大学物理 波动
大学物理波动部分公式
• 弹簧振子作简谐运动的总能量（守恒）、动能、势能：
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 2 + 2 2 = 2 2 2 = 2 2 ； = 2 2 = 2 2 2 2 ( + )； = 2 2 = 2 2 2 ( + )
• 两个同方向同频率简谐振动的合成
•
=
= 2； =
• ⑤简谐振动的速度： =
2
• ⑥简谐运动的加速度： =
= 2
；=
2
=⥂
1
2
；=
1
= − ( + )
2
2
=
= −2 ( + )
• 单摆作简谐运动：
•
2
运动方程： 2 = −
• 机械振动
• 弹簧振子作简谐运动：
• ①加速度: = = − = −2
•
2
②微分方程: 2
= −2
• ③运动方程: = ( + )
• 或 = ( + ′ ) 其中 ′ = + 2
• ④弹簧振子的角频率、频率、周期、劲度系数之间的关系：
10
0
• 电磁波波速： =
• 声强级： =
电磁震荡与电磁波
2
2
1
+ = 0无阻尼自由震荡（有电容C和电感L组成的电路）
= 0 ( + )
=
1
大学物理_波动及课后习题
A 2
2 0 3
取 S点为坐标 原点，以
波的传播方向为 x 轴正方向。
2) 在 x 轴上任取一点 P, OP = x ,
y
o s
x
u
P
x
由于 P点相位落后
S点的时间为—— 于是得到波的表达式为 ：
x 2 y 8 10 cos[ (t ) ]m u 3
2
结论：
(1) 质元并未“随波逐流”
波的传播不是媒质质元的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 t T /于“下游”某处出现 4 ---波是振动状态的传播
(4) 同相点----质元的振动状态相同
t T / 4 t 5T / 4 t T / 2
x
故
将
p
x
4m
s
D
x y 0.05 cos[3(t ) ](SI ) 2 3
x D 4m 代入波方程，得到 D点的
振动方程:
y D 0.05 cos[3(t 2) ](SI ) 3
(2). 以 S 点左方7m处的 O 点为坐标原点， 取 x 轴正方向向右，写出波方程及 D 点的 振动方程。 u
x / cm
0 0
5 yo cos( t ) 3
5 x y cos[ (t )] 3 10
方法2： 将波形倒退
6
得出 t 0 波形，再写方程！ …..
0 0
20.2 解：应用时间落后法，
可得
ξ 0 0.1 x x
x 0.1 y 0.05sin[1.0 4.0(t )] 0.8 0.05sin[(4.0t 5 x 0.5)] 0.05sin[ (4.0t 5 x 0.5)] 0.05sin(4.0t 5 x 2.64)
大学物理波动与声学知识点汇总
大学物理波动与声学知识点汇总在大学物理的学习中，波动与声学是十分重要的部分。
它们不仅在物理学中有着基础且关键的地位，也在众多实际应用领域发挥着重要作用。
下面让我们一起来梳理一下这部分的重要知识点。
一、波动的基本概念波动是一种常见的物理现象，它是振动在介质中的传播过程。
（一）机械波的产生条件机械波的产生需要两个条件：一是要有做机械振动的物体，即波源；二是要有能够传播这种机械振动的介质。
（二）横波与纵波根据质点振动方向和波的传播方向的关系，波可以分为横波和纵波。
横波中质点的振动方向与波的传播方向垂直，例如电磁波。
纵波中质点的振动方向与波的传播方向平行，像声波就是典型的纵波。
（三）波长、波速和频率波长是指相邻两个同相点之间的距离。
波速是指波在介质中传播的速度，它由介质的性质决定。
频率则是波源振动的频率，等于单位时间内波源完成全振动的次数。
三者之间的关系为：波速＝波长×频率。
二、波动方程波动方程描述了波在空间和时间上的变化规律。
（一）简谐波的波动方程对于简谐波，其波动方程可以表示为：y ＝ A sin(ωt kx ＋φ) 或 y ＝A cos(ωt kx ＋φ) ，其中 A 为振幅，ω 为角频率，k 为波数，φ 为初相位。
（二）波动方程的物理意义波动方程反映了在不同时刻、不同位置处质点的位移情况。
通过波动方程，可以了解波的传播特性和质点的振动规律。
三、波的能量波在传播过程中伴随着能量的传递。
（一）能量密度能量密度是指单位体积内波所具有的能量。
（二）平均能量密度在一个周期内能量密度的平均值称为平均能量密度。
（三）能流和能流密度能流是指单位时间内通过垂直于波传播方向的某一面积的能量。
能流密度则是指通过垂直于波传播方向单位面积的能流，也称为波的强度。
四、波的干涉当两列波相遇时，会产生干涉现象。
（一）干涉的条件两列波的频率相同、振动方向相同、相位差恒定，才能产生稳定的干涉现象。
（二）干涉加强和减弱两列波在相遇点的相位差为2kπ（k 为整数）时，干涉加强；相位差为(2k ＋1)π 时，干涉减弱。
大学物理 波动
x
u)]
Wk
Wp
1 2
V2 A2
s in 2 [ (t
x)] u
3. 总机械能
W
Wk
Wp
V 2 A2
sin 2 [ (t
x)] u
4. 能量密度
w
wk
wp
2 A2
s in 2 [ (t
x)] u
5. 平均能量密度
w 1 T A2 2 sin2[(t x)]dt 1 A2 2
T0
u2
讨论：1)平均能量密度与振幅平方 、频A率2 平
球面波
在各向同性的媒质中 波线 波面。
§2 一维简谐波的波函数
一、简谐波波函数
用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移 ，这样的函数 y=y(x,t)称为行波的波函数。
设一列简谐波向右传播，波速为u。沿波的传播方 向建立ox轴，x轴上各点代表各质元平衡位置，y轴
表示质元离开平衡位置的位移。
o
间双重周期性。
x ut
4. 沿x轴负向传播的简谐波函数
y0 Acos(t )
u y
P
y y0 (t t)
o
x
xx
t
Acos[(t t) ]
u
u
Acos[(t x ) ]
u
已知x=0处振动方程: y0 Acos(t )
则简谐波函数:
y Acos[(t x ) ]
绳 上
·························t = T/4
的 简 谐 横
··················································t
t = T/2 = 3T/4
大学物理_波动方程
《大学物理》 4、波动方程的几点讨论：
I、波沿x轴负向传播时，波动方程为：
yAco2s(Tt x)
y
II、波动方程中，x取固定值则得
到振动方程。
0
t
y0Aco2s(Tt x0)
y
u
III、波动方程中，t取固定值则
得到波形方程。
yAco2s(T t0x)
0
x
《大学物理》
例2 频率为12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为
0.1 10 3 cos( 25 10 3 t ) m 2
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为
2
， 或 落 后 1 T ， 即 2 10 5 s 。 4
( 4 ) 该 两 点 间 的 距 离 x 10 cm 0.10m
1 ，相应的相位差为 4
2
(5 ) t= 0 .0 0 2 1 s 时 的 波 形 为
1 0
2
根据已知条件,初相为:
x
2
y 1 co (t sx )[ /2 ]
《大学物理》
(2)按题设条件,t=1s时的波形方程为:
y1cos(1[x)/2]
y
u
sinx
1
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点02 Nhomakorabeax
振动方程为:
y1cos(t[0.5)/2] cost()
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程.
解 棒中的波速
u Y 1.9 1011 N m2 5.0 103 m/s
大学物理波动的知识点总结
大学物理波动的知识点总结一、波动的基本概念1.波动的定义波动是一种可以在介质中传播的能量或者信息的方式。
波动既可以是物质的波动，比如水波、声波等，也可以是场的波动，比如电磁波等。
根据波的传播方式和规律，波动可以分为机械波和电磁波。
2.波动的特点波动具有传播性、干涉性、衍射性和波粒二象性等特点。
波动的传播性表明波动能够沿着介质传播，干涉性指波动能够互相叠加，并产生干涉现象，衍射性说明波动能够弯曲传播并产生衍射现象，波粒二象性则是指波动既具有波动特征，也具有粒子特征。
3.波的基本要素波的基本要素包括振幅、频率、波长、波速等。
振幅是波动能量的大小，频率是波动的振动周期，波长是波动在空间中占据的长度，波速是波动在介质中的传播速度。
二、波动方程1.一维波动方程一维波动方程描述了一维波动在空间和时间上的变化规律。
一维波动方程的基本形式为：∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²其中u(x,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x表示空间坐标。
2.二维波动方程二维波动方程描述了二维波动在空间和时间上的变化规律。
二维波动方程的基本形式为：∂²u/∂t²=v²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中u(x,y,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x和y表示空间坐标。
3.波动方程的解波动方程一般是偏微分方程，其解一般通过分离变量、叠加原理、傅里叶变换等方法求解。
对于特定的边界条件和初始条件，可以得到波动方程的具体解。
三、波动的性质1.反射和折射波动在介质表面的反射和折射是波动的基本性质之一。
反射是波动从介质边界反射回来的现象，折射是波动通过介质界面时改变传播方向的现象。
2.干涉和衍射干涉是波动相遇并相互叠加的现象，衍射是波动通过小孔或者障碍物后产生的弯曲传播的现象。
干涉和衍射都是波动的波动性质。
解析大学物理中的波动力学理论
解析大学物理中的波动力学理论波动力学是大学物理课程中重要的一部分，涉及到波的传播、干涉、衍射、驻波等现象。
本文将对大学物理中的波动力学理论进行解析。
一、波动力学基础概念在开始介绍波动力学理论之前，有必要先说明一些基础概念。
波是一种能量传播的方式，它通过媒介传递能量，而不传递物质。
波的重要性源于其在自然界中广泛存在的现象，如光的传播、声音的传播等。
二、波的分类波可以分为机械波和电磁波两大类。
机械波是指需要介质进行传播的波，如水波、声波等；而电磁波是不需要介质进行传播的波，如光波、无线电波等。
本文将主要关注机械波的波动力学理论。
三、波动方程波动力学的核心是波动方程，通过该方程可以描述波的传播过程。
一维波动方程可以表示为:∂^2ψ/∂x^2 = (1/v^2) ∂^2ψ/∂t^2其中，ψ表示波的振幅，x表示位置，t表示时间，v表示波速。
四、波的传播波动力学理论告诉我们，波的传播方式可以分为纵波和横波。
纵波是指波动方向与振动方向平行的波，如声波；横波是指波动方向与振动方向垂直的波，如水波。
五、波的干涉和衍射波动力学理论还涉及到波的干涉和衍射现象。
干涉是指两个或多个波相遇时产生的干涉条纹现象，其实质是波的叠加。
典型的干涉现象包括双缝干涉和薄膜干涉。
衍射是波遇到障碍物时发生的弯曲现象，其实质是波在障碍物周围传播时受到阻碍而发生弯曲。
六、波的驻波驻波是指在一定条件下，两个同频率、相同振幅、但传播方向相反的波相互叠加形成的波动现象。
驻波具有节点和腹节点，节点处的振幅为零，腹节点处的振幅最大。
典型的驻波现象包括弦上的驻波和声管中的驻波。
七、波动力学的应用波动力学理论在实际生活中有广泛的应用。
例如，在音乐产生中，乐器发出的声音可通过波动力学理论解释；在光学中，通过衍射和干涉现象可以制造出各种精密的光学器件；在地震学中，可以通过地震波的传播来了解地球内部的结构等。
总结：通过对大学物理中的波动力学理论进行解析，我们了解到波的基础概念、分类、波动方程、传播方式以及干涉、衍射、驻波等现象。
大学物理课件-第7章 波动
2.波源是否一定在原点?
如下图已知一沿X 轴正向传播，波速为u的波,p点振动方程为 yp=Acos(ωt+φ),求波函数
Yl
O
P
X
yAco s(txl)
u
yy A A cco o sst( t l)2 x l)
u 鞍山科技大学 姜丽娜
14
四、 波函数的意义
波线和波面是为形象描述波的传播而引入的假想的线和面。
⑴波线： 沿波的传播方向所画出的有向线段称波线。
⑵波面: 波在传播过程中，每一时刻，振动位相相同点的轨 迹的统称。波线垂直于波面。
波前：某一时刻振动位相所到达的各点连成的面。
平面波：波阵面为平面的波动称平面波。见(图a）
波面
波线
图（a） 鞍山科技大学 姜丽娜
3．问题： 波动传播的是什么？
波动是振动状态的传播，既{x、v}或 (ωt+φ) 的传播；也是 振动能量的传播。振动传播时，振动的质点并不沿振动的传播 方向移动，而是在各自的平衡位置附近作振动（如死水潭中漂 浮的树叶）。
鞍山科技大学 姜丽娜
5
二、波动的概念
1.行波：扰动的传播。
2.脉冲：抖动一次的扰动。
意义：当波沿X轴正向传播时x>0的点位相落后于原点;x<0的 点位相超前于原点。
当波沿X 轴负向传播时
y y A A ccoo s (stt (u x) 鞍山2 科 技大 学 x姜A )丽c娜 o2 s(T t x)13
问题:
1. 2πx /λ 的物理意义是什么? x点与原点的位相差。
4
6
0.0c 2o3st (x1)
3 12
鞍山科技大学 姜丽娜
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10:39:02
21
请指出你认为是对的答案 以波速 u 沿 x 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B
A B
C
D
C
D
(1) A点的速度大于零；
v振动速度
y t
(2) B点静止不动；
A点向下运动，y < 0；
(3) C点向下运动；
速度小于零。 D点向下运动，y < 0；
(4) D点的振动速度小于零。 速度小于零。
0.725
m
10:39:02
13
§10.2 平面简谐波的波动表示式(波动方程)
若波沿+x向传播，空间任一点 p(x, y, z)的振动相位只和x与t 有关，而和其它空间坐标无关——平面简谐波 。
一列平面简谐波 （假定是横波）
u
坐标原点任设
0
（不必设在波源处）
x
取任意一条波线为x 轴
如何描述任意时刻t、波线上距原点为x
传播方向
b点比a点的相位落后：
a
u
b
x
2 x 重要结论！
x
10:39:01
8
3. 波阵面和波射线
波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称 波面)。
波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波 前。波前只有一个。
波线(波射线): 沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的 指向表示波的传播方向（波线与波阵面垂直）。
10:39:02
15
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动表示式
y
u
o
Px
x
O点简谐运动方程：y0 Acos(t 0 )
由P 点的振动得到波动表示式：
y( x,
t)
Acos[(t
x u
)
0
]
y
( x, t )
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
沿 x轴负向，波线上
各质点的振动时间和 相位依次超前。
10:39:02
10:39:02
22
例：已知：x0=/2处
y(t) Acos(t )
2
求: 解:
(1)平面简谐波的表达式，(2)t
(1)平面简谐波的表达式
=
0及x0 t=2T/4时u的波形P.(x)
距离o点x处取P点
2
(x
x0 )
o
x x0
x
P (t) x0 (t)
t 2
2
(x x0)
t
2
10:39:01
7
小结：
(1) 质元并未 “随波逐流”, 波的传播不是媒质质元的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动
(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某 处出现 波是振动状态的传播
(4) 同相点 质元的振动状态相同
相邻
波长
相位差2
波是相位的传播
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
平面简谐波
y(x,t) Acos(t x )
u
可以证明
Ek
E p
1 2
A22(V )sin2 (t
x) u
体积元的总机械能
E
Ek
E p
A2 2 (V
) s in2
(t
x) u
10:39:02
26
橡皮绳上传播横波时，在同一时刻，何处动能密 度最大？何处弹性势能密度最大？何处总能量密度最大？何 处这些能量密度最小？
10:39:01
5
地震波
地震波从震源以弹性波的形式向四面八方传播。地震波在地球内 部传播时称为体波，当它到达地表，即产生沿地表（界面）传播的 波，称为面波。
地震波在地球内部（体波）的传播有纵波（P 波）和横波（S 波） 两种形式，并且纵波（P 波）的传播速度比横波（S 波）的传播速度 快（前者的速度在地壳内是 5 km /s，在地幔深处是14 km /s，而后者 的速度是 3 km /s～ 8 km /s）。
求：振幅，波长，波的周期、波动表式。
解： A 4.0102 m, 0.4m,
设0点振动方程：
y0
A c os (2
T
t
0 )
2
y0 Acos( T
t ) 2
y Acos(2 t 2x ) T 2
T 0.4 0.02s u 20
y(m)
0.04
0
2
o 0.2 0.4
u
x(m)
3.波速u:波速是振动状态的传播速度， 数值上等于单位时间内振动状态传播的距离。 u
T
波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)
10:39:01
10
4.波的传播速度
波速u — 振动状态(位相)的传播速度，又称相速。波速 完全由媒质的性质(弹性和惯性)来确定。
液体、气体中的纵波，波速：
§1 波的产生和传播 1. 机械波的产生
产生条件: 波源 弹性媒(介)质
2
2.横波和纵波
横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直 纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现， 各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。
10:39:01
3
质点振动方向
软绳
波的传播方向
质点振动方向
16
例:已知
ys
(t)
A co s (
t
3
)
o
求：平面简谐波的表示式
x0
4
u
S
P
x x0
x
x
解：
2
xSP
2
(x
x0 )
S
(t
)
t
3
p(t) S (t)
t
3
2
(x
x0 )
y( x, t)
A cos[
t
3
2
(x
x0 )]
b点比a点的相位落后：
2 x
重要结论！
10:39:02
20
(1)给定x，波动表式给出该处质元的振动方程。
(2)给定t，波动表式给出该时刻各质元离开平衡 位置位移的分布情况，即该时刻的波形曲线。
(3)t 和x都变，波动表式给出任意质元在任意时刻t 的位
移。即表示振动状态的传播，给出波形随时间而变化的
情况。
y
u
A
t 时刻波形
0 t+t 时刻波形
行
x x x x 波
17
例:已知
ys (t)
A co s (
t
3
)
求：平面简谐波的表示式
x0 4
u
P
o
S
x
解：
2
xSP
2
(x
x0 )
x x0
S
(t
)
t
3
p (t) S (t)
t
3
2
(x
x0 )
y( x, t)
A cos[
t
3
2
(x
x0 )]
10:39:02
18
3. 波动表式的物理意义
y
(x,t)
地震的纵波和横波间的时间差—自救时间
日本 “（2004年）新潟县中越地震”。在地震中，新干线 发生了脱轨事故，这是日本新干线开通40年以来首次，为此日 本舆论普遍对新干线应对地震等突发灾害时的安全性提出了质 疑。据称日本新干线所采用的系统会让列车在地震发生时，利 用地震的纵波和横波间的时间差自动停止运行，但是，由于此 次新潟地震属于纵波和横波几乎同时到来的直下型浅源地震， 因此在列车制动前地震就已袭来，日本新干线相关负责人对于 此后如何应对仍未想出最好的办法。
当地震发生时，如果人站在震源正上方的地面上，会感觉到先 上下颠（纵波引起的感觉）然后横向摇（横波引起的感觉）。
发生较大的近震时，一般人们先感到 上下颠簸，过数秒到十几秒后才感到 有很强的水平晃动。
横波是地震时造成建筑物破坏的 主要原因。
10:39:01
地球內部地震波速度分布图
6
地震时，纵波总是先到达地表，而横波总落后一步。这样 ，发生较大的近震时，一般人们先感到上下颠簸，过数秒到 十几秒后才感到有很强的水平晃动。这一点非常重要，因为 纵波给我们一个警告，告诉我们造成建筑物破坏的横波马上 要到了，快点作出防备。
y
(x,t)
A cos[(
t
0 )
2
x]
(1)给定x，波动表式给出该处质元的振动方程。
(2)给定t，波动表式给出该时刻各质元离开平衡 位置位移的分布情况，即该时刻的波形曲线。
波形曲线(波形图)
y
ut
o
x
反映某时刻t各质元位移 在空间的分布情况。
( t 时刻用照相机为所有质 元拍的团体照 )
10:39:02
0.04m，振幅 A= 0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向 运动时作为开始时刻，试求：此平面波的波动表示式。
解：设原点的振动方程为
y0 Acos(t ) 其中A = 0.03m
T = /u = 0.04(s)， = 2/T = 50
当t = 0时，y0 = 0，因此：cos = 0；
的任一点P 的振动规律？
注意：P点振动相位落后0点
0P
2
x
yP
(x,
t)
A cos[(
t
0 )
2
x
]
波沿x轴正向传播
设O点振动方程：
y0 Acos( t 0 )
10:39:02