数理方程试题

一． 判断题（每题2分）.
1. 2u u x y x y x
∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )
3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )
4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )
5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ∆= 的解.( )
二． 填空题（每题2分）.
1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.
2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.
3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.
4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.
5. []()____________.at m L e t s =
三．求解定解问题（12分）
200sin ;
0,0;0.
t xx x x x x l t u a u A t u u u
ω===-====
四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）
（1） 00
1,0,0;
1,
1.xy x y u x y u y u ===>>=+=
（2） 00230, 1.
t
t t y y y e y y =='''+-='==
五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）
六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

（12分）
七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）
0xx yy yu xu +=
八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。

（12分）
数理方程试卷答案
一 判断题
（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V
二 填空题
（1）抛物 （2）222
2220,xx yy x y R u u x y R u φ+=⎧+=+<⎪⎨=⎪⎩ （3）0212()()33P x P x + （4）11[()()]()22
x at x at x at x at t dt φφφ-+++--⎰ （5）1!()
m m s a +- 三 解 ：有条件知 固有值为 2()n n l
πλ=，
固有函数系为 ：cos
,0,1,2,...n n x n l πφ== （3分） 设0(,)()cos
n n n u x t T t x l
π∞==∑ 带入方程得 20['()(
)()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l l ππω∞
=+=∑ （2分） 02'()sin ()
'()(
)()0(0)0n n n T t A t n a T t T t l
T ωπ∴=+== （4分） 得 0()(1cos ),
()0,1,2,...
n A
T t t T t n ωω=-==（4分） (,)(1cos )A
u x t t ωω∴=- （1分）
四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换， 不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分）
对方程两端同时作Laplace 变换得
((,)1)1,d pU x p dx p
-= （3分） (,)1dU x p p dx p
∴= 2(,)1dU x p dx p
= （3分） 且211(0,)U p p p =
+ 22111(,)U x p x p p p
∴=+ （3分） (,)1u x y xy y ∴=++ （2分）
（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分）
对原方程两端同时作Laplace 变换得：
21
()12()3()1p Y p pY p Y p p -+-=- （4分）
231113
1()1614(1)163Y p p p p ∴=+---+ （3分）
33
1
3
()16416t t t y t e te e -∴=+- （4分）
五．解：建立方程
20000,0
0,cos 0
tt xx t t t x x u a u x t u u x u ===⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪=⎩ （3分） 由方程的 边界条件，对原问题做偶延拓 ，得到无界弦的转动方程 200'',0
'0,'cos tt xx t t t u a u x t u u x ===-∞<<+∞>== （4分）
根据达兰贝尔公式得
11'(,)cos sin cos 2x at
x at u x t sds x at a a +-==⎰ （3分）
从而，原问题的解为
11
(,)cos sin cos 2x at x at u x t sds x at a a +-==⎰ （2分）
六．解：定解问题为
0000,00,00,xx yy x x a y y b u u x a y b
u u u u x
====⎧+=<<<<⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ （2分）
由初值条件得 固有值 2(),n nx
a λ= 固有函数系为 ()sin ,1,2,...
n n x
X x n a π== （2分）
方程的解为0(,)()()n n n u x y X x Y y +∞==∑ =0
sin ()n n n xY y a π
+∞
=∑
()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分）
()n n a a y y n n n Y y C e D e ππ
-∴=+
代入原方程得 1(,)()sin n n a a y
y n n n n u x y C e D e x a
πππ+∞-==+∑ 又 (,0)0,(,)u x u x b x ==
解得 00
()sin sin n n a a n n b b b n n C D n n C e D e x x xdx a a
ππππ-+=+=⎰ （3分） n b a n b n b a a n b a n b n b a a
n n e C e e e D e e ππππππ---=
-=- （3分） ()()1(,)sin n b y n b y a a n b n b a a n e e n u x y x a
e e πππππ---+∞-=-∴=-∑（2分）
七．解：显然 x ，y 不同时 为零，xy ∆=-，特征方程为 2()0dy y x dx
+= （1分） （1） 当0xy ∆=->时，方程式双曲型的。

（1分）
0,0x y <>
时，特征方程是
dy dx = ，解得33221,2()x y c -±=，（1分） 令 3322
(),x y ξη=-=，得标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分） 当 0,0y x <>
时，特征方程是dy dx = 标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη
-+-=（1分） （2）0xy ∆=-= ，抛物型。

标准型为 0,xx u = 或 0yy u =。

（1分）
（3）0xy ∆=-<，椭圆型。

特征方程解为 33
221,2()x iy c -±=（1分） 令 3322
,x y ξη==，得 标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη+++=。

（1分）
八．证明：微分性质
[()]()[()]()(0)d L f t s sL f t s f dt
=- （2分） 0000
0[()]()()()()()(0)()[()]()(0)
st st st st st
d d L f t s
e
f t dt dt dt
e d
f t f t e f t de f s e f t dt sL f t s f +∞-+∞+∞--+∞
-+∞-===-=-+=-⎰⎰⎰⎰ （3分） 卷积性质
1212[()*()]()[()]()[()]()L f t f t s L f t s L f t s = （2分） 121200()120120012[()*()]()[()()][()()]()()[()]()[()]()t
st s s t st st L f t f t s f f t d e dt f e f t e dt d f t e dt f t e dt
L f t s L f t s τττττττττ+∞-+∞+∞
---+∞+∞
--=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5分）。