高维波动方程的初值问题(课堂PPT)
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7 高维波动方程求解法2
u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取 就可得到定解问题(iv)的解
T0
d
D
M
3
2016/3/27
1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.
3.2 三维波动方程初值问题
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
第七章 波动方程初值问题
x1 a(t0 t ) x0 at0
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
第二节 初值问题(一维情形)
第二节 初值问题（一维情形）
一、波动方程的初值问题： （无界弦振动方程的初值问题）
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
1. 解的表达式： 达朗贝尔(D'Alembert)公式 2. 解的物理意义: 特征线
1 u1 M ( x, t ) t t 2a
x at
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
的解：
(1)
u u1 u2 u3
a u v ( x R, t 0) t x u ( x,0) 0 ( x R) a v 0 t x v( x,0) ut ( x,0) au x ( x,0) ( x)
Hale Waihona Puke 1 1
1
1
LM f ( x, t ) M f ( x, t1 )t t a 2 M f ( x, t1 ) xx 0 t t M f ( x, t ) f ( x, ) M f ( x, t ) t 0, t t
2 K
1 ut 2 2
t
ut ux x ut x ux ut ux x ux t ux
ut u x x
1 2 u x 2
t
Step2:
（变形，目标是利用格林公式，计算左端积分）
一、波动方程的初值问题： （无界弦振动方程的初值问题）
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
1. 解的表达式： 达朗贝尔(D'Alembert)公式 2. 解的物理意义: 特征线
1 u1 M ( x, t ) t t 2a
x at
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
的解：
(1)
u u1 u2 u3
a u v ( x R, t 0) t x u ( x,0) 0 ( x R) a v 0 t x v( x,0) ut ( x,0) au x ( x,0) ( x)
Hale Waihona Puke 1 1
1
1
LM f ( x, t ) M f ( x, t1 )t t a 2 M f ( x, t1 ) xx 0 t t M f ( x, t ) f ( x, ) M f ( x, t ) t 0, t t
2 K
1 ut 2 2
t
ut ux x ut x ux ut ux x ux t ux
ut u x x
1 2 u x 2
t
Step2:
（变形，目标是利用格林公式，计算左端积分）
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
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其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2
u
dS
M r
S rM
a2r2
S1M
u (M r
r,t)d
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
dS
M r
r 2d.
u(r,t)
1
4r 2
SrM
u(P,
t
)dS
M r
1
4
S1M
u(M
r, t )d.
对上式两边对 r 取极限 r 0, 得
lim u (r,t) 1
r 0
4
此外，记
V
M r
表示以
S1M
M
u(M ,t)d u(M ,t).
为球心，r 为半径的球体，
则在V
M r
上的体积分用球坐标可表示为
fdVrM
r
0 dr1
fdSrM1
r
0 dr1
f (M r1)r12d.
VrM
SrM1
S1M
则有
utt dVrM
VrM
2 t 2
VrM
udVrM
2 t 2
r
0 dr1
u(M r1)r12d
S1M
4 2
t 2
r 0
r12
u
(r1
,
t
)dr1
.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 用球面平均法形式地推出解的表达式。这表达 式通常被称为基尔霍夫公式。
3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 其中(x, y, z) 与 (x, y, z) 为已知函数。
VrM
f dVrM
r
0 dr1
fdSrM1
SrM1
r
0 dr1 S1M
f (M r1)r12d.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM
a
2
udVrM
a
2
div
udVrM
a
2
u
dS
M r
VrM
VrM
VrM
S
M r
u n
u cos u cos u cos
x
y
z
u n
r
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z),
utt dVrM 4a 2r 2 u .
VrM
r
另一方面，利用
(28)
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2r 2 u(M r,t)d 4a 2r 2 u .
r S1M
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
首先，任意固定点M
(x,
y, z),
S
M r
表示以
M 为球心，
r 为半径的球面。利用球坐标，则球面上的点
d sindd,
dS
M r
r 2d.
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27)
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
现在引进 u的球面平均数
u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
于是
2
t 2
r 0
r12u
(r1
,
t
)dr1
a2r2
u r
,
两边对 r求导得
(r பைடு நூலகம்u )tt 2a 2rur a 2r 2urr ,
(
P x
Q y
R z
)dv
(P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
可写成散度形式
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
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utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
P (,, ) (x r sin cos, y r sin sin, z r cos ).
用
(sin
c os , sin
sin,cos )
表示球面
S
M r
的单位
外法向，则球面
S
M r
上的点可简单记作
M
r.
同时 也可被看成单位球面上的点。因此，我们
也记球面上的微元
dS
M r
r 2 sindd,