7-1 一维波动方程的达朗贝尔公式 chen

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7.1达朗贝尔公式

Wuhan University
u ( x, y ) = ?
答： x
五、小结
1、
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
u xx 1 1 ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + = [ϕ [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2a
Wuhan Uni7.1
达朗贝尔公式
1、适定性：（2）任意性已由初始条件唯一确定。（3）稳定性：设
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a
的解为
方程（1）的通解为
u ( x , y ) = f 1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
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2能否用行波法求解??????302sin010321xxuxxuuuuyyyxyxx???????????0cos110012222yyyuxxxuyxyxyxu71达朗贝尔公式3yxyx?????????????yxyx3本节作业习题71
Methods of Mathematical Physics 武汉大学物理科学与技术学院
∂x ∂y ∂x ∂y
⎧uxx + 2uxy − 3u yy = 0 (1) ⎪ (1) ⎨u( x,0) = sin x (2) ⎪u ( x,0) = x (3) ⎩ y

第七章波动方程初值问题

x1 a(t0 t ) x0 at0
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2

(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式

u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。

一维波动方程的达郎贝尔公式

一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。

考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。

由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。

2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。

)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。

同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。

由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。

数学物理方法课件第七章-----行波法

变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x

一维波动方程的达朗贝尔公式

2
2a xat
cos(at) cos x t e .
8
第8页/共44页
*§9.2 三维波动方程的Poisson公式
• 三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：
2u t 2
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u z2 )
x, y, z ,t 0,
u (x, y, z), t0
u t
t0
6
第6页/共44页
所以 (x at)代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行波。而
第一项
(则x 代表at以) 速度a沿x轴的负向传播的波，称为反行波。
正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
再讨论只有初速度的情况。此时式（9.1.11）给出：
u(x,t) 1
xat
( )d
2a xat
3
第3页/共44页
u(x,t) f ( )d f2() f1(x at) f2(x at) （9.1.6）
式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。
在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数与 f1的具f体2 形式。
为此，必须考虑定解条件。
下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。
令 r 0利用L’Hospital（洛必塔）法则得到：
__
u (0,t)
___
0 (at)
___
at 0(at)
t
___
1 (at)
1 a
t
(at
)
___
0 (
at
)
t
___
1 (at)
1 0 (x sin cos, y sin sin, z cos ,t) (at)2 sin dd

一维波动方程的达朗贝尔公式

t sin x cos at (3 x 2 a 2t 2 ) 3
x at
x at
2d
例2
utt a 2uxx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
x at
(x)
x1
x2
1 ( )d 2a
x at

( )d
( x at ) ( x at )
x
0
x1
x2
1 u ( x, t ) at ( )d 2a x 1 2a
x at
x at
1 ( )d 2a
e
( x at )2
1 ] （e 2
2
）
x at x at
( x at ) 2
例3
utt a 2uxx 0, x u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
x x1 , x2 x1 x x2 , x2 x1 x1 x2 x1 x 2 x1 x2 x x2 2 x x1 , or , x x2
对第二式作定积分得：
1 x f1 ( x) f 2 ( x) ( )d f1 ( x0 ) f 2 ( x0 ) a x0
由此解得：
x 1 1 1 f1 ( x) 2 ( x) 2 a ( )d f1 ( x0 ) f 2 ( x0 ) x0 2 x f ( x) 1 ( x) 1 ( )d 1 f ( x ) f ( x ) 1 0 2 0 2 2 a x 2 0 2

波动方程的达朗贝尔解

简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对积分
u C1 f
对积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用求通解的方法来处理。

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ξ = x + at , η = x − at ,
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⎧ξ = x + at 在变换 ⎨ ⎩η = x − at
下，利用复合函数微分法则得:
∂u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂ η ∂ u ∂ u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂ η ∂ x ∂ ξ ∂ η
∂ u ∂ u ∂ u ∂ u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2 2 2 2
同理有:
⎡ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ = a2 ⎢ 2 − 2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
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用行波法求解这一问题,首先要求出 utt = a uxx 的通解.可作如下代换: ⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
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一维齐次波动方程
utt = a uxx
2
的通解为:
u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
其中 f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数.
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利用初始条件来确定通解中的任意函数 f1 , f 2 .将通解代入定解条件中,得:
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因为在特征线 x − at = C 2 上,右行波 u2 = f 2 ( x − at ) 的振幅取常数值 f 2 (C 2 ) ,在特征线 x + at = C1 上,左行波 u 1 = f1 ( x + at )的振幅取常数值 f1 (C1 ) ,且这两个数值随特征线的移动(即常数 C i ( i = 1, 2) 的改变)而改变,所以波动实际上是沿特征线传播的.
u( x , y ) = f1 (3 x − y ) + f 2 ( x + y )
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例题
代入 u | y = 0 = 3 x , u y | y = 0 = 0 得:
2
⎧ f1 (3 x ) + f 2 ( x ) = 3 x 2 ⎪ ⎨ ⎪ − f1′(3 x ) + f 2′( x ) = 0 ⎩ 1 − f1 (3 x ) + f 2 ( x ) = C 3 f1 (3 x ) = (4 9) x 2 − C ′
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对于常微分方程
⎧ y′′( t ) = 0 ⎪ ⎨ y′(0) = 1 3 ⎪ y(0) = 0 ⎩
B=0
先求通解: y( t ) = At + B
⎧ A·0 + B = 0 再用初始条件求特解: ⎨ ⎩A = 1 3
y( t ) = (1 3)t
2
利用复合函数微分法则得: ∂u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂ η ∂ u ∂ u = + = + ∂x ∂ξ ∂x ∂ η ∂ x ∂ ξ ∂ η
∂ u ∂ u ∂ u ∂ u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
2 2 2 2
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代入 utt = a 2 uxx 得:
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
再Байду номын сангаас特解,形如:
1 u= [ 2 1 ] + 2a ∫
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2.特点: (1)求解出发点是基于波动现象的特点为背景的变量变换; (2)引入了坐标变换简化方程; (3)优点: 求解方式易于理解,求解波动方程十分方便; (4)缺点: 通解不易求,使之有局限性,一般只用它求解波动问题.
⎧ξ = x + at 变换 ⎨ 常称为特征变换,行波法称为特征线法. ⎩η = x − at
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1.解题步骤:
⎧ utt = a 2 uxx ⎪ ⎨ u |t = 0 = ϕ ( x ) ⎪u | = ψ ( x) ⎩ t t =0
utt = a 2 uxx 求出通解: 先用
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所以在有限的时间内,当初始条件有微小改变时,其解也只有微小改变,即达朗贝尔解是稳定的. 综上所述,达朗贝尔解是适定的.
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u1 = f1 ( x − at ) 表示一个以速度a 沿x 轴正方向传播的行波,称为右行波. u2 = f 2 ( x + at ) 表示一个以速度a 沿x 轴负方向传播的行波,称为左行波. 右行波和左行波的叠加(相加)就给出弦的位移. 即达朗贝尔解表示右行波和左行波的叠加.
u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
⎧ u( x , 0) = ϕ ( x ) ⎨ ⎩ ut ( x , 0) = ψ ( x )
⎧ f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) ⎨ ⎩ af1′( x ) − af 2′( x ) = ψ ( x )
x=
x1
x
+a t
x= x1 t −a
+a
x1 t −a
由此可以看出,在 x-t
1 平面上斜率为 ± a
的两族直线
x ± at = 常数,对一维波动方程 utt = a 2 uxx 的研究起着
utt = a 2 uxx 的重要的作用,我们称其为一维波动方程
特征线.
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1 1 x C f1 ( x ) = ϕ ( x ) + ∫0 ψ (ξ )dξ + 2 2 2a 1 1 x C f2 ( x) = ϕ ( x) − ∫0 ψ (ξ )dξ − 2 2 2a 将上式代回到 u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
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23
例题
求解弦振动方程的柯西问题 ⎧ ∂ 2u ∂ 2u ( t > 0, −∞ < x < ∞ ) − 2 =0 ⎪ 2 ∂t ∂x ⎨ ⎪ u( x , 0) = x , u ( x , 0) = sin x ( −∞ < x < ∞ ) t ⎩ 由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x + at u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫x −at ψ (ξ )dξ 2 2a
这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔解.
中,即得方程定解问题的特解:
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易于验证,只要φ 有直到二阶的连续导数,ψ 有一阶的连续导数,达朗贝尔解是满足定解问题的,即达朗贝尔解是存在的. 又从求解的方法中看到,通解中的任意函数以由初始条件完全确定,故达朗贝尔解是唯一的. 现在来证明达朗贝尔解的稳定性.设初始条件有两组,且它们相差很小,即: ⎧ψ 1 ( x ) ⎧ϕ1 ( x ) u |t = 0 = ⎨ ; ut |t = 0 = ⎨ ϕ2 ( x) ⎩ψ 2 ( x ) ⎩
3x − y = C1 x + y = C2
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例题
作特征变换
⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
它的通解为:
∂ 2u 16 =0 ∂ξ∂η
u = f1 (ξ ) + f 2 (η )
其中 f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数.原方程的通解为:
⎡ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2 =a ⎢ 2 −2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ = a2 2 = a2 ⎜ 2 + 2 + 2⎟ ∂x ∂ξ∂η ∂η ⎠ ⎝ ∂ξ
化简，得:
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
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t
( x, t )
依赖区间
O x − at
x + at x
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t
x=
t
t
x1
x=
O
x1
x2
x
O
x1
x2
决定区间
影响区间
在区间[ x1 , x2 ]上给定初始条件,就可以在其决定区间域中决定初值问题的解.
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⎧ uxx + 2uxy − 3u yy = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪u | y=0 = 3 x , uy | y=0 = 0 ⎩
y > 0, −∞ < x < +∞
−∞ < x < +∞
先确定所给方程的特征线.为此写出它的特征方程: 它的两族积分线为:
(dy )2 − 2dxdy − 3(dx )2 = 0
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思考: 达朗贝尔公式表示，由任意初始扰动引起的自由振动以行波的形式向正、反两个方向传播出去，传播的速度正好等于泛定方程中的常数 a .

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7.1达朗贝尔公式

第七章 波动方程初值问题

(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式

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数学物理方法课件第七章-----行波法

一维波动方程的达朗贝尔公式

一维波动方程的达朗贝尔公式

波动方程的达朗贝尔解

第七章波动方程初值问题