研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
长安大学《线性代数》历年期末考试真题及答案解析
目录长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题 (1)长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题解析 (4)长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题 (12)长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题解析 (14)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题A (21)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题A解析 (23)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题B (29)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题B解析 (32)长安大学2020-2021第一学期线性代数期末试题 (41)长安大学2020-2021第一学期线性代数期末试题解析 (43)长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题解析长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题解析长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题解析长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题一、选择题。
（每小题4分，共16分）1.，有（）无解有无穷多组解有非零解可能有无穷多组解2.设则（）。
3.设向量组的秩为，则（）必定向量组中任意小于个向量的部分组无关向量组中任意个向量线性无关个向量组线性相关4.（）二、填空题（每小题4分，共16分）1.设齐次线性方程组为，若它有非零解，则应满足2.设矩阵是4阶方阵，矩阵是5则3.若可由，线性表示，则=4.设。
三、计算或证明下列各题（每小题8分，共16分）1.计算行列式2.设矩阵，求四、计算下列各题（每小题8分，共16分）1.写成二次型并判别其正定性。
2.设，证明是向量组的一个极大线性无关组，并把分别用该极大线性无关组线性表示。
五、（本题12分）设有方程组，问为何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出通解。
考研数学10年真题答案
考研数学10年真题答案考研数学是每年众多考生备战考研的重要科目之一。
为了帮助考生更好地备考和了解考试内容，我们整理了近10年的考研数学真题，并提供了详细的答案解析。
一、选择题1. 答案：B解析：根据题意可知，直线y = x 与x轴交于原点(0,0)，斜率为1，符合选项B的描述。
2. 答案：D解析：首先计算10cos(3π/2) = 0，然后将x = 10代入y = x+2进行计算，得到y = 12，故答案为D。
3. 答案：C解析：利用球体体积公式V = (4/3)πr^3，将半径r代入计算即可。
4. 答案：A解析：将x = -2代入方程求解，可以得到y的值为21。
5. 答案：B解析：平方差公式为(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，代入计算即可。
二、填空题1. 答案：3解析：利用等差数列的求和公式Sn = n(a+l)/2，将n = 10，a = 1，l= 2代入计算即可。
2. 答案：100解析：利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，将a1 = 1，an = 100，d = 3代入计算即可。
3. 答案：6解析：由于共有4个数，且求得的平均值为6，所以总和为24，再减去给出的3个数之和(4+8+10)，得到缺失的数值为2。
4. 答案：20解析：将原式进行因式分解得到(x-2)(x-5) = 0，解得x = 2或x = 5，由于x > 3，所以答案为x = 5。
5. 答案：√3解析：利用勾股定理即可得到答案。
三、解答题1. 答案：(3,-2)解析：将y = 0代入方程组求解可得到x = 3，将x = 0代入方程组求解可得到y = -2。
2. 答案：64解析：由于2^6 = 64，所以2^600的个位数为6。
3. 答案：41解析：利用排列组合的知识，计算9P4即可得到答案。
4. 答案：12解析：利用除法求余数定理，计算1600÷100得到余数为0，再计算80÷7得到余数为4，最后将0和4相加得到答案。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数测试题及答案
1 1 1 1. 2 1 0 ,
1 1 0
1 1 1 1
2.
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
四、证明题(每小题8分，共16分)
1. A, B为两个n阶方阵,且 ABA B1,证明:
秩E AB 秩E AB n.
2. 设A为m n实矩阵,证明: 秩AT A 秩A.
线性无关?
3. 求实数a和b, 使向量组1 1,1,0,0,2 0,1,1,0 3 0,0,1,1与向量组1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1等价.
三、证明题 (每小题8分，共24分)．
1.设A为m n矩阵, B为n m矩阵,且m n,试证明
det(AB) 0.
1 1 2 31 3 1 1 2 2 1. D5 2 3 1 1 0 1 2 3 01 2 2 1 1 0
x y y y z x y y 2. Dn z z x y
z z zx
三、解答题(9分)．
问 , 取何值,齐次方程组
x1 x2 x1 x2
x3 x3
0 0
x1 2x2 x3 0
五、(每小题5分，共20分)求下列矩阵．
1 2
3
1n , 2
2 12 1,
3
2;
3
lim
12 0
1 13
1 n 1;
n 0 0 1 5
4
A
1 0
0 1
1 n 0 .
0 0 1
六、(6分)设A
4 1
2 1
3 0,
AB
A
2B,
求
B．
1 2 3
七、(每小题3分,共6分)设n阶矩阵 A 的伴随矩阵 为 A ，证明：
研究生数学试题及答案
研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。
答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。
答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。
答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。
证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。
2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。
解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。
然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。
因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。
结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。
2021年至2023年全国考研数学真题(附解析答案)
2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。
A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。
A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。
3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。
A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。
A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。
数理方程-天津大学2010～2011研究生课程考试试卷
天津大学2010～2011研究生课程考试试卷一、填空题（每空2分，共30分）1、数学物理方程中需求解的定解问题是由 和 组成。
2、导热杆的绝热端为第 类边界条件。
3、设)(x P n 为n 阶Legendre 正交多项式，则=⎰-dx x P x P m n )()(11 。
4、拟线性偏微分方程是指方程关于未知函数的 是线性的。
5、方程⎩⎨⎧='==+''0)0()0(0)()(X X x X x X λ的固有值是 ，固有函数系是 。
6、在区域Ω内具有二阶连续偏导数的函数u ，且满足 ，则称u 是Ω内的调和函数。
7、线性偏微分方程的类型及标准型只依赖于它的 部分。
8、初始位移2)(x e x -=φ，初始速度x x sin )(=ψ的无界弦做自由振动，其振动规律=),(t x u 。
9已知 kt e t f at sin )(=，则f 的Laplace 变换=)(p L 。
10、已知)(t φ的Fourier 变换是)(~ωφ，则t a ωωφcos )(~关于ω的Fourier 逆变换是=),(t x u 。
11、若一个定解问题的解存在、 且 ，则称该问题是适定的。
12、设长为l 的均匀细杆侧面绝热，内部无热源，0=x 端的温度保持l x C o =,0端在温度为C o 0的介质中自由冷却。
已知初始温度为)(x φ，则杆的温度变化用定解问题描述为 。
二、简答题（共22分）1、（12分）判断下列二阶线性偏微分方程所属类型，并将其化为标准型。
（1） 032=-+yy xy xx u u u ；（2） 0,0>=+y u yu yy xx 。
2、(10分) 定义卷积τττd t f f t f t f t f )()()(*)()(2121-==⎰+∞∞-，证明： （1） 卷积满足交换律，即：)(*)()(*)(1221t f t f t f t f =。
（2） 卷积具有时移特性，即：())(*)()(*)(2121212211t t t f t t t f t f t t f t t f --=--=--三、计算题（每小题12分，共48分）1、长为l 两端固定的均匀弦做自由微小横振动。
2011年考研数学真题及标准答案解析(考研必备!)
2011年考研数学真题试卷及标准答案解析---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！一选择题1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调减少，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记p1=10则A=A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是A )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=A EUEVB EXEYC EUEYD EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________10.微分方程x e y y x cos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数⎰+=xydt t ty x F 021sin ),(，则__________022=∂∂=x x F12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
研究生数学导论试题答案
研究生数学导论试题答案一、选择题1. 以下哪个选项是微积分的基本定理？A. 函数在某点可导，则该点极限存在B. 连续函数在闭区间上一定可积C. 如果函数在闭区间上可积，则其在该区间上必定一致连续D. 一个函数的导数为零的点必定是局部极值点答案：B2. 线性代数中，特征值和特征向量的定义是什么？A. 一个矩阵的特征向量是该矩阵的一组基B. 一个矩阵的特征值是其行列式的值C. 一个矩阵的特征向量对应的特征值是该矩阵对该向量的线性变换的缩放因子D. 一个矩阵的特征值是其逆矩阵的条件数答案：C3. 在概率论中，条件概率和独立事件的关系如何？A. 两个独立事件的联合概率等于各自概率的乘积B. 条件概率总是大于或等于0.5C. 条件概率是某个事件在另一个事件发生的情况下的概率D. 以上都是答案：A4. 以下哪个选项是实变函数的主要特性？A. 有界性B. 连续性C. 可积性D. 可微性答案：B5. 拓扑学中的紧致性指的是什么？A. 拓扑空间中的每个序列都有一个收敛的子序列B. 拓扑空间是完备的C. 拓扑空间中的每个开覆盖都有一个有限的子覆盖D. 拓扑空间是连通的答案：C二、填空题1. 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，其在x=1处的泰勒展开的零阶近似是__________。
答案：12. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式值为__________。
答案：-23. 在概率论中，如果事件A和B相互独立，那么P(A ∪ B) = P(A) + P(B)，除非__________。
答案：A和B同时发生4. 函数g(x) = sin(x)在区间[0, 2π]上的最大值为__________。
答案：15. 一个拓扑空间是离散的，当且仅当其每一个单点集合都是__________。
答案：开集三、解答题1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，则存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
研究生课程-数理统计课后题答案
=!A乙£ P=旷S奚報洱封去、09乙x9乙+ 0Lx9+ O^xC+ 8x U ——= L刊U]xu Z-= X 诲切去尅去：搦2A S 0 = x s乙乙乙(A-尸！U心Z~ =U K(A-尸！UAo+e =尸！u!A Z- +e = f十u(Ao- 尸！U(Ao 一8一=F!U广尸！U'Ao eu -= 、/丿L□ u(!Ao+e) m =U KI U!x 7 - = x；・-尸！U忆=001=9901+ 901+ CO 1+ >6+26T ! U=z Z/= x u i —i^ 童#说圧最新精品文档，知识共享 1!1-1 /6 1 -303 1 0 30 4 24 20 £ 09 1 85 20 3 1 0yy i 9n y=240.4441 2 2 _61 -240.444「吃—303-240.4441030-240.44492 2 2424 —240.444］亠［20 — 240.444］亠〔909 — 240.444 222 n(—185—240.444)+(20—240.444)+(310—240.444) = 197032.247利用3题的结果可知x 二 2000 y = 2240.444 s" =s y =197032.247i123 4 5678910 11 1213X79. 80. 80. 80. 80. 80. 80. 79. 80. 80. 80. 80. 80.09804 02 04 03 03 04 97 05 03 02 00 2 y-2424334-35322i1 2 3 4 5 6 7 8 9 X i193 169303242202 290 181 202 2397 0 49510 y i-30103 42-1831-6134209095204.解：变换y 二 N -2000i^ 盍#说曲'韓爼習黯堆窖g 乙 0"=920^ =[g9J + t^)+ 乙(9J + 乙 Jxt7+』9J+6—)>;£+ ^9L + 9S-)x2^ —=(H989乙二比+下=19'V- =「 OL (K + ^X 3L + C X 6-乙 x9£—)— = k尸！U!A !LU kP£ 乙 tuZV 6- 9£- !A17'0£乙8乙I/9乙9£2k*(z 乙-Moi 竭靠：搦-g0000 LAs =乙00 L乙 008= 08+ —圧巨畜彩轴雷£宙吐OOZ —乙)x£+ ( 00 3-3-)1 —= 乙 _ lx亍！U(A- !A)右=$ 乙— U L00乙= SL尸！U:<z(A-z —口U!A y !LU M _ = :S(HX ZZ0£'9 =00x乙ZZ0£'9 =最新精品文档，知识共享 1!2Ix 丄Fjxn i 41 156 10 160 14 164 26 172 12 168 28 176 8 180 2 100-166i二1' m i X j -xn i 11帀0 汉(156 —166 $ 2 2 214 160-16626 164-16628 168-1661002 2 2 112 172 -166 8 176 -166 2180 -166= 33.448解：将子样值重新排列（由小到大） -4, -2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2, 3.21 M^Xm =X 7 =0R = X n - X 1 - 3.21 - _4 - 7.21 M e =XX (8 厂1*2n i 9 解:1 11n x i n 2X j一n2 j mn 2最新精品文档，知识共享 1!n £2x 2 _x 2n i亠口 2 i 丄环数 109 87 6 54 频数2 30 942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形 解: 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率0.10.150.450.20.10.14^xc60.3 6兰xv7F20（X ）=* 0.75 7 兰 x£9 0.99 兰 xv10Jx^10区间划分频数频率密度估计值154口158100.10.025ni n2X i --二’Xj i Aj 1n i X i亠 n 2 X 2n n 2m 亠n^i亠2222 比 s }亠x_, ［亠n 2 s2）$ n i X i + n2 X 2|'u U 匸！U 口U-=^-= !xa m—!x Zr a=xaY "fU u L u L —u F ! U 芳！ U7= =^<3 7 = 7 3= X30 / ? L - 飞=々］7 = !X3 ( ?)d q !x最新精品文档，知识共享 1!3.313•解：Xi L U a,b EXiDX i12i =12 ,n在此题中x 丄 U -1,11 Dx i3— 1 EX 二 E —'n i 4 _ 1n 丄Exn i £. 1 DX 二 D x i 八 Dx i~n i 二14.解：因为XiL N *2所以由2分布定义可知丫二'i -1X ii£I a所以 Y L 2 n15.解: 因为XiL N 0,1E X 1 X 2 X 3=°.3所以X1X2X 3L N0」.3iX +X 2 +X 3£V3.丿同理X 4 X 5 X 6b 2(1)由于2分布的可加性，故1YX 1 X 2 X 3 =I ----------- = -------可知16•解:（1）因为XiL N OF 2辿 N 0,1CT=3nE Xi —=0i =12 ,n服从2分布,12 ,n D X 1 X 2 X 3D X^.1X 1 X 2 X 3L N 0,3=1+ ['X4+X 5 + X 6j 2口i =1,2, ,n所以F”)”讣P弄韶y—JZx d xfY iy二 f y =因为所以(2)因为所以y2n /"2 "fY (y )=<2Z r '-L_ ye^2(3)因为x 0x _0x丄N 0,；「2i =1,辿N 0,1CT飞工L 2.i ■■-F Y2 y P nY2% y卡 2 y…学芈n2 2 _nx____ 戸nXjL N 0,二2y 0y乞02,…,nnyF.f 2 x dxy 0y乞01,2,…,n故17•解：因为所以故(4)因为所以21X亠一；F Y 3 y = p 沁匸罕二fY 3y=F Y 3y二x 0 x _ 0y 0 y _oX i L N Of 2i =1,2, ,n£ 非L N （o,1）i =1 •、n ；・yF Y 4 y =P 「Y 4 冷乞吕「f 21 xdx'f y ） 1 f 2 y二 F Y 4 y =f 217 77存在相互独立的u , VU L N 0,1VL 2 nUy 乞0xLt n19•解：用公式计算富01 (90)=90 +J2P0U 0.01查表得U 0.01 =2.33代入上式计算可得 鼻爲(90 ) = 90 + 31.26 = 121.2620.解：因为 XL 2 nE 2 = nD 2 由2分布的性质3可知则由定义可知 18解：因为所以(2)因为所以u 2L 21 u 221V n2L F 1,n、n X i i \ n ”_' XiL N 0—i =12 ,nL N 0,1V]2u i :n 1；-n\ m l ： X ii 4Y = r . _____ 1n ： D m丘「人2F i =n 1J Xi牙Lt mX^L N 0,1zf X .lL ；「m卷 2Li”二i =1,2, , n mnm l X i 2 Y 2 -n imn' x ：i -1• j Xi_i.工n{ CT 丿n m z i士 1mL F n,m=2n最新精品文档，知识共享1!X -n |X - n c - nPXx ；=P —-lx/2n V2n Jc _nt2l n m[ V2n ^2^ J VV2n JP^X <c)1.x) x)0, x+□0f:::0 0 _OCixe -■x +□0+x)1xdx-，x d-xe从而有2. 1).E(x)i+oOoO、k(1、k -1p)p' k(1 -、k丄x =1P _1 一1 一p 令P= XL(P)汕(1-P)"p=p n(1-p)u nX i -n最新精品文档，知识共享 1!X解之得解：因为总体X 服从U( a , b )所以_a b D( X )( a-b )2 n!2 12 r ! (n _r ] X ) =X D ( X ) =S 2,n 2解之得:nnIn x i i 4nnIn x ii -1(2)母体X 的期望而样本均值为:-1 nX =—区 X in y令E(x)二X 得1 - X5•。
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北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期《数学物理方程》期末试题(A 卷)(参考答案)学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：玫［I h .丿&」V h .丿&其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示)【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。
】ex【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。
于是，我们有2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t)E( D) E( * ) ( A )dx 于x x t r1 = (h「x)tan :r2= (h _(x dx)) tan :上式化简后可写成22：：U(X,t)2:：u(x,t) 2, ；u (x,t)E[(h -x)卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2从而有E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X:t 或成2::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩).xh ：：x h ；：t其中a^E，证明完毕。
2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0.x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。
试求该截面上的稳定温度分布u(x,y)，即求解以下定解问题:u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。
】【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为Wl x£=0, V=0, 0cy <b;v|y/0, v|y 子U _u °,0 x a.分离变量:f 2\dU；：2U=0, 0 ： x ： a, 0 ： y ： b;y=0, 0 ： x ：： a, 0 ： y ： b;■ 2y »2 -2v(x,y) =X(x)Y(y)代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件:X X = 0,X(0) =0,X(a) =0;Y - Y =0可以判定，特征值(n =1,,2,3J||)特征函数n 二X(x) = X n(x) =C n S in—x (n=1,,2,3JI|)利用特征值、可以求得丫(y) =Y n(y) =A n e叨B n^；y(n = 1,,2,3,l|l) 于是求得特征解n r n iy n，1V n(x,y)=(代e= B n e^ )sin x (n =1,,2,3JI|)a形式解为n -y _j-y门二v(x, y)二為V n(x, y)二為(A n e~ B n e^ )sin x吕 3r Q Qv(x,0)=迟(An+B n)sinO0 bv(x,b)八(A n e吗B n en =1pg na )sin——x 二U -u0得到A nB n =0八也如二 4 “，、A e aB e a(U - u。
) (n 二2k) (n =2k 1)解得卩代一B才4(U -U。
)_bn j[W (e a -e a ) (n =2k) (n =2k 1)最后得到原定解冋题的解是4(U —u °)£ 1 a —ys . (2kf匕乔1 sh (2k+1MbSina3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题0 . t, x ：：：：：;0 ：：： x ：：：：：; 0 ::: t ：：：：：.【解】方程两端对 x 求积分，得X ：：XU y dx = 0 f(x,y)dx h 1(y)ex也即-：u x0 f (x,y)dx h(y).y 0对y 求积分，得y ；Uy xdy 二 f (x,y)dxdy g(x) h(y)；y也即y xu(x, y)二 0 0f(x, y)dxdy g(x) h(y)由初始条件得u(x,0) =g(x) h(0) = (x) u(0, y)二 g(0) h(y) J (y)也即g(x)八(x)-h(0)h(y)=5y)-g(0) 再取x =0，于是又有g(0)=®(0)-h(0)h(0) (0)-g(0)从而得g(0) h(0)仝(0) =「(0)于是g(x)二(x)-h(0) = (x)-'- (0) g(0) h(y) J (y)—g(0) J (y)— (0)h(0)u(x, y) =u oJIu(x,O) = (x),将这里的g(x)和h(y)代入u(x, y)的表达式中，即得y xu(x,y) = ° 0f(x, y)dxdy g(x) h(y)y x「° ° f(x, y)dxdy "X)- - (0) g(0) -(y) 一(0) h(0) y x二o o f(x,y)dxdy (x) '- (y)「(0)4、(20分)用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题:c u 2 c u— =a ―，t>0c t <x«U y=®(X)[1石,a' 0,【解】对变元x作Fourier变换，令Ug,t) =〕u(x, y)e"^dx = F[u]□od①伸)=J ®(x)e如dx= F[©]_oO®) = jM(x)e dx = F则有：U=-a2(o2U, U y=g), 丫=屮㈣方程的通解是U ®,t) =G® )cos a国t+C2®)sin a^t 由初始条件得G®) =6®), a ⑷ C2®)=甲可得1G®) =6®), C2®)=——甲(⑷) a⑷| x p： at【提示：可利用逆Fourier积分变换公式:='■方程的解1U (^,t) =◎(国)cos a^t + ——普®)sin a^t a⑷查表可得从而F 」[¥©)sna^] = F 」[¥(co)]*F 」[sina'“]=汽⑴ f (x ―巧也=丄⑴dia 缚a 灼©2a ‘X 』注意到F ，[①(眄cos a 灼t] 十①(灼)^^] =£[丁⑴左]dt a ① dt 2a 心 1[(x at) - (x -at)] 2最后得到原问题的解u(x,t) =F 」[「( )cos a t] F '[?(，)sina"]ao11 x -at[(x at) -(x-at)] x J()d 22a即1 , 1 x at u(x,t) (x at) O-at) xJ ( )d 2 2a x 」t这就是d 'Alembert 公式。
5、 （20分）对于平面上的调和函数u （x,y ）A u = 0,1）试证明Dirichlet 边值问题解的唯一性，即：方程」| 只有零解;u oT °.从而u(x,t) =F 」[U( ・,t)]ii1二 F [•/( )cosa t] F [ ( )sin a t]aojL[Sin a^t] LI —=f (x) = 2a I 0,|x| ：：：at 1— 2a 0,-at ：： x ：： at2）用Green函数法，试求解边值界为g（x, y）的上半平面调和函数的Poisson表达式。
26、（20分）半径为r0的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为u°cos -，u0为常数,求球形区域内部的电位分布。
即求解以下定解问题（球坐标形式）：1上(s,M)=o, 0汀5;r2& c r r2s in 日拠的2八u r^=U o COS 6【解答】由于球面上边界条件中不含有变量「,故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解该问题。
为此令u(r,扪二R(r)W)代入方程，得2 20 丄"0、小/ 2d R小dR°(r dr2 2r dr) R(d.2 ct^d.H0改写成r2窘2r dR 赛ctg，霁--------------- = -------------------- =九R 0令=n(n • 1), x =cos v, P -心，可将上面两个方程改写成2d R dR、z 2(r r 2r )「'；R =0dr2dr2(^x2)^^ -2x-dP n(n 1)P=0dx dx上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为P n(x)。
而第一个方程是一个欧拉方程，它的通解是尺(r) =G r nx - C2r4n 1)再根据R的有界性，应有C2 =0，从而尺(r) =C n r nx于是，原问题的解是u(r,x)「C n r n R(x)n =0边界条件为u 0 = u°cos2日或写成2u r 十U0X即有cdu°X2二' C n「0n P n(X)n £根据已有的结果1 2B(x) (3x2—1), R(x)=12或1 2 F2(cos v) (3cos2 v -1), F0(cos v) =12从而2 2 1x2/(x) 3R(X)3 3于是有2 1 - - nU0(2P2(X)fP o(X))八CnQPJx)3 3 nuo比较两端P n(x)的系数，可知C o 二也，C^2u2, C n =0(n =0,2)3 3「o从而u(r, v) = F Po(cosv) r2F2(cosv)3 3 T oU o 2u o 1 2 -- 2 - (3cos 二-1)3 3 T o 21 r2 2 -Uo[1 (—) (3cos 1)]3 T o7、(1o分)用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解：'-2 .2—U o =0, (x, y) 11« ex cy丨q = 0.其中区域J. ={( x, y) I X2 y2乞R2}，u o为常数。
【提示：取近似解为U1 =A(R2-X2 -y2)】【解】取基函数组・:0二R2—x2—y2，求u( x, y)的近似解，U1 =A o =A(R2 _X 2_y )。
泛函J(u)=丄!! (| U 2 _2fujdxdy2 Q=-(2Ax)2 (2Ay)2 —2u °A(R 2 —x 2 一 y 2) dxdy 2 1 _二丄 I 「4A 2(X 2 y 2)「2u 0AR2 2Au 0(x 2 y 2) dxdy 2 '■.1 _1 2：1 R2 2 2 2dr o (4A 2r 2 -2u 0AR 2 2Au 0r 2)rdrR 2 3 23 -o (4A r -2u o AR r 2u o Ar )dr有 可得最后得到定解问题的近似解为 U(x ，t)=U ^4(R ^x ^y 2) -”R 4dJ(uJdA =0(2 A-土)二 R 4 =02A 上4。