概率统计期末考试试题附答案

中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级：1．某人射击时，中靶的概率为43，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412⨯）（ (B) 343）（ (C) 41432⨯）（ (D) 341）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a,b3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设)(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f +5．已知随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,)(2222x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1= 的期望=)(Y E （ ）.(A)a 22π (B) π (C) a 21(D) aπ2 6．设)(),(x f x F 分别为某随机变量的分布函数和密度函数,则必有（ ）.(A) )(x f 单调不减 (B) 0)(=-∞F (C)⎰+∞∞=-1)(F dx x (D) ⎰+∞∞=-)(f )(dx x x F7．设二维离散型随机变量），（Y X 的联合分布律为则==}{Y X P （ ）.(A) 0.8 (B) 0.7 (C) 0.3 (D) 0.58．设两个独立的随机变量Y X ,分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）.(A) 21}0{=≤-Y X P (B) 21}0{=≤+Y X P (C) 21}1{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤+Y X P9．设二维连续型随机变量），（Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它，,01,1)(22y x y x f π， 则X 和Y 为（ ）的随机变量.(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布 (C) 不独立同分布 (D) 不独立不同分布10．设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中2σ已知，μ为未知参数，则μ的等尾双侧置信区间长度L 与置信度α-1的关系是（ ）.(A) 当α-1减少时，L 变小 (B) 当α-1减少时，L 增大 (C) 当α-1减少时，L 不变 (D) 当α-1减少时，L 增减不定二、填空题（每空2分，共20分）1． 已知5.0)(=A P , 3.0)(=AB P ,则=-)(B A P .2． 设123,,X X X 是来自正态总体X ~(),1N μ的样本,则当=k 时,3213141ˆkX X X ++=μ是总体均值μ的无偏估计. 3． 设]6,1[~X U ，则方程012=++Xt t 有实根的概率为 .4． 袋内有3个白球与2个黑球，从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率 . 5． 设,4.0,36)(,25)(===XY Y Var X Var ρ则.)(=-Y X Var6． 设总体X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其它,010,)(1x xx f θθ， 是未知参数，0>θX X X X n 为,,,21 的一个样本，则θ的矩估计量=θˆ7. 设XeY N X -=),1,0(~,则Y 的密度函数=)(y f Y .8.设Y X ,为两个随机变量，且74}0{}0{,73}0,0{=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ，则=≥}0),{max(Y X P .9. 设Y X ,相互独立，且概率密度分别为: ⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f X ,⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y ，则Y X Z +=的概率密度=)(z f Z .10.将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，则=)(X E . 三、（本小题10分）设A 和B 是两个事件，8.0)(,6.0)(==B P A P ，试问：(1)在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少； (2) 在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少.装 订 线四、（本小题10分）已知随机变量X 的概率分布如右表， 求随机变量：（1）X 的分布函数)(x F . （2）X Y 2-=的概率分布.五、（本小题10分）设连续型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F ,11,ln 1,0)(求：(1) 随机变量的概率密度函数)(x f ； （2） )5.20(≤<X P ；（3） 期望)(X E .六、（本小题10分）某产品主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%，80%和5%，其次品率分别为0.02，0.01和0.03.试计算: (1) 从这批产品中任取一件,是不合格品的概率为多大?(2) 已知从这批产品中随机地抽取一件是不合格品,问这件产品是甲厂生产的概率?装七、（本小题6分）设总体X 密度函数为⎩⎨⎧≤≤=-其它,010,),(1x x x f θθθ,其中0>θ为未知参数，如果取得样本观测值为n x x x ,,,21 ，求参数θ的极大似然估计值.八、（本小题4分）设随机变量X 的分布函数)(x F 连续且严格单调增加，求)(X F Y =的概率密度.九、（本小题10分）设随机变量），（Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-，其它，，00,0),()43(y x ke y x f y x （1）求常数k ; （2）}20,10{≤<≤<Y X P ；（3）求），（Y X 的联合分布函数),(y x F ；（4）判断Y X ,的独立性.中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期《 概率论与数理统计（A ） 》课程 试卷 B 参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级：10 测控1,2,3,4,5等 教师： 邹海雷等一、选择题（20分）1 A2 B3 C4 D5 A6 B 7C 8 D 9 C 10 A 二、填空题（20分）1 0.2,2 5/12 ,3 0.8 ,4 0.3,5. 37 6 2-1X ）（X , 7 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,00,21)(2)(ln 2y y e yy f y π , 8 5/7 , 9 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤≥-=--10,10,01),1()(z e z z e e z f z z , 10, 1三、（10分）1）B A ⊂ 时，取得最大值6.0)(=AB P ………………………5分 2）Ω=⋃B A 时，取得最小值4.0)(=AB P ………………………10分 四、（10分）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤-<=4 1429.020 5.0 012.0-1x 0 )(x x x x x F ………………………5分………………………10分五、（10分） 解：（1）⎩⎨⎧<≤=elseex x x f ,01,1)( …………………4分 （2）5.2ln )0()5.2()5.20(=-=≤<F F X P …………………7分 （3）11)()(1-===⎰⎰+∞∞-e dx xx dx x xf X E e…………………10分六、（10分）设 B 表示取得不合格品事件，)3,2,1(=i A i 表示取得的产品是甲、乙、丙次厂家的1）0125.003.005.001.080.002.015.0)/()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P………………………5分 2）24.0)/()()/()()/(31111==∑=i iiA B P A P A B P A P B A P (10)分七、（6分）1-11-1)(θθθθθi ni n i ni x xL ==∏=∏= ……2分∑=+=ni ix n L 1ln 1-ln )(ln ）（θθθ ……3分令：0ln )(ln 1=+=∑=ni i x n d L d θθθ ……5分解得极大似然估计值为：∑=∧-=ni ixn1ln θ ……………… 6分八、（本小题4分）当,10时<<yy y F X P y X F P y Y P y F Y =≤=≤=≤=-)}({})({}{)(1 ……………2分,0)(0=≤y F y 时，,1)(1=≥y F y 时， …………………3分综上，,1,110,0,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=y y y y y F故：⎩⎨⎧<<=others y y f ,010,1)(……………4分九、（10分）1）由1),(0403==⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞∞-+∞∞-dy e dx e k dxdy y x f y x k=12 (3)分2）)1)(1(12),(}20,10{83201)43(--+---===≤<≤<⎰⎰⎰⎰e e dxdy e dxdyy x f Y X P y x ……………5分3)⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(),(43y x e e y x F y x ………………………7 分4）由),(y x f 可分离变量，故X 与Y 独立。

…………………10分。