数学物理方法课件第七章-----行波法
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《数学物理方法》课件第7章
小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
第七章 行波法(一)
第七章 行波法
利用初值条件确定函数 F，G
u( x,0) ( x)
ut ( x,0) ( x)
F ( x) G ( x) ( x)
a[ F ( x) G( x)] ( x)
x
a[F ( x) G( x)] C ( )d
x0
其中
x
x1
x2
内，因此该三角区域称为
决定区域。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
第七章 行波法
影响区域、依赖区间、决定区域
波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。
如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为
x1 at x x2 at
第七章 行波法
无界弦振动的初值问题
2 2u 2 u x 2 a 2 x t u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
2. 行波法的基本思想
这种方法是针对波动方程提出的。由于波动现象的普
1 过 x1 作斜率为 的直线 x x1 at a 1 过 x2 作斜率为 的直线 x x2 at a t 则 它们与区间 [ x1 , x2 ]
一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的 依赖区间都落在区间 [ x1 , x2 ]
x x1 at
x x2 at
遍性，对如何认识和解决波动问题，一直是物理学家和数 学家们长期探索的课题。 （1）波函数可写成位置和时间函数的分离形式，且波函数
是由无穷多个谐波分量叠加而成的，由此提出了分离变量
数学物理方法 行波法
利用初始条件u(x,0)=(x)和v(x,0)=(x)，得到
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
数学物理方法2015.02
第二节 特征线方法
举例
u u 2 0, x t u( x,0) e x2 , x R, t 0 xR
当 1/2a t 1/a
1 2 (1 x at ), 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 at , 1 (1 x at ), 2 1 2 (1 x at ), 1 at x at at x 1 at 1 at x 1 at 1 at x at at x 1 at
1 2
at x 1 at
当 3/4a t 1/a
x, 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ),
数学物理方法2015.02
2 x i i 1 n
2 n 2u u 2 a 2 2 t i 1 xi
方程变形为
2 2u u n 1 u 2 a 2 2 t r r r
当n=3时，可写为
2 2 ru ru 2 a 2 2 t r
数学物理方法2015.02
当 0t 1/2a
1 2 (1 x at ), 1 x, u ( x, t ) 1 at , 1 x, 1 2 (1 x at ), 1 at x 1 at 1 at x at at x at at x 1 at 1 at x 1 at
数学物理方法课件第七章-----行波法
能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）； • 掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义; • 掌握行波法解题的要领，并且能够使用 行波法求解定解问题；
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
23讲 行波法
u
t2
初始时刻，两波相互抵消，合波振幅为0，随着时间的增加， 合振幅不为0，且振动区域逐渐扩大，这称为弥漫效应。 二、端点反射 例如，半无限长弦的自由振动，其定解方程为：
utt a 2u xx 0, (0 x ) u t 0 ( x ), ut t 0 ( x ), u x 0 0.
4 3
u
t0 0
1
2
x u
3
1
t1
x
t2
u
x u
t3
x
ux
0. 需要作偶延拓， x 0
1
u
3
t4
x
边界条件分别延拓为：
( x 0) ( x), Φ( x) ( x). ( x 0) ( x), 和Ψ ( x) ( x). ( x 0) ( x 0)
h( ) 0, 即 ( 0) h( ) 0.
把两区域的解代入衔接条件得：
f (t ) g (t ) h(t ), g h f Y1 Y2 Y1 x x x 0 x x 0 (t 0)
,
x 0
f f 1 1 f , 其中， x 1 x a1 1 f 1 f 当x=0时，1=t， x x 0 a1 1Biblioteka 43u
t0 0
1
2
u
3
1
x
t1
1
u
x
3
t2
相应的半无界的解为：
1 x at x 1 2 [ ( x at) ( x at)] 2a x at ( )d , (t a ) u 1 [ ( x at) (at x)] 1 x at ( )d at x ( )d , (t x ) 0 2 2a 0 a
第七章-行波法
的物理意义
u2 f2 ( x)
u2 f 2 ( x a / 2)
a
a 2
u2
a
3a 2
u2
x
x
t 1
t 2
u2 f 2 ( x a)
u2 f 2 ( x 2a)
0
u2
2a
x
a
3a
x
随着时间 t 的推移，u2 f2 ( x at ) 的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动，所以表示一
(t x / a) (t x / a)
(t x / a)
1 1 ( )d 2a x at 2a 1 2a
x at
x at
x at
0
1 1 ( )d ( )d 2a x at 2a
0 x at
0
x at
0
1 ( )d ( )d 2a x at
数学物理方程与特殊函数
第7章 - 行波法
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
由一维波动方程建立通解公式，然后得到Cauchy问题解的表达式
数学物理方程与特殊函数
（一）波动方程的达朗贝尔公式
A. 变量代换
第7章 - 行波法
x
1 1 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
1 1 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 a x0 2
x
数学物理方程与特殊函数
波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
§7.1 行波 (2)
设原点振动表达式为
y0 = Acosω t
/
x P点运动传到O点需用时间 t = 点运动传到O 点运动传到 u x O点的相位落后于P点相位： ω 点的相位落后于P点相位： 点的相位落后于 u
x x P点在 时刻的相位为 ω +ω =ωt + 点在t t 点在 u u
单位体积内弹性势能： 单位体积内弹性势能：
3. 体变（容变）模量 K 体变（容变）
一块物质周围受到的压强改变时,其体积发生变化的现象称体变。 一块物质周围受到的压强改变时 其体积发生变化的现象称体变。 其体积发生变化的现象称体变 体积模量
体应 变 压强的改变 单位体积内弹性势能： 单位体积内弹性势能：
3.波是相位的传播。 3.波是相位的传播。 波是相位的传播
上 下
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后 b
●
a
●
图中b点比 点 图中 点比a点 点比 的相位落后。 的相位落后。
1.在下面几种说法中，正确的说法是： 1.在下面几种说法中，正确的说法是： 在下面几种说法中 (A)波源振动时， (A)波源振动时，波源的振动周期与波动的周期在数 波源振动时 值上是不同的． 值上是不同的． (B)波源振动的速度与波速相同． (B)波源振动的速度与波速相同． 波源振动的速度与波速相同 (C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源 (C)在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源 的相位滞后( 的相位滞后(按差值不大于 π 计)． (D) 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比 波源的相位超前． 波源的相位超前．(按差值不大于 π 计) 答案C 答案C
§7.2
一.平面简谐波 平面简谐波 简谐波: 简谐波
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变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从 而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微 分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程 的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或 常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但 是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际 上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求 解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式 利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x
2u u u u u ( ) ( ) 2 x x x 2u 2u 2u 2 2 2 同理有，
uⅠ（达朗贝尔公式）
uⅡ
一般的强迫振动（非齐 次）定解问题 utt a 2u xx f ( x, t ), - x , t 0 (Ⅱ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
行波法复习小结
1、一维无界弦自由振动的初值问题
utt a 2u xx x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x) t
第七章 行波法
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）； • 掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义; • 掌握行波法解题的要领，并且能够使用 行波法求解定解问题；
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
x a ( t ) 1 u ( x, t ) f ( , )d d 纯强迫振动问题的解。 x a ( t ) 2a 0 t
从而一般的强迫振动（非齐次）定解问题(Ⅱ的解为： )
x a ( t ) 1 1 x at 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d f ( , )d d x at x a ( t ) 2 2a 2a 0 t
1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d ⑾ 2 2a x at
x at
达朗贝尔公式 D’Alembert
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
实际上，这里 u ( x, t ) F ( ) G ( ) F ( x at) G ( x at) 1 1 ( x at) 2 2a
0 t
而v( x, t ; )满足下列定解问题 vtt a 2 v xx 0, - x , t 0 v |t 0 0, vt |t f ( x, )
达朗贝尔公式直接求解
§7.2 行波法—强迫振动
五、强迫振动问题
这样就得到了纯强迫振动问题(Ⅲ)的解为
x at
x at x at
x at
1 1 ( )d ( x at) 2 2a 0
x at
( )d
0
1 1 [ ( x at) ( x at)] ( )d 2 2a x at
⑾
(11)式称为达朗贝尔（D ' Alembert）公式。它就是无界弦自由 振动的定解问题Ⅰ的解。这种求解方法也称达朗贝尔法。 ()
一次，得到 1 F ( x) G ( x) ( )d c a0
x
⑥ ⑦
为了把 ⑥和⑦式联立求解，把 ⑦式两边对x积分
⑧
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
联立⑥和⑧式，可得
u( x, t ) F ( x at) G( x at) ⑤
x 1 1 c ( )d ⑨ F ( x) ( x) 2 2a 0 2 x 1 1 c G ( x) ( x) ( )d ⑩ 2 2a 0 2 利用⑤式关系，把x换成x at和x at，并且⑨ ⑩得，
2 2 2 2u u u u 2 a [ 2 2 2] 2 t
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
2u 2u 把 2 和 2 代入方程①中，得到 t x 2u 0 两边对 积 分 ， 得 到 u f ( ), f ( )是的 任 意 函 数 。
§7.2 行波法—强迫振动
强迫振动问题
1、 对 于 一 般 的 强 迫 振 （ 动非 齐 次 ） 定 解 问 题
utt a 2u xx f ( x, t ), - x , t 0 (Ⅱ) u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ) 其 解 可 以 分 为 两 部 分成 组 。u uⅠ uⅡ, 其 中uⅠ代 表 自 由 振 动 ， 其 解 由 达 朗 贝 尔 公 式定 确； 对 uⅡ ，相当于求解下列 纯强迫振动问题。 utt a 2u xx f ( x, t ), (Ⅲ) u |t 0 0, ut |t 0 0 - x , t 0
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
1、 达 朗 贝 尔 公式 是 根 行 据 波 法 推 得的 一 维 无 弦 界 的 自 由 振动 问 题 的 ， 解 问 题 ， 均 可 以 使 用 达贝 朗 尔 公 式 直接 求 解 。
例1：求解初值问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | cos x , u | t 0 t t 0 e 解：本例题为一维波动方程的标准形式，可以直接使用达朗贝尔公式求解。 1 这里 ( x) cos x, ( x) , 故由达朗贝尔公式得 e 1 1 x at 1 u ( x, t ) [cos( x at ) cos( x at )] d x at 2 2a e t cos at cos x e
§7.2 行波法—强迫振动
强迫振动问题
对于纯强迫振动问题： utt a 2u xx f ( x, t ), - x , t 0 (Ⅲ ) u |t 0 0, ut |t 0 0 其解可以由冲量定理法 确定，即 u ( x , t ) v ( x , t ; ) d ,
1 x at 1 u ( x, t ) d 2 x at 2a 1 1 [arctan( x at) arctan( x at)] 2a
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例3：求解弦的自由振动问 题，设弦的初始位移为 ( x)， 初始速度为 a ' ( x)。该问题可以归结为如 下定解问题: utt a 2u xx 0, - x , t 0 u |t 0 ( x), ut |t 0 a ' ( x) 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。这里 ( x) ( x), ( x) a ' ( x),故由达朗贝尔公式得 1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at) ( x at)] [a ' ( )]d x at 2 2a 1 1 x at [ ( x at) ( x at)] ' ( )d 2 2 x at 1 1 [ ( x at) ( x at)] [ ( x at) ( x at)] 2 2 ( x at)