数理方程期末考试试题
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2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题
考后回忆版本
一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分）
（1）y x y x u 22=∂∂∂（2）xy x
u y x u y =∂∂+∂∂∂2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分）
⎪⎩⎪⎨⎧=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2
>>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分）
四、用积分变换法求解下列方程。（12分）⎩⎨⎧=>+∞<<−∞+=).
(),0()0,(,2x x u t x u u a u xx t ϕ五、用分离变量法求解下列方程。（15分）
⎩⎨⎧−+=<=∆=.
4cos 75sin 2sin |)2(,022θθθr u r u 六、用分离变量法求解下列方程。（15分）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧−=+===><<=).21(),0(,)(),0(.
1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δϕ七、用分离变量法求解下列方程。（15分）
⎪⎩⎪⎨⎧=<++=++=++0|)1(,1
222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分）
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<−∞++=.2),0(.
cos 2),0()0,(,24x x u x x u t x u u u u t
t tt xx 提示：先对泛定方程进行变换成为一个较为简单的泛定方程，再根据初始条件进行求解。可能用到的公式：略。包括极坐标和球坐标下的Laplace 变换公式、Fourier 级数及其系数的公式、Laplace 和Fourier 所有性质和变换公式及求解过程中用到的反变换公式、勒让德方程的固有值和固有函数以及勒让德函数n=1-5时的表达式。