直线的参数方程【公开课教学PPT课件】

(t为参数）
（2）
x

y
1 9t 1-12t
(t为参倾斜数角 ）
（3）
x

y
1-9t 1-12t
(t为参数）
４：将下列直线的倾斜角
（1）

x y

3 t cos 20o 2+t sin 20o
(t为参数）
（2）

x y

3-t cos 20o 2+t sin 20o
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
例2.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
解: 因为把点M的坐标代入直线方
直线的参数方程
预备知识： 1.向量共线的条件
b // a(a 0) b a
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 直线的普通方程为y
把它x变0 y成0 y

y0

sin cos
(
y0 tan
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线

x y

2t 1
sin 200 t cos 200
(t
为参数),
经过定点
(2, - 1，)
倾斜角为 110°
2
直线

x

31t 2
(t 为参数)方程中，t 的几何意义是
（

y

1
3t 2
B）
（A） 一条有向线段的长度
(t为参数）
（3）

x y

3t 2t
cos sin
20o 20o
(t为参数）
（4）

xΒιβλιοθήκη Baiduy

3t 2t
sin 20o cos 20o
(t为参数）
例2.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B

t
(cos

,
sin

)
M0(x0,y0)
e
即所，以xxxx00


t
t
cos ,
cos ,
y
y


y0
y0
t sin
t sin

(cos , sin )
所以，该直线的参数方程的标准形O式为
x

x y

x0 y0
t cos（t为参数） t sin
a2 b2
x x0
y

y0

a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin ; a2 b2 t t,则
a2 b2
a2 b2

x y

x0 y0
tcos（t为参数） tsin
y
程后,符合直线方程,所以点M A
在直线上.
3
M(-1,2)
易知直线的倾斜角为 4
所以直线的参数方程可以写成
B
x=-1+tcos
3
4

y

2

t
sin
3
4
(t为参数）
O
x
即x 1
2t 2 (t为参数）A
y
把它代入抛y物 线2 y=x222的t 方程,得
求这条直线的方程.
解: 在直线上任取一点M(x,y),则
设Me0是M直（ 线x,ly的) 单(x位0 方y向0)向(量x ，x0则, y

y0
)
y
e (cos,sin )
M(x,y)
因为M0M // e,所以存在实数t R,
使M
(x
x0 M0 ,
te,即
y y0 )
x x0 )

(
x

x0
)
进一步整理，得：y y0 x x0
sin cos
令该比例式的比值为t,即 y y0 x x0 t sin cos
整理，得到
x=x0

y

y0
t cos t sin
(t是参数）
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
若 [0,），则为倾斜角。

x y

x0 y0
at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1时，t没有上述的几何意义，
我们称起为非标准形式。

x

x0


y

y0

如何将其化为
标准形式?
a ( a2 b2 t）
a2 b2
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
M(-1,2)
B
t2 2t 2 0
O
x
解得t1
2 2
10 ，t2
2 2
10
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
练习与作业

1.
直线

x

2

2t 2
(t 为参数)上到点 M(2,3)距离为
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程：
x

y

x0 y0
t cos t sin
(t为参数)
参数t的几|t何||M0M意| 义是什么？ y
| t || M0M |
l
M (x, y)
若t 0,则M 0M方向向上
若t 0,则M 0M方向向下
若t

0, 则点M与M

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a、b满足什么条件，
可使t有上述的几何意义？
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

x y

x0 y0

at bt
(t为参数）
当a 2 b2 1且b 0时，t=M 0M
此时我们可以认为a cos,b sin;
重合
0
e M0 (x0, y0 )

0
x
辨析:

x y
1 1
9t 12t
(t为参数）
没有
请思考:此时 的t有没有前 述的几何意义?
特征分析：
若把直线的参数方程的标准形式

x y

x0 y0
t cos t sin
（t为参数，
[0,）)
改写为： xy
（B） 定点 P0（ 3 ，1）到直线上动点 P(x，y)的有向线段的数量 （C） 动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的线段的长 （D） 直线上动点 P(x，y) 到定点 P0（ 3 ，1）的有向线段的数量
３：将下列直线的参数方程化为标准形式
（1）
x

y
1 9t 112t
2且

y

3