一维波动方程的达郎贝尔公式

第四章 行波法
一 一维波动方程的达郎贝尔公式 1达郎贝尔公式
在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。

考虑无限长弦的自由振动问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)
(|),(|0, ,0
022
2
22x t
u x u t x x
u a t u t t φϕ ① 作自变量的代换
⎩⎨
⎧-=+=at
x at
x ηξ 利用复合函数的微分法有：
η
ξ∂∂-∂∂=∂∂u
a
u a t u )2(22
2222
22η
ηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u
同理有：2
2222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u
u u x u 将①化为：02=∂∂∂η
ξu
并将它两端对η进行积分得：
)(0ξξ
f u
=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分
)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰
=
)()(21at x f at x f -++ ②
其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。

由初始条件可得：
)()()(21x x f x f ϕ=+ )()()(2''
1x x f x af φ=+
通过积分可得：
⎰+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(
称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。

2解的物理意义
由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。

)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称
为右行波。

同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。

由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的
依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分
别a
1
± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。

这里要掌握半无限长弦的自由振动问题和一维非齐次波动方程的柯西问题的解。

3 半限长弦的自由振动问题 定解问题
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=∂∂==>>∂∂=∂∂===)
10.4()(|),(|)9.4(0|)8.40,000022
2
22
（
， x t u
x u u x t x u a t u t x x φϕ 用延拓法求解，注意边界条件（4.9），采用奇延拓。

令
⎩⎨⎧<--≥=Φ 0),(0,)()(x x x x x ϕϕ
⎩⎨⎧<--≥=ψ　
0),(0,)()(x x x x x φφ
考虑定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧ψ=∂∂Φ=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022
2
22x t
u x u t x x
u a t u t x 它的解可由达郎贝尔公式得：
⎰+-ψ+-Φ++Φ=at
x at x d a
at x at x t x U ξξ)(21)]()([21),(。

4 一维非齐次波动方程的柯西问题
定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂==)12.4()(|),(|)11.4(0,),(0022
2
22 ， x t
u x u t x t x f x
u a t u t x φϕ 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ，　)(|),(|0,00222
22x t u x u t x x
u a t u t x φϕ
(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ，　0|,0|0,),(0022
2
22t x t
u u t x t x f x
u a t u
其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ⎰+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。

对于问题(II)，有下面重要的定理。

定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>∂∂=∂∂== ， ),(|,0|22
2
22τωωτωωττx f t
t x
a t t x 的解)0(≥τ，则⎰=t
d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。

二 三维波动方程的柯西问题 1 三维波动方程的泊松公式 考
虑
三
维
波
动
方
程
的
柯
西
问
题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==)18.4(),,(|),,,(| 4.17(0,,, )(0022
22222
22 ） z y x t
u z y x u t z y x z u y u x u a t
u t t φϕ (1)三维波动方程的球对称解
如果将三维波动方程的空间坐标用球坐标表示，则波动方程化为：
2222
222sin 1)(sin sin 1)(1ϕ
θθθθ∂∂+∂∂+∂∂∂∂u
r u r r u r r r = ） （19.412
22t
u
a ∂∂ 如果波函数u 与θ，ϕ变量无关，而只与变量t r ,有关，即
u 是所谓球对称的，这时式可简化为：
)(122
r u r r r ∂∂∂∂=2221t
u
a ∂∂ )2(222
2
2r u r u r a t u ∂∂+∂∂=∂∂ 即有：2
2
2
22)()(r
ru a t ru ∂∂=∂∂。

这是关于的一维波动方程，其通解为：
)()(),(21at r f at r f t r ru -++=
从而)]()([1
),(21at r f at r f r
t r ru -++=即得到三维波动方程
关于原点为球对称的解。

(2)三维波动方程的泊松公式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==)18.4(),,(|),,,(| 4.17(0,,, )(00222222
222 ） z y x t
u z y x u t z y x z u y u x u a t
u t t φϕ 的解为：
=),,,(t z y x u t a ∂∂π41ds at M
at
S ⎰⎰),,(ζηξϕ＋a π41ds at M at
S
⎰⎰
),,(ζηξϕ，称它为三维波动方程柯西问题的泊松公式。

这里要求掌握三维波动方程柯西问题的泊松公式的推导过程。

2降维法
利用三维波动方程柯西问题的泊松公式来导出二维波动方程柯西问题的解。

这种利用高维问题的解推导低维问题的方法称之为降维法。

二维波动方程的柯西的问题：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂+∂∂=∂∂==)
,(|),,(|0,,, )(0
022
222
22y x t
u y x u t z y x y u x u a t
u t t φϕ
令),,(),,(_
z y x u z y x u =，将上式的解视为特殊的三维问题，最后得到问题的解为：
⎰⎰
----∂∂
=M at
C
d d y x at t a t y x u ηξηξηξϕπ2
22)
()()()
,(21),,(+ +⎰⎰----∂∂M at
C
d d y x at t
a ηξηξηξφπ2
22)
()()()
,(21 称此式为二维波动方程柯西问题的泊松公式。

随了掌握这个公式，还要掌握这个公式的物理意义。