第七章一维波动方程的解题方法及习题答案
一维波动方程的解
一维波动方程是描述一维波动现象的偏微分方程，其一般形式为：
∂²u/∂t²= c²∂²u/∂x²
其中，u(x,t)是波动的位移或振幅，c是波速。
解一维波动方程的一般步骤是将其转化为一个简单的常微分方程或特殊的偏微分方程，然后通过求解这个方程得到波动的解析表达式。
这里介绍两种求解方法：
分离变量法
假设u(x,t) 可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)，代入原方程得到：
X''(x)/X(x) = (1/c²) T''(t)/T(t)
由于左边的方程只涉及x，右边的方程只涉及t，因此两边必须都等于一个常数k²，即：X''(x)/X(x) = k²
T''(t)/T(t) = k²c²
分别解上面两个方程，得到：
X(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
T(t) = C sin(ckt) + D cos(ckt)
其中，A、B、C、D 是待定常数，可以根据边界条件和初值条件确定。
将上述两个函数代回原方程，得到波动的解析表达式：
u(x,t) = Σ[An sin(nπx/L) + Bn cos(nπx/L)] sin(ncπt/L)
其中，An、Bn 是待定常数，L 是波动区间的长度，n 为正整数。
第七章 波动方程初值问题
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
第七章一维波动方程的傅氏解
第七章 一维波动方程的傅氏解（20）一、内容摘要1．二阶线性偏微分方程可以分为如下四类：抛物型、双曲型、椭圆型和超双曲型方程。
抛物型：()2t xx yy zz u a u u u =++ 传导和扩散方程； 椭圆型：0xx yy zz u u u ++= Laplace 方程，稳态问题； 双曲型：()2tt xx yy zz u a u u u =++ 波动或弦振动方程。
2．一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就是要构成一个定解问题。
除了微分方程之外，构成定解问题还必须有边界条件和初始条件。
(1)初始条件：初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地描述该现象。
(2)边界条件：体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界条件确定.边界条件反应体系和外界的界面上的情况。
常见的边界条件可以分为三类：①第一类边界条件：()(),,,|,r B u x y z t f r t ∈=r r． ②第二类边界条件：()|,r B u f r t n∈∂=∂r r． ③第三类边界条件：()()|,n r Bu cu f r t ∈+=r r． 上述三类边界条件,当函数(),0f r t =r时,分别称为第一、第二、第三类齐次边界条件。
3．定解问题问题的分类：数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件一起构成了定解问题。
根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类： 初值问题：定解条件仅有初值条件； 边值问题：定解条件仅有边值条件；混合问题：定界条件有初值条件也有边值条件。
4．分离变量法：（1）分离变量法的基本思想：将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，先从中求出一些满足边界条件的特解，然后利用叠加原理，作出这些解的线性组合，令其满足余下的初始条件，从而得到定解问题的解。
（2）分离变量法的特点：把偏微分方程化为常微分方程,从而使问题的求解得以简化。
第七章一维波动方程的解题方法与习题答案
第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案第二篇数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I．质点力学：牛顿第二定律Fmr连续体力学弦2u(r,t)弹性体力学杆振动：22波动方程);au(r,t)0(2t(弹性定律)膜流体力学：质量守恒律：(v)0;t热力学物态方程：v1(v)vpf0(Eulereq.).tII.麦克斯韦方程DddD;EdlBdsEB;Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD.Eu,BA,u,A满足波动方程。
Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。
III.热力学统计物理热传导方程：扩散方程：Ttt2kT2D0;0.特别:稳态（0t）:20(Laplaceequation).IV.量子力学的薛定谔方程：2u2.iuVut2m2.分类物理过程方程数学分类振动与波波动方程2u 12u22at双曲线输运方程能量：热传导质量：扩散ut20ku抛物线1稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter7一维波动方程的傅里叶解第一节一维波动方程-弦振动方程的建立1.弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。
复变函数第二部分课后答案
⎧ utt = a 2u xx (1 < x < 2, t > 0) ⎪ ⎪ u (0, t ) = u (l , t ) = 0(t ≥ 0) ⎪ (0 ≤ x ≤ 1) ⎧ hx ⎨ ⎪ u ( x, 0) = ⎨ h(2 − x) (1 ≤ x ≤ 2) ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ut ( x, 0) = 0
1
2
解：其付氏解为：
∞ u (r ,θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + B n sin nθ )r n 2 n =1
，
α sin ϕ An = 1 n ∫02π f (ϕ )cos nϕdϕ = 1 2π A cos nϕ dϕ = nA π −α π ∫0 πl 其中：
= 2 A sin nα nπ
u rr + r u r + r uθθ = 0 。
⎧ + 1u + 1 u =0 ⎪u rr r r r 2 θθ ⎪ ⎨ ⎧ A, θ < α , (− π ≤ θ ≤ π ) ⎪u (1,θ ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0, θ ≥ α ⎪ ⎩ ⎩ 2、 求解狄利克雷问题 ， 其中 A，α 为
已知常数。
∞
0
2 ∞ − a 2 µ 2t e π ∫0
sin x π dx = x 2。 sin µ cos( µ x)d µ µ
u ( x, t ) = u (0, 0) =
2 sin µ e0 cos(0) d µ = 1 ∫ π µ ，
即：
2 ∞ sin µ dµ =1 π ∫0 µ
2 ∞ sin x ∫0 x dx = 1 令 x = µ ，则有： π ∞ sin x π dx = ∫ 0 x 2 得证。 即：
一维波动方程的达朗贝尔公式
2
2a xat
cos(at) cos x t e .
8
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*§9.2 三维波动方程的Poisson公式
• 三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：
2u t 2
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u z2 )
x, y, z ,t 0,
u (x, y, z), t0
u t
t0
6
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所以 (x at)代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行波。而
第一项
(则x 代 表at以) 速度a沿x轴的负向传播的波，称为反行波。
正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。
再讨论只有初速度的情况。此时式（9.1.11）给出：
u(x,t) 1
xat
( )d
2a xat
3
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u(x,t) f ( )d f2() f1(x at) f2(x at) （9.1.6）
式（9.1.6）就是方程（9.1.1）的通解。
在具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数 与 f1的具f体2 形式。
为此，必须考虑定解条件。
下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。设弦的初始状态为已知。
令 r 0利用L’Hospital（洛必塔）法则得到：
__
u (0,t)
___
0 (at)
___
at 0(at)
t
___
1 (at)
1 a
t
(at
)
___
0 (
at
)
t
___
1 (at)
1 0 (x sin cos, y sin sin, z cos ,t) (at)2 sin dd
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
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第二篇 数学物理方程——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；3、方程齐次化；４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）1、来源I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ⎧⎧∂⎪⎪-∇=⎨⎪∂⎪⎪⎩⎪∂⎪+∇⋅=⎨∂⎪∂-⎪+⋅∇=+=⎪∂⎪⎪⎩弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ⎧⋅=⇒∇⋅=⋅=⋅⇒∇⨯=⎪⎪⎪⋅=⇒∇⋅=⋅=+⋅⇒∇⨯=+⎨⎪=-∇=∇⨯⎪⇒⇒⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d 满足波动方程。
Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。
III. 热力学统计物理220;0.T k T t D t ρρ∂⎧-∇=⎪⎪∂⎨∂⎪-∇=⎪∂⎩热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ∂=∂）:20ρ∇= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程：22.2u i u Vu t m∂=-∇+∂稳态方程 Laplace equation 20u ∇= 椭圆型二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立弦横振动方程的建立（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）（1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。
表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从而速度为t u ，加速度为tt u .（2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又tan u x αα∂=≈∂，1<<∂∂∴xu ；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(t x T 始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x 轴，外力线密度为),(t x F ；④设弦的线密度（细长）为),(t x ρ，重力不计。
（3）取局部：在点x 处取弦段d x ,d x 是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。
质量微元：x t x d ),(ρ；微弧长：x x x u u x s d d 1d d d 222≈⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+=（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度()t x ,ρ不随时间变化，另外根据Hooke 定律F k x δδ=-可知，张力),(t x T 也不随时间变化，我们把它们分别记为()x ρ和)(x T .（4）找作用：找出弦段所受的力。
外力：x t x F d ),(，垂直于x 轴方向；张力变化：()()d cos |cos |(d )()x x x T T T x x T x αα+-=+-,x 方向紧绷，()()()()()d d sin |sin |||d x x x x x x x x x x T T Tu Tu Tu x αα++-=-=,垂直于x 轴方向。
（5）列方程：根据牛顿第二定律0)()d (=-+x T x x T ，因x 方向无位移，故T x T x x T ==+)()d (.()x Tu x t x F x Tu x t x F xu x xx x x tt d d ),(d d ),(d )(+=+=ρ 即，),(t x f u Tu xx tt =-ρ，其中ρ),(),(t x F t x f =是单位质量所受外力。
如果弦是均匀的，即ρ为常数，则可写ρT a =为弦振动的传播速度，自由振动(0f ≡): 20tt xx u a u -=(齐次方程)。
小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：22tt u a u =∇（齐次方程）其中a 为振动的传播的速度。
当单位质量所受外力为f 时，其振动微分方程为：22tt u a u f =∇+（非齐次方程）定解问题第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：泛定方程& ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩初始条件边界条件定解条件衔接条件自然条件。
1. 初始条件00(,)()(,)().t t t u x t x u x t x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩，即已知初位移)(x ϕ和初速度)(x ψ 2. 边界条件i. 第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet 边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。
ii. 第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann 边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或x x u t u l t ==iii. 第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：(,)(,)000x u t hu t -=Note ：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0=x 和l x =固定，用手将弦上的点(0)x c c l =<<拉开使之与平衡位置的偏离为h （l h <<），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：(0,)0,(,)0u t u l t ==由点c x =的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：(0)(,0)()() ()h x x c c u x x h l x c x l l c ϕ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪-⎩， ， 显然，初速度为零：(,0)0t u x =第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解——分离变量法 本征值问题Abstract ：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。
分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。
求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。
利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题分离变量法：把二元函数(,)u x t 表示为两个一元函数相乘(,)()()u x t X x T t =⋅；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程20tt xx u a u -=，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I ：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。
例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):()20000 0,0; 0,(); ().tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ϕψ====⎧-=<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 注意这里的边界条件。
第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
设)()(),(t T x X t x u =[取此特解形式，可得驻波解：()T t 是振荡函数，而与x 无关，()X x 是幅度函数，与t 无关],将此)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程，即得2()()()().X x T t a X x T t ''''=等式两端除以)()(2t T x X a ，就有)()()()(2x X x X t T a t T ''=''. 注意在这个等式中，左端只是t 的函数，与x 无关，而右端只是x 的函数，与t 无关。
因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x 无关、又与t 无关的常数。
令这个常数为λ-(参数)，即，λ-=''='')()()()(2x X x X t T a t T . 由此得到两个常微分方程：0)()(2=+''t T a t T λ （）0)()(=+''x X x X λ （）第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。
将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ，转化为()X x 的边界条件：0)0(=X ，0)(=l X [因为)(t T 不可能恒为0，否则),(t x u 恒为0] （）这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。
在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解)()(),(t T x X t x u =，导出了函数)(x X 应该满足的常微分方程和边界条件，以及)(t T 所满足的常微分方程。
分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。
第三步,求解本征值问题上面得到的函数)(x X 的常微分方程定解问题，称为本征值问题。