数学物理方法第1章复变函数-2016详解
《数学物理方法》第一章作业参考解答
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法第四版课后答案
数学物理方法第四版课后答案《数学物理方法第四版课后答案》第一章：复变函数1.1 复数与复平面题目1：将以下复数写成极坐标形式：a) z = 3 + 4ib) z = -2 - 5ic) z = 5i解答：a) r = √(3^2 + 4^2) = 5, θ = arctan(4/3)∴ z = 5(cos(arctan(4/3)) + i*sin(arctan(4/3)))b) r = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29, θ = arctan((-5)/(-2)) = arctan(5/2)∴ z = -√29(cos(arctan(5/2)) + i*sin(arctan(5/2)))c) r = √(0^2 + 5^2) = 5, θ = arctan(0/5) = 0∴ z = 5(cos(0) + i*sin(0)) = 5i题目2：计算以下复数的共轭：a) z = 3 + 4ib) z = -2 - 5ic) z = 5i解答：a) z* = 3 - 4ib) z* = -2 + 5ic) z* = -5i...第二章：常微分方程2.1 一阶微分方程题目1：求解以下一阶线性非齐次微分方程：a) \\frac{dy}{dx} + 2y = e^xb) \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2解答：a) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = 0观察到该方程的解为 y = Ce^{-2x}，其中 C 为任意常数然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x令 y = A e^{-2x}，其中 A 为待定常数\\frac{dy}{dx} = -2A e^{-2x}，代入方程得到 -2A e^{-2x} + 2A e^{-2x} = e^x解得 A = -\\frac{1}{4}∴ 非齐次方程的解为 y = -\\frac{1}{4} e^{-2x}，加上齐次方程的解得到最终解 y = Ce^{-2x} - \\frac{1}{4} e^{-2x}b) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} - y = 0观察到该方程的解为 y = Ce^x，其中 C 为任意常数然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2令 y = A e^x + B，其中 A、B 为待定常数\\frac{dy}{dx} = A e^x，代入方程得到 A e^x - (A e^x + B) = 3x^2解得 B = -3x^2∴ 非齐次方程的解为 y = A e^x - 3x^2，加上齐次方程的解得到最终解 y = Ce^x - 3x^2...通过以上两个例题，可以看出在解一阶线性非齐次微分方程时，首先解齐次方程得到通解，然后根据非齐次项的形式确定待定系数，最后将通解与待定解相加得到最终解。
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数
《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数首先，复数是由实数和虚数单位i组成的数，形式上可以写成a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部。
复数之间的加、减、乘、除运算规则与实数类似，只是需要注意虚数单位i的平方等于-1，即i²=-1接下来，复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
对于复数z=x+iy，其中x和y是实数，我们可以将复变函数f(z)再拆分为u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部。
如果在一些区域内u(x,y)和v(x,y)都是连续且可微的，那么f(z)就是该区域内的解析函数。
解析函数的几何意义是它可以通过无限次的微商得到。
解析函数具有一些重要的性质。
首先，解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，即它们的一阶偏导数满足以下关系：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
其次，解析函数的共轭函数也是解析函数。
第三，解析函数可以表示为幂级数的形式，这是解析函数的显著特征之一、最后，解析函数在一些区域内的积分只依赖于积分路径，与路径无关。
这个性质被称为留数定理。
在复变函数的应用中，经常会遇到三个重要的方程：拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹方程。
拉普拉斯方程是描述无源场的分布的方程，它的形式为▽²f=0，其中▽²表示拉普拉斯算子。
泊松方程是描述有源场的分布的方程，它的形式为▽²f=ρ/ε₀，其中ρ为电荷密度，ε₀为真空介电常数。
亥姆霍兹方程是波动方程的一个特例，描述了电磁场、声波、横波等的传播与干涉，它的形式为▽²f+k²f=0，其中k为波数。
综上所述，《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数主要介绍了复数的定义、复变函数与解析函数的概念，以及解析函数的性质和三个重要的方程的应用。
对于学习物理或数学的同学而言，掌握复变函数与解析函数的基本知识是非常重要的，它为后续的学习提供了重要的数学工具。
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
数学物理方法第1章复变函数-2016解答
【解】 设方根为 w k ，根据上面公式有
wk
1 e n
i 2kπ n
k 0,1,2,…,n 1
当 n=2 时，其根为 1. 对应于单位圆与实轴
的两交点.
22
当 n 3 时，各根分别位于单位圆 z 1的内接正多边
形的顶点处，其中一个顶点对应着主根： w0 1 , (k 0 ) .
面上的一个矢量， 为矢量长度，
为幅角 。记
z ei
z=x+iy=2k 幅角主值：0 Arg z 2 , Arg z ,
(z 0, ; k 0,1,2,...)
注：arg ：argument (幅角、宗量，自变量）
数学物理方程(方法)
共60学时，3学分.
（以课堂讲授为主，加强课前和课后练习）
考试时间：暂定11月30日下午 考核方式：30%作业+70%期末考试
主要参考书目：
1. 梁昆淼 《数学物理方法》（第四版）高等教育出版社. 2. 吴崇试，《数学物理方法》，北京大学出版社 3. 冉扬强，《数学物理方法》， 科学出版社。 4. 王友年等《数学物理方法》，大连理工大学出版社
等式，对于 x 0 ，其辐角不满足要求.
24
1.2 复变函数 (一) 复变函数的定义
在复平面上一点集 E 中每一点z ，都有一个或几个 复数w与之对应，称w为 z 的函数，E 为定义域，记 w =f(z)，z E 。z有时称为宗量(argument) 或自变量。 实函数: y=f(x)= ± x^(1/2), x>=0 多值
17
N
A’
A
S
球的南极与复数平面的原 点相切，平面上任意点 A 与球的北极由一条直线相 连，直线与球相交于 A’ 。 由此，每一有限的复数 投 影到球上一点 。这个投影 叫测地投影，这个球叫复 数球。
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欧拉公式:
可以证明级数
ei cos i sin
1 n z n!
1 2 e = 1 z z 2!
z
在整个复数范围是绝对收敛的
Z=iy
1 1 2 e 1 iy (iy ) (iy )3 2! 3! 1 2 1 4 1 3 1 5 (1 y y ) i ( y y y 2! 4! 3! 5! cos y i sin y
z1 z2 z2 z1
结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) 分配律
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
小结：复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。
z x iy
Im z= (z-z*)/(2i)
12
三角(指数）式：几何描述
虚轴 i
y
复平面
z
y=
0
x
复数 z 从几何上看，复数又是平 面上的一个矢量， 为矢量长度， i 为幅角。记 z e
x= z=x+iy= (
实轴
模：
x2 y 2 z
)=
0 Arg z 2 , Arg z , 幅角主值：
虚轴
y
复平面
Z=x+yi y
x
0
x 0
x
实轴
复数的本质：有序实数对 (x, y) 实数的推广：有序实数对 (x, 0) (x, y)
纯虚数
：有序实数对 (0, x) x不等于 0
11
复数 ：i2 = −1？
i
扩张y X轴
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1) i “=” 逆时针旋转90度 复数相等：两复数的实部和虚部分别相等 复数的共轭： z* x iy Re z= (z+z*)/2;
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 1 i (1 2 ) i 2 e 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2 2
z1 z2 z1 z2
幂（n整数） 根
n n
z e
n
n in
z e
i / n
y0 逼近 z z0 x x0 , y 21
20
z1 z2 z1 z2
z1 x1 iy1 ,
z2 x2 iy2
加法 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) 减法 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ) 乘法 除法
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
所有的无穷大复数（平面上无穷远点）投影到唯一的 北极 N。故我们为方便，将无穷远点看作一个点。其 模无穷大，幅角无意义。
18
扩充复平面的一个几何模型就是复球面
关于新“数”∞还需作如下几点规定：
(1) ∞的实部，虚部及幅角都无意义，
(2)b≠0(但可为∞)时， b b , b ;
－1
x －i
x0 2 2 ( x 1) y 2
2 2
x0 或 2 2 ( x 1) y 2
注意到 ( x 1) y 2 是以（－1，0）为圆心，以 2 为半径的 圆周，所以满足题给条件的是图 1.10 中灰色的部分. 根据题给辐角不 等式，对于 x 0 ，其辐角不满足要求.
ln(a bi) ln a 2 b2 i( 2k )
sin b / a2 b2
y 2 cos x 和
1740年，Euler 给Bernoulli的信中说：
y e
1x
e
1x
是同一个微分方程的解，因此应该相等
1 1x 1x e e 2 1 sin x e 1x e 2 1 cos x
2 4
没有意义。这是历史上首次形式上出现负数的平方根。
4
1545年, 意大利数学家卡丹(G. Cardano,1501-1576) 在《大术》
中提出“把10分为两部分, 使其乘积为40”的问题,并给出
40 (5 15)(5 15)
卡丹公式
x ax b
3
2 3 2 3 b b a b b a x3 3 2 4 27 2 4 27
9
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算 复数的分类 正整数（自然数） 整数 有理数 实数 复数
x yi
y0
零 负整数
分数 无理数 纯虚数 （ x 0, y 0 ）
虚数
y0
非纯虚数 （ xy 0 ）
10
第一章 复变函数
虚数合理化：
1.1 复数与复数运算
一维实数R 二维实数 C={(x,y)}
w1
y y w1 y
w1
w0 w3
w2
n=3
1 w 2
1
w3
x
w3
n=4 图 1.4
w4
w5
n=6
23
例：不等式 0 arg
z i π zi 4
所确定的点集
注意到，在 (0, π / 4) 的角度区域，正切函数是单增的，对上述不等 式两边均取正切得到
y
0
由此得到
2 x 1 2 2 x y 1
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
小结：复数 z 是两个独立变量 (x, y) 的集合。它在数值 计算中是一个整体，服从通常的四则运算规则。
16
（二）无限远点
复平面的无限远处看成
一个“点”----无限远
点 模有限的复数跟复平面上的有限远点一一对应
模为无限大的复数也跟复平面上一点对应（无限远点）
5
经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论
8
第一章 复变函数
1.1 复数与复数运算
（一）复数(complex number,集合为：C)的基本概念 复数（代数形式）：
z = x + i y = x 1+ y i
x, y:实数，x—实部（Real part, 简称 Re z ) y—虚部 (Imaginary part，简称 Im z ) 1：实数单位 1*1=1 i：虚数单位 i*i = -1
wk n 1 e
i 2 kπ n
k 0,1, 2,…, n 1
当 n=2 时， 其根为 1 . 对应于单位圆与实轴 22 的两交点.
当 n 3 时，各根分别位于单位圆 z 1的内接正多边 形的顶点处，其中一个顶点对应着主根： w 0 1 , (k 0 ) . 图(1.4)表示当 n=3,4 和 6 时根的位置分布情况.
等广泛的应用。
2
第一篇 复变函数论
复变函数论（complex functions）：
研究自变量是复数的函数理论及应用，主要研究解析函数。
自然数，整数，小数， 分数，有理数，无理数，… 实数
？
复数
实(变)函数 ？ 复(变)函数
3
复函数发展简史
1
复数起源于代数方程求根
16世纪，一元二次、一元三次代数方程求解时就引入了 虚数，给出了虚数的符号和运算法则。 1484年, 法国数学家舒开(N. Chuquet, 1445—1500) 在《算术三编》中指出二次方程 4 x2 3x 的根 x 3 9 4
a , 0, (3)a≠∞时， a
0
a a ;
无意义
19
0 (4)运算∞± ∞，0· ∞， , 0
（三）复数的运算 定理： 两个复数相乘，其模等于它们模的乘积， 其幅角等于它们幅角的和。 复数的运算服从规律: 交换律
z1 z2 z2 z1
arg z Arg z 2k
( z 0, ; k 0,1,2,...)
注：arg ：argument (幅角、宗量，自变量） 复共轭
z* x iy ei
13
arg (z) 性质：
arg( z*) arg ( z ) arg(z z ) arg(z ) arg(z ) 1 2 1 2 arg(1 / z ) arg ( z )
5
由于 1 在实数范围内无意义，在很长时间内，直到19世
纪中叶，这类数仍然是不合法的。 法国的笛卡尔（R.Descartes,1596-1690）在1637年《几 何学》中称其为虚数(“虚幻数” imaginary number) 2 Bernoulli和Leibniz的争论 1712~1713
与卡丹同时代的意大利数学家邦贝利(R.Bombelli,约1526— 1573) 是第一个认真看待虚数并认识到虚数应用价值的人。他在
《代数》中建立了虚数运算法则。
如对于 x3 15x 4 邦贝利发现有一个根 x 4
x 3 2 11 1 3 2 11 1
他证明了 3 2 11 1 2 1
4. 王友年等《数学物理方法》，大连理工大学出版社
1
课 程 框 架
数学方法（抽象）
物理 (原理，现象，规律等）
物理模型：数学物理方程 数学物理方法 特色：数学与物理的交叉 内容：复变函数论、数学物理方程与方法、特殊函数 意义：应用数学知识解决实际物理和工程方面的问题，在物理
学、电动力学、量子力学、弹性力学、流体力学、电子工程技术
1743年，发表了Euler公式
1x
欧拉像使用实数一样有效地使用复数,数学家们也因此对复数产 生了一些信心。在18世纪,尽管一些数学家已较为广泛地使用复 数,但无论欧拉还是别的数学家对这些数都还不甚清楚。