数理方程试卷
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数理方程试题
太 原 科 技 大 学数学物理方程 课程试卷 卷一．填空（每小题3分，共15分）（1） 三维热传导方程的一般形式为_____________。
（2）设函数 的傅里叶变换为 , 则方程 的傅里叶变换 为______________。
（3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题是否有解________。
（4）区域 的格林函数在区域边界上 =______。
（5）一维热传导方程的基本解为_____________________。
二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。
()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=⎧=+⎪⎨∂=⎪∂⎩ Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--=⎧⎪⎨==⎪⎩三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。
241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈⎧⎪⎨==+∈⎪⎩四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。
22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-⎧⎪=-=⎨⎪=∈⎩五． 用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。
六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞⎧=+∞⎪⎪==⎨⎪==+∞⎪⎩ ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第二公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰ΩΩ∂， 证明：二维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π∂Ω∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任一点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线方向。
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
数理方程试题
2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为 ；4．当 时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。
二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。
课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。
西安邮电大学期末数理方程试题+答案
数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。
数理方程6
4、用分离变量法求解定解问题
ut a 2u xx , 0 x l, t 0 u |x 0 0, ux |x l 0 u | ( x) t 0
得到的级数形式的解 u ( x, t )
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
a e
n 1 n
[
1
1 ] （s 3） ( s 1)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ A、只有三维波存在“无后效现象” B、只有二维波存在“无后效现象” C、三维波出现“弥散现象” D、二维波出现“惠更斯原理” 5、下列对拉普拉斯变换的式子错误的是（ ） A、 L[sin wt ] =
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
7、下列说法错误的是（ ） A、强极小函数一定是弱极小函数 B、弱相等意义下
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3v v ( x v) xv 2 f ( x, y, z ) 是( 3 x z
B、二阶 C、 三阶
(ax) a ( x)
(a 0)
)偏微分方程 C 、 )型偏微分方程
六、 （13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
2 x R, t 0 utt a u xx u |t 0 x , ut |t 0 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
u M0
1 4 a 2
udS
a
五、 （14 分）用本征函数展开法求解定解问题
数理方程试卷
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
(x,
0)
sin
x
l
.
• 三. 求解问题
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
• 四. 用固有函数法求解 utt
a2uxx
tsinx,(0 x l,t
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
固有函数 Rm(r)J0(m (0)r).
Tm(t)Cme(m (0)a)2t.
u(r,t)
Ce J( (m (0)a)2t
m
0
m (0)r).
由 m 1
u(r,0) C mJ0( m (0)r)1r2,
得 Cm0 1r(1 m 1 2 1rJ212)(J0m ((0))m (0)r)dr( m (4 0)J)2 2(J12m ((0))m (0)).
0)
u(r,0) 1 r2.
答（p122例1）：
u(r,t)R (r)T(t).
Ta2T 0.
r2RrR(r2 02)R0,
R(1) 0,| R(0)|.
R (r) C J 0 ( r) D Y 0 ( r).D 0.
固有值 m (m (0 )) 2 ,m (0 ) 为 J 0 (x ) 正 零 点 .
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南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试
课程名称：数 理 方 程 闭 卷 A （B ）卷 分钟
一、 解答题（共40 分）
1、 当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。
（5分）
2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为：
0t u x ==，
0x u x
=∂=∂，
0x l
u x
=∂=∂ （10分）
3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长， 这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。
试推导杆的纵振动方程。
（10分）
4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。
（15分）
二、计算题（共60分）
1、求方程：22,1,0u
x y x y x y
∂=>>∂∂，
满足边界条件： 2
0y u x ==，1cos x u y ==的解。
（10分）
2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程：
(,0)0,0u x x l =≤≤；
(,0)
(),0u x x l x x l t
∂=-≤≤∂； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）
3、试确定下列定解问题：
2
2200(),0,0,,,0,
(),0x x l t u u
a f x x l t t x u A u B t u g x x l ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪
==>⎨⎪
=≤≤⎪⎪⎩
（15分） 解的一般形式。
4、（20分）求下列柯西问题：
22222200
2
80,0,3,0,y y u u u
y x x x y y u u x x y ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞⎪∂∂∂∂⎪
⎨
∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩
的解。
（20分）。