圆的参数方程ppt课件

①
y r sin
P(x,y)
r
o
-5
并且对于 的每一个允许值,由方程组①所
确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为
r的圆的参数方程， 是参数.
p0
5
6
思考2 :圆心为O1 (a,b)、半径为r的圆的标准方程 观察2 为(x a)2 ( y b)2 r 2 , 那么参数方程是什么呢?
y P M
点P的坐标为(2x-12,2y)
O
Ax
∵点P在圆x2+y2=16上
∴(2x-12)2+(2y)2=16
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
13
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
所以
x
y
a b
r r
cos sin
-5
7
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
∴参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
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练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos
第二讲 参 数 方 程
1、参数方程的概念
1
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
x f (t)
y
g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的 点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫 做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数 叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为
x 3 cos
y
2
sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵
坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之
间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的联系。
3
x a r cos
y
b
r
sin
4
（1）圆心在原点的圆参数方程
1.圆的参数方程 （2）圆心不在原点的圆的参数方程
+6cosθ=14+2 sin(θ13+ψ).
(其中tan ψ =3/2) 14
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13，最小值为14- 2 13。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
s2in（ θ + 4）
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
3 cos 2 sin 1 4
C.不是圆
D.以上都有可能
3、填空题:
(1)参数方程xy
2 cos 2 sin
表示圆心（为2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 22 y 22 1
(2)把圆方程 x2 y 2 2x 4 y 1 0化为参数方程为
x 1 2 cos
y
2
2
sin
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例3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
2.参数方程与普通方程的概念
3.参数方程与普通方程的互化
4.应用
（1）轨迹问题 （2）求最值
5. 小结
5
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
观察1
如果点P的坐标为(x, y),圆半径为r, P0OP5
,根据三角函数定义,点P的横坐标x、
纵坐标y都是的函数,即
x r cos
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例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y),圆x2+y2=16 P
的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
y
5
sin
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数
5 3 ，则点P的坐标是
5 2
,
5
3 2
2
如果圆上点Q所对应的坐标是 2
5 2
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数等于 3
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2.选择题：参数方程
x y

2 cos 2 sin
(
为参数)表示的曲线是
A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
d
2 sin( )
4
2
2
显然当sin（ θ+ ）=
4
1时，d取最大值，最
小值，分别为 1 2 2 ，
2 2 1。
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小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的,
由平移公式, 有
-5
5
O
(a,b)
1
P(x,y)
v(a,b)
r P1(x1, y1)
o
5
x
y
x1 y1
a b
又
xy11
r r
cos sin
物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的 变数。
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
(x a)2 ( y b)2 r 2
x a r cos y b r sin
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例4、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos (1) y 3sin
x sin (2) y cos2
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
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例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得: