变电场又将产生时变磁场,这个时变磁场又将产生时变电场 如此这样不断地循环下去,电场和磁场之间就这样互相激发,互相支持㊂显然,在这种过程中,电磁场就可以脱离最初的激发源,而由时变电场和时变磁场互相激发,像波浪一样,一环一环㊁由近及远地传播出去,形成电磁波的传播现象㊂①各向同性是指在介质中,不论在什么方向加电场和磁场,介质的参量ε和μ的数值都保持不变㊂。
波动方程的推导过程
波动方程的推导过程波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念开始，逐步推导波动方程的过程。
我们先来定义一下波动的概念。
波动是指某一物理量在空间和时间上的变化传播。
例如，水波是水面上某一点的起伏变化在水面上的传播，声波是声压的变化在空气中的传播。
在波动现象中，最基本的是波动的传播速度。
传播速度可以用波长和周期来表示。
波长是指波动中一个完整的周期所对应的空间距离，通常用λ表示，单位是米(m)；周期是指波动的一个完整周期所需要的时间，通常用T表示，单位是秒(s)。
波动的传播速度v可以用波长和周期的关系来表示，即v = λ/T。
接下来，考虑一维波动问题，即波沿着一条直线传播。
设波沿x轴方向传播，传播方向为正方向。
我们假设波动的振幅在空间和时间上都是连续变化的，用函数y(x, t)来描述波动的振幅。
其中，x表示空间坐标，t表示时间。
对于一维波动，我们可以通过观察波动传播的方式来推导波动方程。
设波动的传播速度为v，根据波长的定义，我们可以得到一个重要的结论：在一段时间内，波动在空间上传播的距离等于传播速度乘以这段时间。
即Δx = vΔt。
这个结论可以用来推导波动方程。
考虑某一时刻t和某一空间位置x，波动的振幅为y(x, t)。
我们假设在这一时刻和这一位置附近，波动的振幅分布与振幅的空间和时间导数有关。
根据这个假设，我们可以得到一个微分方程：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中，∂²y/∂t²表示波动振幅y关于时间t的二阶导数，∂²y/∂x²表示波动振幅y关于空间x的二阶导数。
这个微分方程就是一维波动方程。
通过对波动方程的推导，我们可以看出波动方程描述了波动振幅随时间和空间的变化规律。
在波动方程中，左边表示波动振幅随时间的变化率，右边表示波动振幅随空间的变化率。
波动方程的解就是波动振幅随时间和空间的变化规律。
光纤传输原理
要详细描述光纤传输原理，需要求解由麦克斯韦 方程组导出的波动方程。但在极限(波数k=2π/λ非常 大，波长λ→0)条件下，可以用几何光学的射线方程 作近似分析。几何光学的方法比较直观， 容易理解， 但并不十分严格。不管是射线方程还是波动方程， 数学推演都比较复杂， 我们只选取其中主要部分和 有用的结果。
d 2Ea (r) dr 2
1 r
dEZ (r) dr
u2 (a2
v2 r2
)EZ
(r)
0
(0≤r≤a) (2.23a)
d 2Ea (r) dr 2
1 r
dEZ (r) dr
w2 ( a2
v2 r2
)EZ
(r)
0
(r≥a)
(2.23b)
因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输， 在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层 (r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时， 电磁场应消逝为零。
2E ( nw)2 E 0 c
2H ( nw)2 H 0 c
(2.18)
式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量， c为光速。选用圆 柱坐标(r, φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得 到电场的z分量Ez的波动方程为(磁场分量Hz方程的形式完全相同)：
根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则
应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。因此，在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场
Hz(r, φ, z)
Ez1(r, φ, z)
A J v (ur / a) e j(v) Jv
Hz1(r, φ, z)=
c = 1/( o o )1/2 = 3.0×108 m/s 与真空中的光速相等。
光纤通信第五版-第5章-光纤波导的场
标量解法 矢量解法
一、标量解法
1．标量近似
在弱导波光纤中，光线几乎与光纤轴平行。因此其中的E和H几
乎与光纤轴线垂直。
横电磁波（TEM波）：把E和H处在与传播方向垂直的横截面上
的这种场分布称为是横电磁波，即TEM波。
因此可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间矢量E变为沿
传输方向其方向不变（仅大小变化）的标量E。
亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的场分布。
用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两种解 法：
矢量解法
标量解法。
矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条件的 波动方程的解。
标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与光纤 轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场方程、特 征方程并在此基础上分析标量模的特性。
a) a)
其中，定义了
U k02n12 2 ,W 2 k02n22
Jm(Ur)是m阶第一类标准贝塞尔函数，Km(Wr)是m阶第二类修正贝塞尔 函数。常数A、B、C、D由边界连续条件确定。
V U 2 W 2 a ak0 n12 n22
2.4 模式及其基本性质
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方 程
设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得 到的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz
推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向 同性而且电磁场是简谐的。
m表示导波模式的场分量沿纤芯沿圆周方向出现最大值的个数，n表 示沿径向出现最大值的个数。
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光纤通信报告
1.麦克斯韦方程组
光是电磁波，用波动理论来分析电磁场的分布，获得更准确的光纤的传输特性必须从麦克斯韦方程组出发：
0B
E t
D H J t
D B ρ
∂∇⨯=-
∂∂∇⨯=+∂∇⋅=∇⋅= 光纤不是电的导体，不存在电流，电流，电流密度0J =
光纤中不存在自由电荷，所以电荷体密度0v ρ=
0B
E t
D H t
D B ∂∇⨯=-
∂∂∇⨯=∂∇⋅=∇⋅=
2.波动方程
设光纤无损耗，在光线中传播角频率为ω的单色光，电磁场与时间t 的关系为j t e ω，则波动方程为：
222222
0o o E n k E H n k H ∇+=∇+=
0k 为真空中的波数：
02k c ωπλ=
=
3.柱坐标下的波动方程
利用光纤的圆柱对称性，将波动方程写成圆柱坐标的形式：
电场的z 分量z E 的波动方程为：
2
22222222110z z z z z E E E E n E r r r z c ωφφ∂∂∂∂⎛⎫++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
4.边界条件及贝塞尔函数的求解
()()
22222102222222202210010d R dR m n k R r a dr r dr r d R dR m n k R r a dr r dr r ββ⎧⎛⎫++--=≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++--=> ⎪⎪⎝⎭⎩ 上式是贝塞尔函数的微分方程，可以有多种()R r 与β的组合满足方程，每一个组合称为一个模式。
在纤芯中名要求具有振荡特性，即
22210100,n k n k ββ-><
在包层中，要求具有衰减特性，即
22220200,n k n k ββ-><
所以传播传播常数必须满足的条件是
2010n k n k β<<
对于突变型光纤，贝塞尔方程的解得形式为：
()(),()()(),
m m m m AJ r A Y r r a R r BK r B I r r a χχγγ'+≤⎧=⎨'+>⎩
A 、A '、
B 、B '为常数；
m J 为第一类贝塞尔函数；
m Y 为第二类贝塞尔函数；
m K 为第二类变形贝塞尔函数； m I 为第一类变形贝塞尔函数；
χ、γ定义为
2222
10222220n k n k χβγβ=-=-
波动方程的通解的形式为：
()()im i z m z im i z m AJ r e e r a E BK r e e r a φβφβγγ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
同样可以得到：
()()im i z m z im i z m CJ r e e r a H DK r e e r a φβφβγγ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
A 、
B 、
C 、
D 待定。
A 、
B 、
C 、
D 斯格常数表示出了光纤纤芯和包层的电磁场分布情况。
这些常数必须满足电场
E 、磁场H 在纤芯和包层分层界面上切向分量连续的边界条件，即在r a =处有： ()()
()()
()()
()()z z z z E r a E r a E r a E r a H r a H r a H r a H r a φφφφ≤=>≤=>≤=>≤=>
可得A 、B 、C 、D 四个常数必须满足的四个齐次方程。
这些方程只有系数矩阵的行列式为零时，才有平凡解。
在对贝塞尔函数的微分方程的求解过程中，应用纤芯—包层边界条件，求得： 传播常数β的特征方程为
2
22222110()()()()11()()()()m m m m m m m m J a K a J a K a n m J a K a J a n K a n aK χγχγβχχγγχγγγχγ⎡⎤⎡⎤⎛⎫''''⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 因无法导出β的解析表达式，只能数值求解
5.光纤的模式及其分布
模式：mn β所对应的这种空间分布，在传播过程中只有相位变化，没有形状的变化，且始终满足边间条件，这种空间分布称为模式。
进入光纤的光分解成为“模式”的离散光束，模式是在光纤内部存在的稳定的电磁场模型。
每个模式可以认为是以特定传播角传播的独立光束。
以不同角度入射到光纤的射线将形成光线中不同的模式
光纤中的电磁场模式不同于平面波导，一般z E 、z H 都不为零。
当方位角模数0m =时：
在传输方向无磁场的模式称为横磁模On TM 。
(0,0;z r H H E φ===仅有z E 、r E 、H φ、)H φ
在传输方向无电场模式称为横电模On TE 。
(0,0;z r E E H φ===仅有z H 、r H 、)E φ
当0m ≠时，电磁场六个分量都存在，E 和H 都拥有纵向（即沿着传播方向z ）分量，这些模式称为混合模。
磁场贡献为主()z z H E >—mn HE
电场贡献为主()z z E H >—mn EH
在弱导光纤中，z E 、z H 都近似零。
存在的摸式线性偏振（linearly Polarrized ）摸—mn LP 。
为了决定截止条件，定义归一化频率V ：
22120122()2aNA V k a n n an πλπλ
⎧⎪⎪=-=⎨⎪⎪⎩归一化频率V 越大，能够传播的模式数就越多。
V 值较高的光纤可以支持较多的模式，称为多模光纤。
模式数目随V 的减少快速减少。
5,7V =个模式。
当V 小于某个值，初11HE 模式外，所有模式被截止。
只支持一个模式（基模）的光纤被称作单模光纤。
单模光纤的截止波长：
单模条件：
2.405V =≤
, 2.405c V λλ==
,c λλ>单模传输。
,c λλ<多模传输。