7 高维波动方程求解法2
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
波动方程与解法
波动方程与解法波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍波动方程的基本概念和常见的解法。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，描述了波动过程中的空间和时间变化。
一维波动方程可表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是一种常见的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以被表示为时间因子T(t)和空间因子X(x)的乘积形式：u(x, t) = X(x)T(t)将波动方程代入上式后，将方程两边的变量分离，得到两个常微分方程，分别是关于时间的方程和关于空间的方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的具体形式。
2. 超级位置法超级位置法是另一种常用的解波动方程的方法。
它基于假设波函数u可以表示为两个函数之和的形式：u(x, t) = φ(x - vt) + ψ(x + vt)其中，φ和ψ是任意两个函数。
这种波函数形式常用于描述传播方向相反的两个波包或两个波的干涉。
3. 叠加原理叠加原理是波动方程解法中的重要原理。
根据叠加原理，可将多个波动方程的解叠加在一起，得到新的波函数。
利用叠加原理，可以描述出复杂的波动现象，如波的干涉和衍射。
三、波动方程的应用波动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是几个例子：1. 机械波方程机械波的传播可以通过波动方程进行描述。
例如，弦上传播的横波和纵波可以用波动方程解析求解，从而了解波的传播速度和波形。
2. 电磁波方程电磁波的传播和干涉也可以通过波动方程进行描述。
例如，光的传播可以使用电磁波方程进行解析求解，从而了解光的折射、反射和衍射等现象。
3. 地震波方程地震波在地球内部的传播可以通过波动方程进行建模。
利用波动方程可以分析地震波的传播路径、速度和震级等特征，对地震进行研究和预测具有重要意义。
波动方程的解析求解
波动方程的解析求解波动方程是描述波动现象的一种数学模型，广泛应用于物理学、工程学和地球科学等领域。
它描述了波的传播和变化规律，并可以通过解析方法得到具体的解。
波动方程可以写作:∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波动的物理量，t表示时间，c为波的传播速度，∇²表示Laplace算子。
解析求解波动方程是指通过代数运算、微积分工具等数学方法，直接得到方程的解析解。
相对于数值方法，解析求解具有精确性和通用性的优势。
下面将从几个方面介绍波动方程的解析求解方法。
一、分离变量法：对于边界条件和初值条件满足特定形式的波动方程，可以通过分离变量法求解。
具体步骤为将未知函数拆分成时间和空间两个变量的乘积形式，代入方程后将时间和空间两部分分别等于一个常数，得到一组关于常数和变量的常微分方程。
通过求解这组方程并考虑边界条件，可以得到波动方程的解析解。
二、傅里叶变换法：傅里叶变换是一种将函数分解成频域分量的方法，对于满足一定条件的波动方程，可以通过傅里叶变换得到解析解。
具体步骤为将波动方程进行傅里叶变换，得到频域的代数方程，再将其反变换回时域，即可得到原方程的解析解。
三、格林函数法：格林函数是波动方程的特殊解，可以用来表示波在某一点的传播规律。
通过构造波源函数和格林函数的卷积，可以得到波动方程的解析解。
这种方法常用于求解具有一定边界条件的波动方程，可以得到空间中任意一点的解析解。
四、变量替换方法：对于一些特殊形式的波动方程，如球坐标系或柱坐标系下的波动方程，可以通过将自变量进行适当的变换，得到新的形式，进而求解原方程。
这种方法可以简化方程的形式，使求解变得更加方便。
综上所述，波动方程的解析求解方法主要包括分离变量法、傅里叶变换法、格林函数法和变量替换方法等。
这些方法对于特定形式的波动方程都有适用性，能够得到精确的解析解。
在实际问题中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，将有助于深入理解波动现象的特性和规律。
对高维波动方程的探讨
g ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn +1 ) ≡ g ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn ) h( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn +1 ) ≡ h( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn )
则： u |t = 0 = g , u t |t =0 = h 既然 n + 1 是奇数，令 x ∈ R n , t > 0, x = ( x1 ,⋅ ⋅ ⋅, xn ,0) ∈ R n +1 ，则：
dy
=
2tα (n) * (n + 1)α (n + 1) B (∫ x ,t )
g ( y)
(t − | y − x | )
2 1 2 2
dy
同理易求得
∫
*
hd S
1
2 2α (n) ∂ 1 ∂ n− [ ( ) 2 (t n ∫ * (n + 1)α (n + 1) ∂t t ∂t B ( x ,t )
因此 lim r →0
U (r , t ) = lim r →0 U ( x; r , t ) = u ( x, t ) β 0k r
' 1 G (t + r ) − G (t − r ) 1 t + r 1 lim r →0 [ + ∫ H ( y )dy ] = k [G (t ) + H (t )] k β0 2r 2r t − r β0
对高维波动方程的探讨
胡刚毅 PB10000830 少年班学院 指导老师：宣本金
（一）问题的提出 一般来说， 凡是弹性介质中微小扰动的传播问题， 如弹性杆的纵振动、 弹性膜的横振动、 声波在空气中的传播等，都可以导出同一类方程：
utt = a 2 ∆u + f (t , x) ，
求解波动方程的关键步骤
求解波动方程的关键步骤波动现象在我们日常生活中随处可见，如光的传播、声音的传递以及水波的起伏等。
为了更好地理解和描述这些波动现象，我们需要掌握求解波动方程的关键步骤。
本文将介绍波动方程的求解过程，并以声波传播为例进行具体说明。
首先，要求解波动方程，我们首先需要明确波动方程的形式。
波动方程可以用数学模型进行描述，一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u代表介质的波动量，t代表时间，c代表波速，∇²代表拉普拉斯算子。
这个方程是一个偏微分方程，其中包含了关于时间和空间的导数。
因此，求解波动方程需要使用偏微分方程的求解方法。
其次，我们需要确定边界条件和初始条件。
边界条件是指在介质的边界上，波动量u要满足的条件。
初始条件是指在初始时刻，波动量u的分布情况。
边界条件和初始条件的确定对于波动方程的求解至关重要，它们将影响到波动方程解的形式和性质。
以声波传播为例，假设我们要求解声波在一维空间中的传播情况。
我们可以设定一个弦，弦上的波动量u代表声波的振动情况。
边界条件可以是弦的两端固定或自由。
初始条件可以是弦上某点接受到一个初始的电信号，使弦开始振动。
接下来，我们需要应用适当的数值方法来求解波动方程。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值方法将波动方程转化为离散的差分方程或代数方程，从而可以通过计算机进行求解。
以声波传播为例，我们可以使用有限差分法来求解波动方程。
将空间划分为离散的节点，时间划分为离散的时间步长。
根据波动方程的差分形式，我们可以通过节点之间的关系，逐步更新波动量u的数值。
通过迭代计算，最终得到时间和空间上波动量u的数值解。
最后，我们应该对数值解进行验证和分析。
验证数值解的正确性，可以比较数值解和解析解之间的差异。
当然，在实际情况下，解析解并不一定存在或很难求得。
因此，我们还可以通过调整边界条件和参数，观察数值解的变化规律，进一步分析波动方程的性质和特点。
高维波动方程的初值问题(课堂PPT)
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2
u
dS
M r
S rM
a2r2
S1M
u (M r
r,t)d
2020/4/24
6
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
dS
M r
r 2d.
u(r,t)
1
4r 2
SrM
u(P,
t
)dS
M r
1
4
S1M
u(M
r, t )d.
对上式两边对 r 取极限 r 0, 得
lim u (r,t) 1
r 0
4
此外，记
V
M r
表示以
S1M
M
u(M ,t)d u(M ,t).
为球心，r 为半径的球体，
则在V
M r
上的体积分用球坐标可表示为
fdVrM
r
0 dr1
fdSrM1
r
0 dr1
f (M r1)r12d.
VrM
SrM1
S1M
则有
utt dVrM
VrM
2 t 2
VrM
udVrM
2 t 2
r
0 dr1
u(M r1)r12d
波动方程及其解法
波动方程及其解法波动方程是常见的偏微分方程之一，它描述的是波的传播和变化。
而在实际问题中，如声波、光波、电磁波等的研究中，波动方程的解法是被广泛使用的。
本文将介绍波动方程的基本概念及其解法。
一、波动方程的基本概念波动方程最基本的形式是一维波动方程，其数学表达式如下：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$其中，$u(x,t)$表示波的位移，$c$是波的速度。
可以看出，波动方程是一个描述时间和空间之间关系的方程。
在这个方程中，偏微分算子表达了波动的传播和变化的规律。
二、波动方程的解法1. 分离变量法分离变量法是解波动方程的最常见方法之一。
其主要思想是，将变量$x$和$t$分离出来，分别让它们满足不同的微分方程。
如一维波动方程可以假设其解为$u(x,t)=X(x)T(t)$，将其代入波动方程可得：$XT''=c^2X''T$进一步变形，可得：$\frac{T''}{c^2T}=\frac{X''}{X}$由此得到两个方程：$\frac{T''}{c^2T}=-\omega^2$$X''=-\omega^2X$其中，$\omega$为角频率，$-\omega^2$为分离出来的常数倍。
对于这两个微分方程，可以分别求解。
2. 叠加原理在叠加原理中，可以将波看做是多个波的叠加。
这种方法可以用于特定场合下的波动方程求解。
例如，在弹性绳的研究中，可以将弹性绳的振动看作是多个波的叠加。
在这种情况下，可以对不同的波求解，并把它们的解加起来成为最终的解。
3. 直接积分法直接积分法是一种基本的解微分方程的方法，同样也适用于波动方程的求解。
在直接积分法中，可以通过对波动方程进行积分，逐步求解出波的变化规律。
这种方法的实现需要考虑初值条件的限制，而条件的不同可能导致问题的复杂性。
高维波动方程的初值问题
汇报人：
目录
添加目录标题
高维波动方程的背景
高维波动方程的初值 问题概述
高维波动方程初值问 题的求解方法
高维波动方程初值问 题的数值解法
高维波动方程初值问 题的应用实例
添加章节标题
高维波动方程的背 景
波动方程是描 述波动现象的
偏微分方程
常见的波动方 程有弦振动方 程、波动方程 和热传导方程
性和意义
举例说明高维 波动方程在流 体动力学中的
具体应用
总结高维波动 方程在流体动 力学中的发展 前景和未来研
究方向
高维波动方程初值 问题的未来研究方 向
误差控制：研究如何有效控 制算法误差提高计算精度
算法改进：针对高维波动方程 初值问题研究更高效的数值算 法
并行计算：利用并行计算技术 加速算法运行提高计算效率
应用拓展：将高效数值算法应 用于实际问题促进实际应用的
发展
介绍高维波动方程 初值问题中多尺度 问题的重要性和研 究意义。
概述当前多尺度 问题研究的现状 和主要成果。
探讨未来多尺度问 题研究的方向和可 能面临的挑战。
分析多尺度问题研 究对相关领域的影 响和应用前景。
介绍非线性问题在高维波动方程初值问题中的重要性和研究现状。 探讨非线性问题对高维波动方程初值问题的影响和作用机制。 分析非线性问题在高维波动方程初值问题中的未来研究方向和挑战。 提出一些可能的解决方案和未来研究展望。
感谢您的观看
汇报人：
数值求解的复杂性和计算 成本较高
高维波动方程初值 问题的求解方法
有限差分法：将偏微分方程转化为 差分方程通过迭代求解
有限元法：将高维波动方程的求解区 域划分为有限个小的子区域在每个子 区域上定义基函数通过求解线性方程 组得到原问题的解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取 就可得到定解问题(iv)的解
T0
d
D
M
3
2016/3/27
1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.
utt a 2 ( uxx u yy ) x , y , t 0 u |t 0 0 ( x , y ) x , y u | ( x, y) t t 0 1
1 1 1 1 1 1 dS dS dS 4πa Sat ( M ) at 4 a S1 at 4πa S2 at
其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得
utt 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),
utt a 2 u a 2t (vrr v
利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题
2 u a u 0 ( iii ) tt u |t 0 ( x1 , x2 , x3 ), ut |t 0 0
2 u a u 0 ( iv ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
对于 (1 , 2 , 3 ) Cr , 采用球坐标： 上的平均值.
或者 v ( x1 , x2 , x3 , r )
1 4 r 2
1 4
0 2
2 3 引理4.2: 对于给定的 ( x1 , x2 , x3 ) C ( R ), 或(3.4)确定的函数v满足PDE 2v 2 v v 0 (3.5) r 2 r r 以及初始条件
(3.7)
v 1 2 3 1 k d1 0 0 r 4 4 r 2 k 1 xk 应用奥高公式
再由复合函数的求导法则
Cr k 1
k d r , xk
2 d 0 r Dr
0 2
0
2 sin d d d ,
引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 u ( x1 , x2 , x3 , t ) u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) t 是定解问题
2 u a u 0 ( ii ) tt u |t 0 ( x1 , x2 , x3 ), ut )确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.
泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S at ( M ) 上的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:
v r 0 1 4
引理4.3: 设v是由(3.3)确定的函数，则
0 2
0
( x1 1r , x2 2 r , x3 3 r )d1
3
r 0
( x1 , x2 , x3 ).
u ( x1 , x2 , x3 , t ) tv( x1 , x2 , x3 , at )
2 vr ) 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.
的解.
关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.
2
2016/3/27
证明：直接计算,得
u t 0 ut
t 0
2u 2u 2 2 a u 2 a u 0, 2 t t t u ( x1 , x2 , x3 ), t t 0 2u a 2 u ( x1 , x2 , x3 , 0) 0. t 2 t 0
t 2 u 2 ( x, y , z , t ) ( x1 1at , x2 2 at , x3 3at )sin d d 4 0 0 1 dS , dS 是球面面积微元 4 a 2t Sat (M )
u1 ( x, y , z, t ) 1 dS 2 t 4 a t S at ( M )
其中面积单元： d r r 2 sin d d , d1 sin d d ,
0 2
0
( x1 1r , x2 2 r , x3 3r )d r ,
0
(3.3)
( x1 1r , x2 2 r , x3 3 r )d1 , (3.4)
tv ( x, t ) tv ( x, t ). t
上述方法称为球平均法.
上的平均值，这个平均值与x, 半径at和函数 ( ) 有关，
3
4
2 3 设函数 ( x1 , x2 , x3 ) C ( R ), 现在考虑该函数在球面
Cr : (1 x1 ) ( 2 x2 ) (3 x3 ) r
2016/3/27
utt a 2 u x , y , z , t 0 (3.1) u |t 0 ( M ) u | ( M ) x , y , z t t 0
这个定解问题采用求平均法来求解.
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:
) T 也不相交,因而同 3.当 at D ,即 t D / a ,S at ( M与 0 样 u( M , t ) 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了.
u 0 z
这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.
要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松 ) at ( M ) : 公式中两个沿球面 S at ( M 的积分转化成沿圆域 为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:
r 2 sin d d d r ,
Cr
0
由(3.8)及上式有
由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v满足方程(3.5).
7
2v 1 r 2 2 r 3
Dr
d
1 4 r 2
d ,
Cr r
(3.9)
下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v满足初始条件(3.6). 由(3.4)知
则由(3.3)
5
6
1
2016/3/27
v 0. (3.6) r r 0 证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下对 xi 求导 v r 0 ( x1 , x2 , x3 ),
故由(3.3)有
v ( x1 , x2 , x3 , r ) v ( x1 , x2 , x3 , r ) 1 4 r 2
其中M 代表空间中任意一点, M M ( x , y , z ).
先回忆一维的达朗贝尔公式的变形
1 1 x at u ( x, t ) ( ( x at ) ( x at )) ( )d 2 2a x at
1 x at ( )d 称为函数 ( ) 在区间[x-at, x+at] 2at x at
2 2 2
2
( x1 , x2 , x3 ) 在球面 Cr 上的平均值:
v ( x1 , x2 , x3 , r )
记作
i xi i r , i 1, 2,3, 1 sin cos , 2 sin sin , 3 cos , 0 , 0 2 .
u( x , y , z , t )
由引理4.4知，只要取 就可得到定解问题(iii)的解
u( M , t )
可写为:
1 1 dS dS (3.12) 2 t 4πa 2 t Sat ( M ) 4πa t Sat ( M )
上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at ( M ) 上的动点.