数理方程期末考试试题
数理方程练习题（1）
数理方程练习题（1）一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=；(B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xφ?=><<?==??==?的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=?=+∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n x u x t a b t a b l llπππ∞=??=+++??∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］(A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+；(C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程试题
太 原 科 技 大 学数学物理方程 课程试卷 卷一．填空（每小题3分，共15分）（1） 三维热传导方程的一般形式为_____________。
（2）设函数 的傅里叶变换为 , 则方程 的傅里叶变换 为______________。
（3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题是否有解________。
（4）区域 的格林函数在区域边界上 =______。
（5）一维热传导方程的基本解为_____________________。
二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。
()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=⎧=+⎪⎨∂=⎪∂⎩ Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--=⎧⎪⎨==⎪⎩三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。
241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈⎧⎪⎨==+∈⎪⎩四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。
22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-⎧⎪=-=⎨⎪=∈⎩五． 用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。
六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞⎧=+∞⎪⎪==⎨⎪==+∞⎪⎩ ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第二公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰ΩΩ∂， 证明：二维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π∂Ω∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任一点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线方向。
数理方程试卷
南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试课程名称：数 理 方 程 闭 卷 A （B ）卷 分钟一、 解答题（共40 分）1、 当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。
（5分）2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为：0t u x ==，0x u x=∂=∂，0x lu x=∂=∂ （10分）3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长， 这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。
试推导杆的纵振动方程。
（10分）4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。
（15分）二、计算题（共60分）1、求方程：22,1,0ux y x y x y∂=>>∂∂，满足边界条件： 20y u x ==，1cos x u y ==的解。
（10分）2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程：(,0)0,0u x x l =≤≤；(,0)(),0u x x l x x l t∂=-≤≤∂； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）3、试确定下列定解问题：22200(),0,0,,,0,(),0x x l t u ua f x x l t t x u A u B t u g x x l ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩（15分） 解的一般形式。
4、（20分）求下列柯西问题：22222200280,0,3,0,y y u u uy x x x y y u u x x y ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
（20分）。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数学物理方程期末试卷
数学物理方程期末试卷第一部分：选择题请在每个题目中选择仅一个正确答案并将字母填入括号内。
1.求解y″+y=0有解的方法是？A. 特征根法 ( )B. 系数法 ( )C. 齐次线性微分方程法 ( )D. 变量分离法 ( )2.求解 $\\frac{\\partial^2u}{\\partialx^2}+\\frac{\\partial^2u}{\\partial y^2}=0$ 有解的条件是？A. u在区域内为调和函数 ( )B. u在区域内为多项式函数 ( )C. 区域的边界条件为第一类边界条件 ( )D. 区域的边界条件为第二类边界条件 ( )3.解 $\\frac{\\partial u}{\\partial t}+2u=0$，u(x,0)=x，在t=1时，u(x,1)=?A. $\\frac{x}{2}$B. xe−2C. $\\frac{x}{e^2}$D. xe2 ( )4.对于一般的偏微分方程，逐步消去导数的方法称为？A. 特征线法 ( )B. 微分方程求解法 ( )C. 变量分离法 ( )D. 特征值法 ( )5.$y=A\\cos(x)-B\\sin(x)$ 是如下微分方程的？A. $y''+y=\\sin(x)$B. $y''-y=\\cos(x)$ ( )C. $y''+y=\\cos(x)$D. $y''-y=\\sin(x)$第二部分：填空题请在每个题目中填入恰当的答案。
1.y″−2y′+2y=0的通解为______。
2.$\\frac{\\partial^2 u}{\\partial t^2}-c^2\\frac{\\partial^2u}{\\partial x^2}=0$ 的波动方程，初始时刻条件为$u(x,0)=\\varphi(x)$，$u_t(x,0)=\\psi(x)$，其解为$u(x,t)=\\frac{1}{2}(f_1(x-ct)+f_2(x+ct))$，其中f1(x),f2(x)分别是u(x,0)和u t(x,0)的__________。
数理方程试卷
工程数学一、 (10分)填空题1、初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2、为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xxt u u u u u a u (0u 为常数)中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w xu 03、方程0=xyu 的通解为)()(),(y G x F y x u +=4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题、5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 61),(223-++=y x y x y x u 二、 (10分)判断方程02=+yy xx u y u的类型,并化成标准形式.解:因为)0(02≠<-=∆y y ,所以除x 轴外方程处处就是椭圆型的。
……2分它的特征方程就是 022=+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy ……5分即iy dxdy±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-作变换:⎩⎨⎧==x yηξln ……7分求偏导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====)(112ξξξξηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式ξηηξξu u u =+ ……10分三、 (10分)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020解:x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ利用达朗贝尔公式⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分得)]2sin()2[sin(414cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u tx tx --+-+=+-++=⎰+-ξξt x t x 2sin cos 21422++= ……10分四、 (15分)用分离变量法解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解 先求满足方程与边界条件的解、设解为)()(),(t T x X t x u = ……2分代入方程得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''除以)()(2t T x X a 有λ-=''='')()()()(2t T a t T x X x X得到两个常微分方程0)()(=+''x X x X λ ……3分0)()(2=+''t T a t T λ ……4分由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X 由0)(≠t T ,得0)(,0)0(='='l X X ……5分 于就是固有值问题为⎩⎨⎧='='=+''0)(,0)0(,0)()(l X X x x X λ解之得一系列固有值Λ,2,1,0,)(2===n ln n πλλ 相应的固有函数为x ln x X n πcos)(= ……8分 再解方程 0)()()(2=+''t T l a n t T π,通解为t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos )(+= ……10分利用解的叠加原理,可得满足方程与边界条件的级数形式解∑∞=+=1cos )sin cos(),(n n n x ln t l a n D t l a n C t x u πππ ……12分 由初始条件0|0==t t u ,得0=n D , ……13分 由得,0x u t == ∑∞==1cos n n x ln C x π其中⎰==l l xdx l C 0021⎰=--==l nn n n l dx l n x l C 02,2,1],1)1[()(2cos 1Λππ ……14分 将n n D C ,代入),(t x u 得定解问题解∑∞=--+=122cos cos 1)1(22),(n n x l n t l a n n l l t x u πππ……15分 五、 (15分)解非齐次方程的混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.00,0,00,0,00 解 先确定固有函数)(x X n 、令)()(),(t T x X t x u =代入相应的齐次方程与齐次边界条件得固有值问题⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(πλX X x X x X 固有函数为 Λ,2,1,sin )(==n nx x X n ……5分设解为∑∞==1sin )(),(n n nx t T t x u (1) ……7分其中)(t T n 就是待定函数、显然),(t x u 满足边界条件、为确定函数)(t T n ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 ∑∞==1sin )(n n nxt f x (2) ……8分其中nnxdx x t f n n 2)1(sin 2)(10+-=⋅=⎰ππ……9分再将(1),(2)代入方程得∑∞=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+'1120sin 2)1()()(n n n n nx n t T n t T比较系数,有Λ,2,1,2)1()()(12=-=+'+n nt T n t T n n n ……10分由初始条件得0sin )0(1=∑∞=n n nx T所以0)0(=n T ……11分解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=+''+,0)0(2)1()()(12nn n n T n t T n t T 得)1(2)1()(231tn n n e n t T -+--=……14分 将)(t T n 代入级数(1),得定解问题的解、nx e n t x u n tn n sin )1()1(2),(1312∑∞=-+--= ……15分 六、 (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,02x u t x u a u t xx t ϕ 本题所用公式:ta x ta eta eF 22224121][---=πλ解 对x 作傅氏变换,记=),(~t uλ F )],([t x u =)(~λϕF )]([x ϕ ……2分 对方程与初始条件关于x 取傅氏变换,有⎪⎩⎪⎨⎧=-==)(~~~~022λϕλt u u a dtu d ……7分 解常微分方程的初值问题,得t a et u 22)(~),(~λλϕλ-= ……10分 再对),(~t uλ进行傅氏逆变换得 =),(t x u F])(~[221t a e λλϕ-- ……13分 ta x eta x 22421)(-*=πϕ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et ata x 224)()(21 ……15分七、 (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题⎪⎩⎪⎨⎧=>=+=).(|0,00x f u y u u y yy xx解 先求格林函数,由电学知在上半平面0>y 的点),(000y x M 处置单位负电荷,在0M 关于x 轴的对称点),(001y x M -处置单位正电荷,则它与0M 产生的电势在x 轴上 互相抵消,因此上半平面0>y 的格林函数为)1ln 1(ln 21),(100MM MM r r M M G -=π[][]}{20202020)()(ln )()ln(41y y x x y y x x ++---+--=π……7分 下面求==∂∂-=∂∂y y yG nG0)()()(2)()()(2412020020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+--+--=y y y x x y y y y x x y y π2200)(1y x x y +-⋅-=π ……10分 所以dx y x x x f y dl n Guy x u ⎰⎰+∞∞-Γ+-=∂∂-=220000)(1)(),(π……15分 八、 (10分)证明调与方程的狄利克雷内问题的解如果存在,则必就是唯一的,而且连续地依赖于所给的边界条件f .证明:假设有两个调与函数),,(1z y x u 与),,(2z y x u ,它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同,则它们的差21u u u -=在Ω中也满足方程0=∆u ,且0|=Γu 。
数理方程期末试题及答案
带入微分方程求解得：
k
a2
A 2
则得通解
T1
t
C1
cos
n l
a
t
D1
sin
n l
a
t
a2
A 2
sin t
带入初始条件得： C1
0,
D1
A a2 2
l a
则原定解问题的解为
u x,t
A a2 2
l sin a t cos
a l
l
x
2、 求解下列初值问题：（10 分）
uuttx,0u
xx
数； （3） 将形式解带入泛定方程以及初始条件，求解待定函数 Tn(t).
4、试述行波法的适用范围，并写出无限长弦自由振动的达朗贝尔公式。 答：行波法（特征线法）对双曲型方程是有效的，沿着双曲型方程两条特征线做
自变量替换总可以把双曲型方程化为可积形式，获得通解，由此行波法仅适用于
无界条件的波动方程。
3x x ,t sin x,ut x,0 x
0
解：应用达朗贝尔公式： u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
其中
2
2a xat
，
x sin x, x x ，带入上式得：
u
1 2
sin
x
at
sin
x
at
1 2a
xat
d
xat
sin x cos at t
数学物理方程期末试题答案
一、 简述题：（每题 7 分，共 28 分） 1、 简述数学物理中的三类典型方程，并写出三类方程在一维情况下的具体形
式。
答：波动方程：
2u t 2
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。
则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。
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2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题
考后回忆版本
一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分）
（1）y x y x u 22=∂∂∂（2）xy x
u y x u y =∂∂+∂∂∂2二、求下列固有之问题的解。
要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分）
⎪⎩⎪⎨⎧=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2
>>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。
（12分）
四、用积分变换法求解下列方程。
（12分）⎩⎨⎧=>+∞<<−∞+=).
(),0()0,(,2x x u t x u u a u xx t ϕ五、用分离变量法求解下列方程。
（15分）
⎩⎨⎧−+=<=∆=.
4cos 75sin 2sin |)2(,022θθθr u r u 六、用分离变量法求解下列方程。
（15分）
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧−=+===><<=).21(),0(,)(),0(.
1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δϕ七、用分离变量法求解下列方程。
（15分）
⎪⎩⎪⎨⎧=<++=++=++0|)1(,1
222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。
（5分）
⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<−∞++=.2),0(.
cos 2),0()0,(,24x x u x x u t x u u u u t
t tt xx 提示：先对泛定方程进行变换成为一个较为简单的泛定方程，再根据初始条件进行求解。
可能用到的公式：略。
包括极坐标和球坐标下的Laplace 变换公式、Fourier 级数及其系数的公式、Laplace 和Fourier 所有性质和变换公式及求解过程中用到的反变换公式、勒让德方程的固有值和固有函数以及勒让德函数n=1-5时的表达式。