1-第七章 数学物理方法文库.ppt
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《数学物理方法》第七章 贝塞尔函数
?
45
【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x) 解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有
(7.2.16) 同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1
节中例7.1.1的结论，即有
46
§7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式 平面波按柱面波展开
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线．
13
(2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
15
(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x) 的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公 式相同．
汉克尔函数的递推公式也可按上法导出． 凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的
函数称为柱函数．因此，第一、二、三类贝 塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数．
43
26
【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数 可用初等函数表示为
证明 利用式(7.1.10)可得
27
同理，利用式(7.1.11)可得
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【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x) 解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有
(7.2.16) 同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1
节中例7.1.1的结论，即有
46
§7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式 平面波按柱面波展开
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线．
13
(2)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
15
(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x) 的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公 式相同．
汉克尔函数的递推公式也可按上法导出． 凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的
函数称为柱函数．因此，第一、二、三类贝 塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数．
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【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数 可用初等函数表示为
证明 利用式(7.1.10)可得
27
同理，利用式(7.1.11)可得
数学物理方法课件：1-复变函数
n
z
n
ei / n
n
i argz2k
e n ,
k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i
2 cos i sin
i
2e 4
4
4
2k
2k
4 1 i 8 2cos 4
i sin 4
,
4
4
(k 0,1,2,3)
9
w0
8
2 cos
16
i sin
16
w2
8
2 cos17
本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。
3
§1.1 复数与复数运算
（一）复数的概念 1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x ,
y∈R。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为
虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
绪论
“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方 程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理 学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后 续的理论物理课和专业课做准备。
课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程 两大部分。
1
绪论
教材与参考书： ➢ 梁昆淼，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，
2010年 ➢ 斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学
z x iy
代数式
y
z(x, y) cos i sin (三角式)
ei
（指数式）
O
x
x2 y2 z
Argz,
数学物理方法课件(北师大版)7
物质。
Q(x)
一、初始条件
• 在初始时刻给定物理量的分布：u(x,t)|t=0=φ(x). 表示t=0 时刻空间所有点的物理量的值是给定的。 • 由于多数运动方程含有对时间的二阶导数，因此我们还需 要知道初始时刻的“速度”分布，即物理量的一阶导数分 布值， ut(x,t)|t=0=ψ(x). • 稳恒状态：当系统的物理量不随时间发生变化，即
• 物理意义：作坐标变换X=x-at, T=t， 则f2(x-at)=f2(X)， 与时间无关！故f2(x-at)描述的是沿x正方向以速度a传播 的行波； • 同样， f1(x+at)描述沿x负方向以速度a传播的行波。 • u=f1(x+at)+f2(x-at)描述以速度a向两个方向传播波的叠加。 • 函数f1和f2是由初始条件决定的，决定沿正方向和负方向 传播的波形，即两个波的形状不会发生改变。 • 当两个波发生重叠时，整体的波形将发生改变。 • 注意到坐标变换实际上是伽利略变换。
B. 在一根均匀弦的中间有一个振动源？
C. 在两种不同材料之间的热传导方程及衔接条件？
§7.3 达朗贝尔公式
• 我们已经获得了一些关于连续介质运动的偏微分方程，以 及定解条件，现在的问题是如何求解这些方程。
• 本课程主要介绍级数求解法、积分求解法、积分变换法。
• 对于常微分方程的一般解法，先从方程本身求出通解，通 解中会含有一些积分常数，然后利用附加条件来确定这些 常数。偏微分方程也可以采用这种方法来求解。 • 我们首先介绍一种特殊的通解方法。
1. u1(x0,t)=u2(x0,t) u1t(x0,t)=u2t(x0,t); 2. u1xx(x0,t)-u2xx(x0,t)=(a12+ a22)u1tt(x0,t) ??
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
x
T (ux |xdx ux |x ) (dx)utt 因 dx很小
T
ux
xdx ux dx
x
utt
utt Tu xx (7.1.5)
5
utt Tu xx (7.1.5)
因为B段是任选的，所以方程（7.1.5）适用于弦上各处， 是弦做微小横振动的运动方程，简称弦振动方程。
记
T a2
(a 0)
响 ➢ 将这种影响用数学关系式表达出来，并简化
整理数学物理方程
2
（一）均匀弦的微小横振动
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某 种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的 横振动方程。
假定：
➢弦是理想柔软的横截面方向无应力，张力沿弦切线
➢弦的质量线密度为；
➢静止时弦位于x 轴，横向振动时各点的位移为 u(x,t); ➢弦没有纵向振动，横向振幅是微小的； ➢张力 T>>重力 mg。
x x+dx x A u Bu+du C
t 时刻杆伸长 u(x dx,t) u(x,t)
相对伸长量 u(x dx,t) u(x,t) u(x,t) 随x而异
dx
x
由胡克（Hooke）定律 P(x,t) E u(x,t) x
由牛顿运动定律 Sdxutt P(x dx,t)S P(x,t)S
第七章 数学物理定解问题(5)
1.数学物理方程（又称为泛定方程）
物理量在时空中的变化规律，并把它写成数学形式(偏 微分方程)即为数学物理方程。它反映了同一类物理问题 的共性。
2.定解条件（包括初始条件与边界条件）
对具体的实际问题，我们必须考虑周围环境的影响和 初始状态对具体物理问题演化的影响。它反映了具体物 理问题的个性。
最新数学物理方法(MethodofmathematicalPhysics)PPT
-2 -1 0
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
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数学物理方法
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（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
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数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
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数学物理方法
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（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
数学物理方法 课件
数学物理方法课件一、引言数学物理方法是一种广泛应用于科学、工程和技术领域的工具，它涵盖了从最简单的线性代数到更复杂的微分方程和量子力学等广泛的主题。
本篇文章将概述数学物理方法在科学、工程和技术中的应用，并重点介绍一些常用的数学物理方法及其基本原理。
二、数学物理方法的应用数学物理方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、工程学和地球科学等。
例如，在物理学中，数学物理方法被用于描述和预测各种现象，如力学、电磁学、热力学和量子力学等。
在化学和生物学中，数学物理方法被用于研究化学反应和生物系统的动态行为。
在工程学和地球科学中，数学物理方法被用于解决实际问题和预测自然现象，如流体动力学、结构力学和气候变化等。
三、常用的数学物理方法1、线性代数：线性代数是数学物理方法的基础，它研究的是向量空间和线性变换的数学性质。
线性代数在物理学、工程学和化学中被广泛应用，用于描述和预测各种现象。
2、微积分：微积分是研究变化率和累积量的数学工具，它在物理学和工程学中被广泛使用，用于描述和预测各种动态行为。
3、微分方程：微分方程是描述动态系统变化的数学工具，它在物理学、工程学和生物学中被广泛应用。
微分方程可以用来描述物体的运动、化学反应的速度以及生物系统的动态行为等。
4、量子力学：量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，它使用数学物理方法来描述和预测微观粒子的状态和行为。
量子力学在物理学、化学和材料科学中被广泛应用。
四、结论数学物理方法是科学、工程和技术领域中不可或缺的工具，它为我们提供了描述和预测各种现象的强大工具。
通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
在我们的日常生活中，物理现象无处不在。
当我们打开电灯时，为什么会立刻看到光线？当我们在冷天洗热水澡时，为什么会感到身体变暖？这些都是物理现象的表现。
今天，我们将一起走进这个充满奇妙和神秘的物理世界。
让学生了解物理是什么，以及物理学科的特点和研究内容。
数学物理方法PPT课件
y
r
sin
sin
,
z r cos .
规定 0r ,
0,
02.
z
r•M(x,y,z)
z
o
x
A
y
•
xy P
8
（一）拉普拉斯方程
拉普拉斯算符的形式
二维
三维
直角坐 标
2 xxyy
2zz
柱坐标
2 112 12
2zz
球坐标 's1insi ns1 i2nr12 rr2r r12 '
rr2r1r r2'
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程，如达朗贝尔 法， 能够得到解析解 级数法 — 如分离变数法，能够得到近似的级数解 数值解法 — 计算数学内容
1
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前言
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2
有关分离变量法（级数解法）：
轴对称球坐标下拉普拉斯方程 uR(r)() 分离变数得到:
1 欧拉方程 (r2R') 'l(l1)R0
RCrl Dr1l1
2 勒让德方程
si(n s 'i)/ n ' l( l 1 )s2 in 0
xcos [(1x2) ']'l(l 1 ) 0
"0 si (n s ') i [ n 'l( l 1 ) s2 i n ] 0
A co m s B sm i n
xcos
连带勒让 德方程
[1 (x 2 ) '] [ 'l(l 1 ) 1 m x 2 2] 0
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标