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数学物理方法1-137页PPT文档
u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简
理学数学物理方法PPT课件
z0 | z |
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
第26页/共30页
复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
第29页/共30页
感谢观看！
第30页/共30页
无穷远点
第11页/共30页
复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
第25页/共30页
例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.
最新数学物理方法(MethodofmathematicalPhysics)PPT
-2 -1 0
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
2021/1/22
数学物理方法
1
（MethodofmathematicalPhysics）
5 4 3 2 1 5
2 1 0 -1
16
2 -2
复变函数
三角函数
20
定义：w = sin(z)
0
分析
-20
-5
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y)
-2.5
+ i cos(x)sh(y)
100
50 0
-50 -100
-10 -5 0
10 5 0 -5
5 -10
10
u = x2 -y2 ,
v = 2xy 200
性质
对称性、无周期性 无界性、单值性
100 0
-100 -200
-10 -5 0
10 5 0 -5
2021/1/22
数学物理方法 （MethodofmathematicalPhysics）
正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交，
即 ∇u ∇ v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
2021/1/22
数学物理方法
22
（MethodofmathematicalPhysics）
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。
vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
数学物理方法(第四版)(汪德新)PPT模板
12.1傅里 叶变换
1
12.2傅里 叶变换法
2
12.3拉普 拉斯变换
3
12.4拉普拉 斯变换法
4
第三篇数学物理方程
第13章格林函数法
03
＊13.3格林函数法
在波动问题中的应
用
02
＊13.2格林函数法 在输运问题中的应
用
01
＊13.1格林函数法 在稳定场问题中的
应用
第三篇数学物理方程
第14章保角变换法
02 第17章Z变换
＊17.1Z变换的定义及其性质 ＊17.2用Z变换求解差分方程
03 第18章小波变换
＊18.1从傅里叶变换，加博变换到小波 变换 ＊18.2连续小波变换的性质
第四篇数学物理 方法的若干新兴 分支
06 参考文献
参考文献
07 附录
附录
1. 附录A微分算符▽的若干常用公式 2. 附录B几种常用的常系数常微分方程的解 3. 附录C广义积分与积分主值 4. 附录D二阶线性齐次常微分方程w″（z）＋p（z）w′（z）＋q（z）w（z）
数学物理方法（第四版）(汪德新)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 第一篇复变函数导论
第一篇复变函数导 论
第1章复变函数与解析函数 第2章复变函数的积分 第3章解析函数的级数表示 第4章留数定理及其应用 第5章解析延拓多值函数及其黎曼面
第一篇复变 函数导论
第1章复变函数与解析函 数
6.3勒让德多项式的正交性与完备 性
6.2勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
6.4关联勒让德方程与关联勒让德 函数
第二篇特殊函数场论与狄拉克δ函数
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
第一篇第4章数学物理方法PPT
C3
(1) C3
∫ Rezdz ＝
(2) C3
1 +i 2
除了与起点、终点有关外， 除了与起点、终点有关外，
由此例可知， 由此例可知，一般说来复变函数积分
∫ f ( z ) dz
C C
还与积分路径C有关 还与积分路径 有关. 什么情况下复变函数积分 有关 无关呢？这里有 定理. 无关呢？这里有Cauchy定理 定理
C
解：由于
z3
是全平面的解析函数， 是全平面的解析函数，所以有
1 i 2 1 4 2i
z ∫ z dz = ∫ z dz = 4 C 1
3 3
1
1 1 4 1 15 = ( i) − = − 4 2 4 64
Company Logo
Click to edit title style
C C C
α, β
写出有向曲线C的复式 写出有向曲线 的复式
是复常数. 是复常数
对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外， 对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外，通常
z = z (t )
b
，不失一般性，实变量 t 总可以 不失一般性，
认为a≤t≤b，（否则利用性质（2）化成这种形式），于是有计算公式： ，（否则利用性质（ ）化成这种形式），于是有计算公式： ），于是有计算公式 认为 ，（否则利用性质
圆周
γ
：z −a
iθ = r ，即 z − a = re
， (0≤
θ≤
n inθ
2π )
dz = rie dθ , ( z − a) = r e
n
于是有
iθ
dz dz ∫ ( z − a) n = ∫ ( z − a) n = C γ
(1) C3
∫ Rezdz ＝
(2) C3
1 +i 2
除了与起点、终点有关外， 除了与起点、终点有关外，
由此例可知， 由此例可知，一般说来复变函数积分
∫ f ( z ) dz
C C
还与积分路径C有关 还与积分路径 有关. 什么情况下复变函数积分 有关 无关呢？这里有 定理. 无关呢？这里有Cauchy定理 定理
C
解：由于
z3
是全平面的解析函数， 是全平面的解析函数，所以有
1 i 2 1 4 2i
z ∫ z dz = ∫ z dz = 4 C 1
3 3
1
1 1 4 1 15 = ( i) − = − 4 2 4 64
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C C C
α, β
写出有向曲线C的复式 写出有向曲线 的复式
是复常数. 是复常数
对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外， 对于复积分的计算除了可化为两个第二类的曲线积分的计算外，通常
z = z (t )
b
，不失一般性，实变量 t 总可以 不失一般性，
认为a≤t≤b，（否则利用性质（2）化成这种形式），于是有计算公式： ，（否则利用性质（ ）化成这种形式），于是有计算公式： ），于是有计算公式 认为 ，（否则利用性质
圆周
γ
：z −a
iθ = r ，即 z − a = re
， (0≤
θ≤
n inθ
2π )
dz = rie dθ , ( z − a) = r e
n
于是有
iθ
dz dz ∫ ( z − a) n = ∫ ( z − a) n = C γ