研究生数理方程期末试题10111A答案
最新数理方程期末试题-07-08-2-B-答案
最新数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ _________________姓名 _______________ 学号一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示.初速度为零，又没有外力作用.求弦做横向振动时的位移(,)u x t .[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解.5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法.][ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x ln πsin ，其解可以表示成1(,)()sin n n l n u x t v t x π∞==∑把原问题中非齐次项t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数∑∞===122sin )(sin sin ),(n l n n l a l xt f tx t x f πππ因此有⎩⎨⎧===,...4,3,1,0;2,sin )(2n n t t f l a n π利用参数变易法，有,...5,4,3,1,0),()cos sin ()(sin sin),(222402222==-=-=⎰n t x v t t t d t t x v n l a l a a l a l tl a l a a l πππππππτττ于是x t t t t x u l l a l a a l a l πππππ22224sin )cos sin (),(-=6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-=+∞<=<<∂∂+∂∂=∂∂====0|,1||,0|0),(00012222222t R r t r R r r t u u u u R r r u r u a t u [ 解 ] 用分离变量法求解.令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得⎩⎨⎧==+0)0('0)()(")(22T t T a t T I β 以及⎩⎨⎧=∞<=++0)(,)(0)()(')(")(0222ρρρρβρρρρR R R R R II设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为)()()(0022ρρβρλρλnn J R n n ==问题（I ）的解为t C t T na n n 0cos )(ρλ=于是原问题的解是∑∑==tJ C t T R t u nn a n n n 0cos)()()(),(0ρλρλρρρ由初始条件2021)0,(ρρρ-=u得到)(8)()(422)(20)(213212222212002022120)()()1(nn nn n nnn n J J J n J J n J d J C λλλλλλρλρρρλρρλρλρρρ==⋅=-=⎰而且又有的零点，也即是由于,0)()(00=n n J x J λλ)()()(1220x J x J x J x =+故nn n J J λλλ2)()(12=于是最后得到原问题的解是∑∑∑===t J tJ C t T R t u n n nn n n na J J a n n n 00212200cos )(cos )()()(),(0)()(40ρλρλλλλρλρλρρρρ二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式⎰⎰⎰∂∂∂∂-=∇-∇Cn v n u D ds u v d v u u v )()(22σ其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分.[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有⎰⎰⎰-=-∂∂∂∂CDy P x Q ds P Q d )cos cos ()(βασ再设u ，v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令yvx v u P u Q ∂∂∂∂-==, 得到⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∇Cnv Cyv x v Dyvy u xvx uDdsuds u d vd u )cos cos ()(βασσ交换u ，v ，得到⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∇Cnu Cyu x u Dyv y u x v x u Ddsvds v d ud v )cos cos ()(βασσ上面第二式减去第一式，得到⎰⎰⎰∂∂∂∂-=∇-∇Cn vn u Dds u v d v u u v )()(σ证毕.8． 证明关于Bessel 函数的等式：1220100()d ()(1)()(1)()d n n n n x J x x x J x n x J x n x J x x --=+---⎰⎰。
大学数学期末考试a卷试题及答案
大学数学期末考试a卷试题及答案大学数学期末考试A卷试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限lim（x→0）sin（x）/x的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（）A. 2x+3B. x^2+3C. 2x^2+3xD. x+2答案：A3. 曲线y=x^3-3x+2在点（1，0）处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C4. 定积分∫（0到1）x^2dx的值为（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C5. 二重积分∬（D）xydA，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的区域，其值为（）A. 1/12B. 1/8C. 1/6D. 1/4答案：D6. 微分方程y'+2y=3e^(-2x)的通解为（）A. y=e^(-2x)+Ce^(-2x)B. y=e^(-2x)-Ce^(-2x)C. y=e^(-2x)+Ce^(2x)D. y=e^(-2x)-Ce^(2x)答案：A7. 级数∑（n从1到∞）1/n^2的和为（）A. 1C. π^2/6D. e答案：C8. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式为（）A. -2B. 2C. -5D. 5答案：D9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的值域为（）A. [-1, 1]B. [0, 1]C. [-√2, √2]答案：C10. 向量α=(1, 2, 3)和β=(2, 3, 4)的点积为（）A. 6B. 10C. 12D. 14答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为______。
答案：x=1, x=212. 曲线y=ln(x)在点（1，0）处的切线方程为y=______。
答案：x-113. 定积分∫（0到1）e^x dx的值为______。
答案：e-114. 微分方程y''-3y'+2y=0的通解为y=C1e^x+C2e^(2x)，其中C1和C2是常数。
研究生数理统计期末考试
数理统计学复习题1．设总体(0,1)X N ，125,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，试确定C 使统计量1212222345()()C X X Y X X X +=++服从t 分布。
2．设12,,,n X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的简单随机样本，问统计量2221(1)nii X U n X ==-∑服从什么分布？试说明你的理由。
3．求总体(20,3)N 的容量分别为10、15的两独立样本的均值差的绝对值大于0.3的概率。
4．设12,,,n X X X 为取自总体2(,)X N μσ 的简单随机样本，求常数C ，使得12111()n i i i X X C-+=-∑为2σ的无偏估计量。
5．设总体X 服从参数为θ的指数分布，其分布密度函数为11,0()0,0x ex f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
6．设总体X 的密度函数为22(),0xxf x ex θθ-=>，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
7．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数λ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
8．设总体X 的密度函数为111()(01)f x x x θθ-=<<，12,,,n X X X 为取自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计量，并讨论极大似然估计量的无偏性、有效性、相合性和充分性。
9．设铅的比重近似服从正态分布，今测量比重16次，得 2.705x =，0.029s =，试求铅的比重的均值μ和标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。
已知0.025(15) 2.1315t =，20.025(15)27.488χ=，20.975(15) 6.262χ=。
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
西电研究生数值分析试题A答案
答 案一． 填空题1、① x θ=2、②331()(53)2P x x x =- ③ 110,()()2,21n m n m P x P x dx n m n -≠⎧⎪=⎨=⎪+⎩⎰3、④ n ⑤ 04、⑥f f ⎛+ ⎝ ⑦ 1 ⑧ n+1 5、⑨02ω<< 6、⑩ 1()()k k k k f x cx x f x +-=-'二． 解：问题等价于求()f x =[1,1]-上关于权函数()x ρ=佳平方逼近多项式。
故选取切比雪夫基函数2012121===-,,T T x T x .001122(,),(,)(,)2T T T T T T ππ===1011111122211(,)1,(,)0,(,)(21)(21)0f T f T x f T x x x dx ----=====-=-=⎰⎰⎰⎰()f x =220(,)1()(,)j j j j j T f P x T T T π===∑由此得到参数10,0,a b c π===.而最小值(,,)I a b c 即是平方误差.即222(,,)(,)(,)I a b c f f f P δ==-2212211(,)(1(,)jj j jT fx xT T-==--∑⎰10.07448ππ=-≈三．证明：(1)若函数充分光滑，则有(1)1()()()()()(1)!nni i niff x f x l x xnξω++==++∑式中101()()()()n nx x x x x x xω+=---当()1f x≡时，有001()()()0()n ni i ii if x f x l x l x====+=∑∑(2)如果求积公式至少具有n次代数精度，则它对于n次多项式()njkj k jj kx xl xx x=≠-=-∏精确成立，即有()()nbk i k iail x dx Al x==∑⎰注意到()k i kil xδ=，故()()nbk i k i kail x dx Al x A===∑⎰即()0,1,2,,bk kaA l x dx k n==⎰ .解：(3) 插值节点为0121.0, 1.1 1.2.x x x===，步长100.1h x x=-=由三点公式()1021()()2f x f x f xh'=-+⎡⎤⎣⎦[]10.25000.206620.10.217=-+⨯=-另解（3）()()()()nn i iif x L x l x f x='''≈=∑当1 x x =时，110()()()ni i i f x l x f x =''≈∑三点的插值基函数为：1200102()()()()()1( 1.1)( 1.2)0.02x x x x l x x x x x x x --=--=--01()(2 2.3)0.02l x x '=-0211012()()()()()1(1)( 1.2)0.01x x x x l x x x x x x x --=--=--- 11()(2 2.2)0.01l x x '=-- 0122021()()()()()1(1)( 1.1)0.02x x x x l x x x x x x x --=--=-- 21()(2 2.1)0.02l x x '=- 将1 x x =代入，得：01()5l x '=-，11()0l x '=， 21()5l x '=(1.1)5(1.0)0(1.1)5(1.2)f f f f '∴=-⋅+⋅+⋅50.250050.20660.217=-⨯+⨯=-四． 解：(1) 令26x f (x)e -=，则212x f (x)xe -'=-，()221221x f (x)ex-''=-，()222432001xf (x)x(x )e x ,-'''=-≠∈，当01x ≤≤时，0f (x)'''>，所以1112f (x)f ()e -''''≤=f (x)''在[0,1]上为单调函数，因此[]()()(){}()0101012x ,max f x max f ,f f ∈''''''''===由于复化梯形公式的离散误差为()()()20112n h b a E f f ,-''-ξ<ξ<因此 ()()[]()20112n x ,h b a E f max f x ∈-''≤要使 ()610n E f-≤，则只要()[]()26011012x ,h b a max f x -∈-''≤即 ()22612101012h h --=≤因此310h -≤，故可取步长310h -=，由于1b a h n n-==，因此得310n =， 故节点数至少取1001.(2)将1,x 分别代入求积公式，使得1=2=a b +⎰；1021=35a b =+⎰. 由此的51,33a b ==.对应的求积公式为1511()(1)353f f ≈+⎰，将2x代入等式21251153253==+⎰恒成立，将3x代入等式31226775=≠⎰不成立， 故该求积公式的代数精度为2.五． (1) 解：由算式1111111111(1,2,3,4),/(2,3,4),(2,3,4;2,3,4),()/(2,3,4;3,4).jj i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a j l a u i u a l u k j l a l u u k i -=-=⎧⎪====⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-==⎪⎩∑∑得10004215210003001210002130410001A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦b Ly =→(1,3,2,8)Ty =-y Ux =→(9,1,5,8)T x =--(2) 因为10042211001220091212A LU ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦， 所以有200211110012123003TA LL -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦b Ly =→(5,0,3)Ty =T L x y =→(22,1)T x =，六． (1) 解：雅可比迭代矩阵为1022101220--⎡⎤⎢⎥=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()B D L U因为3-=-det()B I λλ，所以123===0λλλ，从而0=()B ρ，故雅可比迭代收敛。
数理方程期末试题-07-08-2-B-答案
数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ _________________姓名 _______________ 学号一、 计算题（共80分；每题16分）1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质；求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =；弦的出示位移如下图所示。
初速度为零；又没有外力作用。
求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下；波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ；并由此求出波动方程的通解。
5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数；不必推导；2) 利用参数变易法。
数理方程习题答案
习题2.12.解：振动方程：2,0,0tt xx u a u x L t =<<>边界条件：00,0x x x Lu u ====初始条件：,0t t t b ux u L====习题2.23.解：根据牛顿冷却定律有：44()ukdsdt u dsdt n σϕ∂-=-∂∴初始条件为： 44()su u n k σϕ∂=--∂习题2.33.解：0000,0,0,0000,(,)x x a y y bz z cu x a y b z c u u u uuux y ϕ======∆=<<<<<<======习题2.42.<4）解：该方程为一般二阶线性偏微分方程，首先对其进行化简：特征方程：23410dy dy dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得：121,3x y x y ϕϕ-=-=作代换：13x yx y ξη=-⎧⎪⎨=-⎪⎩11113xy xy Q ξξηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以：1112111212221222Ta a a a Q Qa a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21110321331212111033⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12000b Lc b L c c f ξξηη=-==-===于是有:u ξη=11212()()()()()u g u g d f f f ξξξξηξη==+=+⎰121()()3u f x y f x y ∴=-+-是原方程的解。
习题2.52.证明： 显然0t u==由含参变量的求导法则，有000(,;)(,;)t t tt u V dtd u d V x t V x t t t dtdtV d tττττττ==∂∂==+-∂∂∂=∂⎰⎰tt u =∴=2222220020(,;)(,;)()(,)(,)tt tt xx tt tt xx V V x t dt V x y t u a u d a d t tdt x V a V d f x f x τττττττ=∂∂∂-=+-∂∂∂=-+=⎰⎰⎰<此处f(x,t?>）另外有：(0,;)00(,;)00t tx t tx Lu V t d d uV L t d d ττττττ========⎰⎰⎰⎰证毕。
考研数学试卷期末答案解析
一、选择题1. 答案：C解析：本题考查了函数的定义域。
根据题意，当x=0时，f(x)无定义，因此函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）。
2. 答案：A解析：本题考查了数列的通项公式。
根据题意，数列{an}为等差数列，首项a1=3，公差d=2，因此通项公式为an=3+(n-1)×2=2n+1。
3. 答案：B解析：本题考查了矩阵的行列式。
根据题意，矩阵A为3阶方阵，且A的行列式为0，则A的秩为1。
4. 答案：D解析：本题考查了二重积分的计算。
根据题意，将积分区域D划分为D1和D2两部分，分别计算积分值，再相加得到最终结果。
5. 答案：B解析：本题考查了函数的极限。
根据题意，当x→0时，分子和分母同时趋近于0，因此可以使用洛必达法则求解。
求导后，得到极限值为1。
二、填空题1. 答案：1/2解析：本题考查了定积分的计算。
根据题意，要求的是函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。
由基本定理，得到积分结果为1/3。
2. 答案：-1解析：本题考查了向量积的计算。
根据题意，要求的是向量a=(1,2,3)与向量b=(2,3,1)的向量积。
计算得到结果为(-3,-1,1)。
3. 答案：π解析：本题考查了三重积分的计算。
根据题意，要求的是函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在球体x^2+y^2+z^2≤1上的三重积分。
利用球坐标系，计算得到结果为4/3π。
4. 答案：-2解析：本题考查了线性方程组的解。
根据题意，要求的是线性方程组Ax=b的解，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式，得到方程组的解为x1=-2，x2=1。
5. 答案：2解析：本题考查了函数的最大值。
根据题意，要求的是函数f(x)=x^3-3x在区间[0,2]上的最大值。
求导后，得到导函数f'(x)=3x^2-3，令导函数等于0，解得x=1。
将x=1代入原函数，得到最大值为-2。
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《数学物理方程》期末试题（A卷）
（参考答案）
学院 专业 学号 姓名
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
分值 10 15 15 20 15 15 10 100
得分
阅卷人
1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：
其中E是圆锥体的杨氏模量，是质量密度，h是圆锥的高（如下图所示）：
【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为uESx，S为x处截面面积。】
【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r和2r，如图所示。于是，我们有
上式化简后可写成
从而有
或成
其中2Ea，证明完毕。
2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边yb处于较高温度U，其它三边0y，
0x
和xa则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u。试求该截面上的稳定温度
分布(,)uxy，即求解以下定解问题：
【提示：可以令
0
(,)(,)uxyuvxy
，然后再用分离变量方法求解。】
【解】令
0
(,)(,)uxyuvxy
，则原定解问题变为
分离变量：
代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件：
可以判定，特征值
特征函数
利用特征值n可以求得
于是求得特征解
形式解为
由边界条件，有
得到
解得
最后得到原定解问题的解是
3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题
【解】方程两端对x求积分，得
也即
对y求积分，得
也即
由初始条件得
也即
再取0x，于是又有
从而得
于是
将这里的()gx和()hy代入(,)uxy的表达式中，即得
4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：
【提示：可利用逆Fourier积分变换公式：11,||sin[]20,||xatatFaaxat】
【解】对变元x作Fourier变换，令
则有
方程的通解是
由初始条件得
可得
方程的解
从而
查表可得
从而
注意到
最后得到原问题的解
即
这就是d’Alembert公式。
5、 （20分）对于平面上的调和函数(,)uxy
1）试证明Dirichlet边值问题解的唯一性，即：方程.0,0uu只有零解；
2）用Green函数法，试求解边值界为(,)gxy的上半平面调和函数的Poisson表达式。
6、 （20分）半径为0r的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为20cosu，0u为常数，
求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）：
【解答】由于球面上边界条件中不含有变量，故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解
该问题。为此令
代入方程，得
改写成
令(1),cos,nnxP，可将上面两个方程改写成
上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为()nPx。而第一个方程是一个欧拉方程，它的
通解是
再根据R的有界性，应有20C，从而
于是，原问题的解是
边界条件为
或写成
即有
根据已有的结果
或
从而
于是有
比较两端()nPx的系数，可知
从而
7、 （10分）用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解：
其中区域222{(,)|}xyxyR，0u为常数。
【提示：取近似解为2221()uARxy】
【解】取基函数组2220Rxy，求(,)uxy的近似解，只取1N，则
222
10
()uAARxy
。
泛函
令
有
可得
最后得到定解问题的近似解为
…